微专题：构造函数法解选填压轴题

1、微专题：构造函数法解选填压轴题高考中要取得高分，关键在于选准选好的解题方法，才能省时省力又有效果。近几年各地高考数学试卷中，许多方面尤其涉及函数题目，采用构造函数法解答是一个不错的选择。所谓构造函数法 是指通过一定方式，设计并构造一个与有待解答问题相关函数，并对其进行观察分析，借助函数本身性质如单调性或利用运算结果，解决原问题方法，简而言之就是构造函数解答问题。怎样合理的构造函数 就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。几种导数的常见构造：1 .对于 f'(x)Ag'(x),构造 h(x)= f(x)g(x)若遇到 f'(x)>a(a=0),则可构 h(

2、x)=f(x)ax2 .对于 f'(x)+g'(x)>0 ,构造 h(x)= f (x "g(x)3 .对于 f '(x) + f (x) a0 ,构造 h(x )=ex f (x )f (x)4 .对于 f '(x)> f(x)或 f'(x)- f(x) >0,构造 h(x) =V2 e5 .对于 xf'(x )+ f (x)A0 ,构造 h(x)=xf(x)6 .对于 xf'(x )- f (x)>0 ,构造 h(x)=3-) x一、构造函数法比较大小例1.已知函数 y=f(x)的图象关于y轴对称，且

3、当x (-00,0), f (x)+xf'(x)<0成立， a =20.2Df (20.2) , b=logH£f(logn3) , c = log3 9f (log3 9)，贝Ua,b,c 的大小关系是()A.a b c B.a c b C.cb a D.b a c【解析】因为函数 y = f (x)关于y轴对称，所以函数y = xf (x)为奇函数.因为xf (x)' = f (x) + xf '(x),所以当 xW(-«,0)时，xf(x)' = f(x)+xf'(x)<0,函数 y = xf(x)单调递减，当xw(

4、0,+比)时，函数y =xf(x)单调递减.因为 1 <20.2 <2, 0<1og 兀 3<1, 1og39 = 2，所以 0 <1og 7r3<20.2 <1og39,所以 b>a> c,选 D.变式：已知定义域为 R的奇函数f(x)的导函数为f'(x),当x#0时，f'(x)+13>0, x1 11若2=f(-),b=-2f( 2), c = ln f (ln 2),则下列关于a, b, c的大小关系正确的是( D ) 222A.a b c B. a c b C.c b a D. b a c例2.已知f(x)为R

5、上的可导函数，且 Vxw R,均有f (x) > f'(x),则有A. e2016 f (2016) < f(0) , f (2016) > e2016 f (0) B . e2016 f (2016) < f (0) , f (2016) < e2016 f (0)C. e2016 f (2016) a f(0) , f(2016) >e2016f (0)D. e2016 f (-2016) > f (0) , f (2016) < e2016 f (0)一. x x【解析】构造函数 g(x) =ua,则 g ,a)=f (x)e re

6、)f(x)=f (x) ：f(x), e(e )e因为vx WR,均有f (x) >(x),并且ex >0 ,所以g (x) <0 ,故函数g(x) = f (x)在R上单调递减，e所以 g(2016) >g(0) , g(2016) <g(0),即 f(-2016) > f(0) , f(220166) <f(0), e -e也就是 e2016f (-2016) >f (0), f(2016)<e2016f (0),故选 D.变式：已知函数f(x)为定义在R上的可导函数，且 f(x)<f'(x)对于任意xw R恒成立，e为自

7、然对数的底数，则( C )Af (1)>e f (0)、f (2016) <e2016 f (0)B.f (1)ce f (0)、f (2016)ae2016 f (0)C.f (1)>e f(0)、f (2016) >e2016 f (0) D.f (1)<e f (0)、f (2016)<e2016 f(0)例3.在数列an中，(彳尸中=n + 1,(nw N*) .则数列 匕0中的最大项为().A,五B . 3/3C ,号5D .不存在8【解析】由已知a = V2, a2 = 3/3 , a3 = 414 =近,a4 =浜易得a <a2,a2 &

8、gt;a3 >a4 > 猜想当n之2时，an是递减数列又由 ann* = n +1 知 ln anln( n 1)ln x令 f(xr1 .x Tn xx1 -ln xf (x)=幺一2一 二 一2 -xx二当 x 至3时，ln x >1 ,则 1 ln x <0 ,即 f'(x) <0二f (x)在b,)内为单调递减函数,二n主2时，n an 是递减数列，即 an是递减数列又a1 <a2，二数列Qn 中的最大项为a2 = 3/3 故选B.练习1.已知函数 y = f (x)对任意的x w (n n _ 、， ,、. 一一,一)满足 f (x) co

9、sx+ f (x) sinx> 0贝U (f KHA. f (0)2f (-) B. f (0) :：2f (-)2 2C. - 2 f (-) < f(一) D. . 2f34JI(一匚)提示：构造函数g(x) =fx),选D. cos x二、构造函数法解包成立问题例1.若函数y= f (x)在R上可导且满足不等式 xf '(x) + f (x) A 0恒成立，对任意正数a、b ,若a < b , 则必有()A. af (b) <bf (a) B. bf (a) <af (b) C. af (a) <bf(b) D. bf (b)< af(a

10、)【解析】由已知xf r(x)+ f(x) >0 .构造函数 F(x)=xf(x),则F'(x)=xf (x) + f(x)A0,从而F(x)在R上为增函数。< a<b F(a) <F(b)即 af (a) <bf (b),故选 a例2.已知f(x)是定义在(0, +8)上的非负可导函数，且满足 xf'(x) f (x) W0,对任意正数a、b, 若a <b ,则必有()A. af (b) <bf (a) B. bf (a) <af (b) C. af (a) <bf (b) D. bf(b) <af (a)'

11、【解析】F(x)=(x), F'(x)=x (x) (x) M0 ,故 F(x) =f(x 在(0, +°°)上是减函数， xxx由 a <b,有 fa) 至 f(bl,即 af (b) Ebf (a)。故选 A。 a b变式1.设f (x)、g(x)是R上的可导函数，f '(x)、g'(x)分别为f (x)、g(x)的导函数，且满足f '(x) g(x) + f (x)g '(x) <0,则当 a<x<b 时，有( C )A.f (x)g(b)f (b)g(x)B. f ( x) g( a)f( a) g(

12、xC.f(x)g(x) f (b)g(b)D. f ( x) g( x)f (b) g( a变式2.设函数f (x), g(x)在a,b上均可导，且f'(x) < g'(x)，则当a < x < b时，有(C )A. f (x) g(x)B. f (x):二 g(x)C. f (x)+g(a) < g(x) + f (a) D , f (x)+g(b) < g(x) + f (b)例3.设函数f (x)在R上的导函数为f '(x),且2 f (x) + xf '(x) > x2,下面不等式恒成立的是()A. f (x) >

13、;0 B. f(x)<0 C. f (x) > x D. f (x) < x【解析】由已知，首先令 x=0得f (x) >0,排除B, D.令 g(x) =x2 f (x),贝U g (x) = x 12 f (x) +xf '(x), 当 x >0 时，有 2 f (x) +xf '(x) = g(X)A X2= g '(x) A 0 ,X所以函数g(x)单调递增，所以当 x>0时，g(x)>g(0)=0,从而f (x)>0. 当 x<0时，有 2 f (x)+x(x) ="x) >x2: g

14、9;(x)<0, x所以函数g(x)单调递减，所以当 x<0时，g(x) >g(0) =0,从而f (x) >0.综上f(x) >0 .故选A.例4.如果(x + Jx2 +1)(y 7y+1)=1，那么下面的不等式恒成立的是()A. x=y=0B. x + y= 0C. xy=0 D. x + y>0【解析】构造函数 f(x) =lg(x +Jx2 +1) (xw R),易证f (x)在R上是奇函数且单调递增(x 、x2 1)( y . y2 1) =1f ( x) f ( y)= l gx . 2 x +lg(y . y2 1)=lg( x . x2 1

15、) (y y2 1) =ig1 = 0f(x) = T(y)即：.f(x) = f(-y)又 f (x)是增函数二x = y即x + y = 0。故选B .11练习 1.已知 x3 (log1 0.5)x<(y)3 (log1 0.5广，则实数 x, y 的关系是(D )33A. x - y 0 B. x - y <0 C. x y 0 D. x y < 01【解析】构造函数f(x) =x3 (log32)x, f(x)是增函数，又f (x) < f (-y), x + y<0,故选D.练习2.已知函数y = f (x)是R上的可导函数，当 x#0时，有f'

16、;(x) + f(x) A0,则函数F(x)=xf(x)+1的 xx零点个数是(B )A.0B.1 C. 2D.31 1【斛析】由F(x) =xf (x)十一，得xf (x)=一一，构造函数g(x)=xf(x), xx则 g (x) = f (x) +x'f (x) ，: 当 x#0 时，有(x) +上3 >0, .当 x¥0 时，xf (x). f (x) A0 xx即当x>0时，g (x) = f (x) +xf (x) A0 ,此时函数g(x)单调递增，此时g(x)Ag(0)=0,当 x<0 时，g(x) =f(x)+x'f(x) <0,

17、此时函数 g(x)单调递减，此时 g(x)>g(0) = 0,作出函数g(x)和函数y = 1的图象，(直线只代表单调性和取值范围)，-x 1 r /由图象可知函数 F(x)=xf (x)十一的零点个数为1个.故选B.三、构造函数法解不等式例1.函数f(x)的定义域为R, f(1)=2,对任意xC R, f x) >2 ,则f(x)>2x+4的解集为()A. (1,1) B. (-1, +8)C. ( 8, 1) D. ( 8, +OO )【解析】构造函数 G(x)=f(x)-2x-4,所以G'(x)= f'(x)2,由于对任意xCR, f'(x) &

18、gt;2,所以G(x) = f (x) 2>0恒成立，所以 G(x)=f(x)-2x-4是R上的增函数，又由于 G(-1) = f(- 1)-2X (-1)-4=0,所以 G(x) = f(x)-2x-4>0,即f(x)>2x+4的解集为(1, +8),故选B.1 x 1变式1.已知函数f(x)(x W R)满足f (1) =1 ,且f'(x) <-,则f (x) < 十的解集为()2 2 2A.1mx<1b. x x < -1) C. &乂父一1或乂>1 D. &x>1x 111【解析】 构造新函数 F(x) =

19、f (x) (x+万)，则F(1)= f(1)(万+3)=1 1 = 0 ,1 1CF '(x) = f '(x)-,对任意x= R ,有F '(x) = f '(x)<0 ,即函数F(x)在R上单倜递减，2 2x 1所以F (x) <0的斛集为(1,收),即f (x) < 十 的解集为(1,收),选D.2 2变式2.定义在R上的函数f(x),其导函数 f'(x)满足f'(x)>1,且f(2)=3,则关于x的不等式f x ： x,1的解集为( - 2)变式3 .已知函数f(x)为定义在R上的可导函数，且f(x)<f&

20、#39;(x)对于任意xWR恒成立，且f(1) = e,则f (x)-V< 1 的解集为 一(-°0,1) e变式4.函数f(x)的定义域是R, f(0)=2,对任意xw R, f(x)十f'(x) >1 ,则不等式ex，f(x)Aex+1的解集为(A )a. xx >0B. xx<0 C. xxo1 或 x>1 D. xx<-1或 0< x <1例2设f(x)是定义在R上的奇函数，且 f(2) =0,当x >0时，有 xf (x) 2 f (x)：二 0恒成立，则不等式 xx2 f (x) >0的解集是 xf (x

21、) - f (x)f (x)解：因为当x>0时，有 一112 I 1 <0恒成立,即'< 0恒成立，xx所以f 在(0, 十比)内单调递减. x因为f (2) =0,所以在(0, 2)内恒有f(x)0；在(2,y)内恒有f(x) <0.又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以在(血，2)内恒有f (x) a0 ；在(-2,0)内恒有f (x) <0.又不等式X2f(X)A0的解集，即不等式 f(X)0的解集.所以答案为(叫2)U (0, 2).变式1.已知定义在(血,0)上的可导函数，其导函数为f'(x),且有2 f (x)+xf'(X)A

22、X2,则不等式(x+2014)2f (x+2014)_4f(N) >0的解集为(C )A( -：,-2012)B.(2012,0)C.(一:：，一2016)D.(2016,0)变式2.函数f(x)的定义域为R, f(2)=2016,对任意xCR,都有f'(x)<2x成立，则不等式f (x) >X2 +2012的解集为(C )A. ( -2,2) B.(-2，二)C.(-二，-2) D.(-二，二)变式3.设y = f (x)是定义在R上的函数，其导函数为f'(x),若f(x)+f'(x) >1 , f(0)=2017，则不等式f(x)eX >

23、;2016+eX的解集为(D )A. (2016，二) B. (-二,0) 一(2016，二) C. (一二,0) 一(0,二) D. (0,二)变式4.函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(2) = 0，且xa0时，f(x)+xf'(x)a0 ,则不等式 xf(x)至0的解集是2,0u2,y) (提示：构造的g(x) = xf(x)为奇函数，f(0)=0) 例 4设 f(x)、g(x)是 R上的可导函数,f'(x)g(x) + f (x)g'(x) M0 , g(3) =0 ,则不等式 f (x)g(x) < 0的解集为(-3, 二)变式1.设f (x)、g(x

24、)分别是定义在 R上的奇函数、偶函数，当x<0时，f'(x)g(x)+f (x)g'(x)A0, g(3)=0,则不等式 f (x)g(x) <0 的解集为 _(吗3)2 (0,3变式2.已知R上的函数f(x)、g(x)满足f(=ax,且f(X)g(X) f(x)g(X，若旦+f5g(x)g® g> 2(01 )则关于X的不等式lOgaX >1的解集为_( 02 )变式3.设奇函数f(x)定义在(-n,0)u(0,n)上，其导函数为f'(x),且 f 二 1 = 0 ,当 0 < x < 冗时,2.fir )、 n Jif

25、(x )sin x - f (x )cosx <0 ,则关于 x 的不等式 f (x )< 2 f . Isin x 的解集为 _(一一 ,0)5(一,元).666(提不：构造的g(x)=坡) 为偶函数) sin x四、构造函数法求值1例1.设f (x)是R上的可导函数，且f'(x)之f(x), f(0)=1, f(2)=二.则f(1)的值为 e提示：由 f'(x)至f(x)得 f'(x)+ f(x)至 0,所以 exf'(x)+exf (x)之 0,即exf (x)' >0,设函数 F(x) =exf (x),贝U 此时有 1= F(

26、2) >F(0) =1 ,1故 F (x) = e f (x) =1, f(1) = - e变式.已知f(x)的导函数为f'(x),当x>0时，2f (x)xf'(x),且f(1)=1,若存在xw r+,使2f (x)f (x) =x ,则x的值为 1.(提示：构造g(x) =-V )x例2.已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足 Ux) = ax,且f'(x)g(x) c f (x)g'(x), g(x)f(1) f(-1) 5十=一g(1)解：;f '(x)g(x) < f (x)g'(x)， f' = g(x)

27、f (x)g( x) - f (x)g (x)g2(x)若有穷数列1f(n)l(nw N*)的前n项和等于 双，则n等于g(-1) 2g(n)32即函数四二ax单调递减，0<a< 1.又3 3:5, g(x)g(1) g(-1) 2rr 15. 一 1 .即a + = 一.解得a =或a=2 (舍去).a 223=占，即皿=(3g(x) 2 g(n) 2，“一111数列( 一)n是首项为a1=,公比q =的等比数歹U,2221、n1、n31Sn =1 一(_),由 Sn =1 (.)=,解得 n=5o2232变式 1.已知 f (x) , g(x)都是定义在 R上的函数，g(x) #0 , f'(x) g(x) A f (x)g'(x),且 f (x) = axg(x) 解：由题意，f'(x)g(x) + f (x)g'(x) <0 ,， f (x)g(x) 'V0,(a >0,且a #1 )。上 +七2 = 5 ,若数列 g g(-1)2的前n项和大于62,则n的最小值为(A )变式 2.已知 f(x)、g(x)都是定义在 R 上的函数，f&