湖南省师范大学附属中学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题理

1、湖南师大附中2019-2020学年度高二第一学期期末考试数学(理科)时量：120分钟 满分：150分得分：一、选择题：本大题共 12小题，每小题 只有一项是符合题目要求的.5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,1.复数3+iiTiA. 1 + 2i B . 1- 2i C . 2+i D . 2- i2.已知全集 U= R,函数y=ln(1 x)的定义域为 M 集合N= x|x2 x<0,则下列结论 正确的是A. Mn N= N B . Mn ( ?uN)=C. MU N= U D . M (?uN)一一1 一一3.已知命题 p：aC R,且 a>0, a+a>2,命题

2、q：xoCR, sin xq+cos x0=3,则下列判断正确的是A. p是假命题 B . q是真命题C. p A (税q)是真命题 D .(税p) A q是真命题4.已知等差数列an的公差为2,若a1, a3, a4成等比数列，则an的前10项和为A. 10 B.8 C . 6 D.85 .已知函数f (x) = ex+W(aC R),若f(x)为奇函数，则曲线 y = f(x)在x=0处的切线 e方程为A. y=2x B . y= x C . y= 2x D . y= x6 .已知四边形 ABCO平行四边形，点 E为边CD勺中点，则BE=A.1SB-XD B . _2超 KDc. Xb+

3、1XD d. Xb- 1AD2227.某广品的销售收入 y1(万兀)是广品x(千台)的函数，y1=17x；生厂总成本y2(万兀) 也是x的函数，y2= 2x3-x2(x>0),为使利润最大，应生产A. 9千台B . 8千台C . 6千台D . 3千台1 . 一8 .正方体 ABCD ABGD的棱长为a,点M在AC上且AM= 2MC N为BB的中点，则| MNA.153 a21615Va B. Ta C. Va D.9 .已知直线l1： x=-1, I2： x- y+1 = 0,点P为抛物线y2=4x上的任意一点，则 P 到直线l1, I 2的距离之和的最小值为A. 2 B./ C . 1

4、 D.当2x, xW0,10 .已知f (x) =g(x) =f(x)+x+m若g(x)存在两个零点，则 m的取值log 2x, x>0,范围是A. -1, +oo)B. 1,0) C . 0 , +oo)D. 1 , +oo)11.在平面直角坐标系2xxOy中，Fi、F2分别为双曲线 ay 言=1(2>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线左支上一点，M是PF的中点，且OML PF, 2|PF|=|PE|,则双曲线的离心率为A.小B . 2 C.陋D.卡12 .已知函数 f(x)=a+xln x, g(x) = x3+x2+5.若对任意的 xi, X2C2 ,都有X2f (x

5、i) -g(x2)<0成立，则实数a的取值范围是A. ( 8, 2- 41n 2 B , (一, 1 1 11 1C. 2 4ln 2 , 2+4ln 2D.巴 2+ 2答题卡题号123456789101112得分答案4个小题，每小题520分.13 .已知x>1,观察下列不等式：1x + >2;xx2+2>3;xx3+->4;x按此规律，第n个不等式为 .2x-y + 3<0,14 .若x, y满足约束条件 x K0,则2= x+y的最小值为 y 一 10,15 . j1 x2 dx- "sin x dx =.16 .若函数f(x) =ax2+xl

6、n x有两个极值点，则实数 a的取值范围是 .三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：60分.a, b, c,其面积为S,且 b2+c217 .(本小题满分12分)在 ABC中，角A, B, C的对边分别是(I )求 A；(n )若 a = 5>j3, cos B =5,求 c.18 .(本小题满分12分)已知数列an, 3是其前n项和，且满足 3an = 2Sn+n(nC N).1(I)求证：数列 an + 2是等比数列；(n)记Tn=S + &+ S

7、n,求Tn的表达式.19 .(本小题满分12分)如图，五边形ABSC中，四边形ABCM长方形，三角形SBO边长为2的正三角形，将 三角形SBCgBC折起，使得点 S在ABCDt的射影恰好在 AD上.(I )证明：平面SABL平面SAD(n)若AB= 1,求平面SCDW平面SBC所成锐二面角的余弦值.20 .(本小题满分12分)已知圆M: *2+丫2+2艰丫10=0和点N(0, 用,Q是圆M上任意一点，线段 NQ的垂 直平分线和QM目交于点P, P的轨迹为曲线E.(I )求曲线E的方程；(n )点A是曲线E与x轴正半轴的交点，直线 x=ty + m交E于B、C两点，直线 AB, AC 的斜率分别

8、是ki, k2,若ki k2=9,求：m的值；' ABO积的最大值.21 .( 本小题满分12分)已知函数 f(x) =x2 + ax+ln x(aCR).(I)讨论函数f (x)在定义域上的单调性；(n)令函数g(x) =ex 1 + x2+a-f(x) , e = 2.718 28是自然对数的底数，若函数g(x)有且只有一个零点 m判断m与e的大小，并说明理由.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分。22 .选修44:坐标系与参数方程X= COS a ,已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(a为参数).以原点Oy=

9、1 + sin a为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系.(I)求圆C的普通方程及其极坐标方程；、一. 汽，.一n , 一 (n )设直线l的极坐标万程为p sin 0 + y =2,射线OM 9 =d与圆C的交点为P,与直线l的交点为Q求线段PQ的长.23 .选修45:不等式选讲已知函数 f(x) =|x 1| +|x + 1|.(I)解不等式f(x) W2;、 ，一人 14, ，一一(n)设函数f(x)的取小值为m右a, b均为正数，且a + b=m求a+b的取小值.湖南师大附中2019-2020学年度高二第一学期期末考试理科数学参考答案(这是边文，请据需要手工删加)湖

10、南师大附中2019-2020学年度高二第一学期期末考试数学(理科)参考答案一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1. . D2. A 【解析】函数 y=ln(1 x)的定义域为 M= x|x<1,N= x| x2 x<0 =x0< x<1, 结合选项MT N= N正确，选A.3. C【解析】由均值不等式知p为真命题；因为sin xo+cos xc=2sin xc+-4 w戏,所以q为假命题，则税 q为真命题，所以pA (税q)为真命题.故选C.4. A【解析】由题意可得 a3= 3134,即(a1 +

11、4)2= a1(a1+6),解之可得a=8,田10X (101)田3故 So= 8X10+ 4：X2= 10.故选 A.5. C【解析】由题意，因为函数f (x) = 6、+昌(aC R)为奇函数，则f (0) = e0+A= 0,解得a= - 1,即 f (x) = ex Ax,则 f' (x) = e、+L,所以 f' (0) = e°+l= 2,即 k=2,eee且当x=0时，f(0) =e°-A°=0,即切点的坐标为(0, 0), e所以切线的方程为y= 2x,故选C.6. B【解析】如图，过 E作EF/ BC由向量加法的平行四边形法则可知

12、-1丽心故选B.0, x=6,故选 C.7. C 【解析】f (x) =yi y2= 2x3+18x2, f ' (x) = 6x2+36x8. A 【解析】如图，设 XB= a, Xb= b, AAi= c,则 I Mn=|MAfKB+BN= _1AC+AB+ 1BB = |a-b+1c 32336又 a b= 0, a c= 0, b c= 0,.|Mn2= 2a 1b+1c ,可得 |MN = y21a. 33661也就是直线11,故或者建立空间直角坐标系来求解.9. B【解析】抛物线y2=4x,其焦点坐标F(1 , 0),准线为x=-等号成立，故选B.P, E, F三点共线时1

13、0. A【解析】g(x)=f(x)+m x有两个零点，等价于f(x) + m x=0有两个根，即y=f (x)与y= xm有两个交点，画出y= f (x)与y= xm的图象，如图，由图可知，当 y= xm在y轴的截距不大于1时, 两函数图象有两个交点，即一me 1, m> - 1, m的取值范围是1, + 00),故选 a.11. C【解析】因为M是PF的中点，O为F1F2的中点， 所以OM句三角形F1PE的中位线.因为OML PF,所以PEXPF.又因为 |PE| |PF| =2a, 2|PF|=|PE|, |FiF2| = 2c,所以 | PF| =2a, | PF =4a.在 Fi

14、PF2中,PF2XPF,所以 |PF|2+| PE|2=| FiF2|2.代入得(2 a)2+ (4 a) 2= (2 c)2, 2 ，C -所以-2= 5.即e=J5.选C. a,112. A【解析】根据题意，对任意的xi, X2C 2, 2 ,都有f (xi) g(X2)W0,即 f(Xl)Wg(X2), f ( X) maxC g(X)min 恒成立， ,21 1g ( x) = 3x + 2x,在 x e 2, 2 内先增后减，g(2)< g 2 ,故 g( x) m®= 1.贝Uf(X)W1, a+xln xw 1,解 aw x x2ln x. x令 h(x)=xx2

15、ln x,则 h' (x) = 12xln x x, h" (x)= 2ln x 3. 11在区间-,2 内，h(x)<0 , h' (x)递减，h' (1) =0,故 xC 1 时，h' (x)>0 ,1x 1 , 2时，h' (x)<0 , h(x)min=min h 2 , h (2) = h(2) =24ln 2 ,.a<2-4ln 2 ,则实数a的取值范围是(8, 2-4ln 2,故选A.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13. xn+ n>n+ 1 x2x-y + 3<0表布的平

16、面区域,14. 2【解析】作出x, y满足的约束条件 x-KOy一 10得到如图的区域，其中 A( 1,1),设z=F(x, y)=x+ y,将直线l： z=x+y进行平移, 当l经过点A时，目标函数z达到最小值，1- z 最小值= F(1, 1) = 1+1 = 2.故答案为：2.15.1 2【解析】由定积分的几何意义可知,W-X2dx是以原点为圆心，以1为半0 一一 一兀 rr径的四分之一圆的面积，等于.sinxdx=( cos x)|。=cosn+ cos 0=2.111 -x2dx "sin x dx = - 2.答案为：-4- 2. 0016 . 2<a<0 【

17、解析】f(x) = xln x + ax2(x > 0), f' (x) = In x + 1 + 2ax.令 g(x) = In x+1 + 2ax,函数f(x) =ax2+xln x有两个极值点 g(x) = 0在(0 , +°°)上有两个实数根.g' (x) = 1+ 2a= 1 + 2ax,当 a>0 时，g' (x) >0,函数 g(x)在区间(0 , 十°0)上单调递 xx增，因此g(x) =0在区间(0 , +8)上不可能有两个实数根，应舍去.当 a<0 时，令 g ' (x) = 0,解得 x

18、= 71.令 g' (x) > 0,解得 0vxv 此时函数 g(x) 2a2a单调递增；令g' (x) V 0,解得x>此时函数g(x)单调递减.2a，当x=工时，函数g(x)取得极大值.要使g(x) =0在区间(0, +8)上有两个实数根，2a则g 白=ln >0,解得4<a<0.，实数a的取值范围是一；<a<0. 2a2a22三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 .【解析】(I )b 2+c2a2= 2bccos A, S= 2bcsin A ,，代入已知等式得：2bccos A =

19、433 - 2bcsin A,得：tan A =，3,.A是三角形内角，A= 60° .6分,4(n)，B为二角形内角，cos B =-5 .sin C = sin (B + A) = sin (B +60°.sin B = 4 cos2B= 5, 1 . o V3- 3+4J3)=2sin B+2-cos B = -10H. a=5V3, sin A = 3, sinC = 33，,一、一asin C ,，由正弦te理得：c= $7人=3+ 4m.12分18 .【解析】(I ) 3a n=2S+n,ai=1,当 n>2 时，3an- 1=2Sn-1 + n 1,即

20、an= 3an-1 + 1,an+ _= 3an-1+1 + 一=3 an-M-,222 '13数列an+2是首项为2,公比为3的等比数列.6分上313 n 11 n 1(n)由(I)知，an+2-= 2 - 3,an = 2-x 3 -2,3an n 3 n 1. S=-2 = 4。3n-4(2n+3), 8 分_3/c2,. 41 (5+2n+3)n 9n 八 n(n + 4)Tn=S+& + $ =:(3+3+ 3 ) X-= ( 3 - 1) -.124428419.【解析】(I)如图，作 SQL AR垂足为 O,依题意得SQL平面ABCD z. SOL AB.又 AB

21、, A口 son AD= O,AB,平面 SAD.又AB 平面SAB,所以平面 SABL平面 SAD.5分(n)连结 BQ CO SB= SGRtASOBRtASOCBO= CO 又四边形 ABC的长方形，RtAAOB Rt DOC，OA= OD.取BC中点E,彳导OB AB,连结 SE,SE=木其中 O& 1, OA= OD= 1, OS= 33 12 =p.由以上证明可知 坐标系.OS OE AD互相垂直，不妨以 OA OE, OS为x,y, z轴建立空间直角DC= (0,1, 设 m= (Xi, yb0), SC= (-1, 1, -® BC= (-2, 0, 0),

22、Z1)是平面SCD勺法向量，m DC= 0,y1 = 0,则有即令mr 患 0,-x1 + y1-2z1=0,设n=(x2, y2, z2)是平面SBCB法向量，Z1= 1 得 mi= (-y/2,0,1).n则有n BO 0, SO 0.一 2x2= 0, 令X2+y2 2z2= 0,Z2= 1 得 n = (0则 |cos<m, n> | mr n|1m I n| - 3X ,31 _八= q.12 分320 .【解析】（I ）圆M: x2+y2+2#y10=0 的圆心为 M(o木）,半径为243,点N （0,姆）在圆 M内，| PM+| PN =25>|MN，所以曲线E

23、是以M, N为焦点，长轴长为 23的椭圆，由a=3, c=，2,得b2=3-2=1,所以曲线 E的方程为2x2+y3= 1.4 分(n )设 B(x1, y1) , C( X2, y2),直线x = ty + m,BC: x = ty + e联立方程组2 £ ，得3(1+ 3t2) y2+ 6mty+ 3m2-3= 0, = 36t 之一12m+ 12, y1 + y2=一1十 §12,23m3y1y2=1T?'由 kk= 9 知 y1y2= 9( X1- 1) (X2 1) = 9( 1y 1 + m- 1) (ty 2+ m- 1)2= 9t2y1y2+9( m

24、i-1) t(y1+y2) + 9( mv 1),且 m 1,代入化简得(9t2 1) (mi+1) -18mt2+ 3( mv 1) (1 + 3t2) =0,解得 mi= 2.8 分由 A=36t212m2+ 12=36(t21)>0,解得t2>1,c 1312 1Sa AB- 21 y2 y1| = 1 + 234t2-124+3( ”1)一-3w3(当且仅当t2 =424+3G综上， ABC®积的最大值为21.【解析】（I）由已知x>02 .(x)=2x+a + -= XX-,x x当a>2，2时，f' (x)>0,则函数f(x)在(0,

25、 +8)单调递增.2分当a<2也时，A = a28>0时，2x2 + ax+1 = 0有两个正根，、 一a ,a2 8- a+ Ja2- 8记 X1 =4，x2=4，当 xC (0 , X1)时，f' (x)>0 , f (x)递增,当 xC (X1, X2)时,f' (x)<0 , f (x)递减,当 xC(X2,+ °°)时,广(x)>0 , f (x)递增.综上，当a>2，2时，函数f(x)在(0 , +8)上单调递增.当a<2平时，函数f(x)在0, -a-Va8 , -a+>/a8, +oo上单调递增

26、,44在一ay? -a+ya上单调递减.5分 44(n)函数 g(x) = ex 1+ x2+ a-f (x) = ex 1 - In x ax+a,贝U g，( x) = ex 1- - - a = h(x), x一 1则h'(x) = e-+y0,所以g'(x)在(。,+8)上单调递增,当 x-O 时，g' (x) 一一°° x一十 °0时，g，(x) 一十 OO；所以 gz (x) C R, 所以g' (x)在(0 , +8)上有唯一零点 xo, 所以g(xo)为g(x)的最小值.由已知函数g(x)有且只有一个零点 ni则m= x。.一，1ea= 0,所以 g' (n) = 0, g(m=0,则 mm- 1mHm=0,em 1In m- am+ a= 0,11则 em1 In m- e 1- m e 1 =0,得(2n)e 1-In mmx-1x 11则