点到直线距离公式的另外几种推导方法

1、点到直线距离公式的另外几种推导方法“点到直线的距离公式”是新课标人教版必修 2数学的重点内容，教材在推到公式之后给出“请 研究一下，如何用其它方法推导上面的距离公式”的伏笔，因此，笔者给出另外几种推导方法，供 大家参考。1点到直线的距离公式在平面直角坐标系中，已知点 P (x0,yo),直线l: Ax+By+C=0(A . Bw0).设点P (x0,yo)至U直线l 的距离为d,则dAxoJBy0 2clA2 B2设点P0(xo，y0)为已知直线l : Ax + By+C =0外一点，如何求它到该直线的距离？解：设过点P0且与已知直线l垂直的直线为I',垂足为D(x, y),点到l点距

2、离为d ,则d = P0D由 Ax By C =0= ki又因为1/ ll,所以，k/ = B；1 A B代入点斜式，行： y - y0 (x - x0), A即，Bx - Ay Ay0 - Bx0 = 0,Ay+C”得:Bx - Ay Ay0 - Bx。= 0,_2_ _ 2_B x0 - ABy 0 - ACA y° - ABx 0 - BC22，y 22A2 B2A2 B2- A(Ax° By0 C)x0 =22，A2 B2y - y0- B(Ax0 By0 C)22A2 B2d(x - x0)2 (y - y0)2/22- A(Ax° By° C

3、) - B(Ax° By° C).ILA2 B2, ILA2 B22二(Ax° By° C) A2 B2_ Ax° + By°：C|.A2 B2.即，直线外一已知点 P0到已知直线1的距离公式为：Ax° By° CA2B2当A=0或B=0,上面的公式依然适用。当然，也可以不用上面的距离公式，即当A=0 且 Bw 0时,1. C . C直线 1： y=, d= - - y0B B.C ,一y0 +一;当 A丰 0, B=0 时, BCx0 =Ax C x0A证法二：如图1,过P作直线1 ' / 1 ,设直线1

4、'和1分别交x轴于点M、线1于点H ,则MH就等于点P到直线1的距离，记为d .设直线1'的方程为Ax + By + C ' = 0 ,由于点N，过M作MH _L直图11'C'= -(A%+ By0)p(X0,y0)在直线 I'上，AX0 + By0 + C'=0,.加'： Ax+ By (A%+ By0) =令 y =0,得XMAxo By。在直线i ：Ax+ By+ C = 0 中,令 y =0,得XNMNXMAh By° C设直线i的倾斜角为8 ,则 tane =2且 /MNH =冗B: tan1 = -=1 ta

5、n2 二-1a2B2A2 B2B2B2A2 B2 ,A2A2 B2,sin1 二，A2 B2=MNAX0 By° Csin MNH|A|=MN sin(n-8 )=AX0 By° CAX0 By° Csin1Ja2 b2 A2 B2说明：在证法二中，先将点 P到直线I距离转化成过点 P的且与I平行的直线I'与I的距离，并通过特殊位置X轴上的线段 MN的长，利用三角函数解决了问题， 体现化斜为直的思想. 当然,也可以对证法二进行适当的变化来证明点到直线的距离公式，由兴趣的读者不妨去试一试.2公式的另外几种推导方法方法1利用直角三角形的面积公式丫 A . BW

6、0, 直线I必与两坐标轴相交，如图 1, 作PM | X轴交直线I于M ,作PN | y轴交直线I于N, 作PQ! I于Q,则d = I PQ I , d既是点P到直线I的距离，又是RtMPN勺高. d=PM |.|pnMN一_ By。_ C _ Ax。_ C设 M （xi,yo）, N （x0,y2）, M、NC l,勿求出 x1=,y2=ABAx0 By0 CI PM I = I xi-x0 I = I IAI PN I = I y2-y0 IAx。+By° +C BI MN I =V|PM|2 +|PN|2 =VA +B - I Axo+Byo+C I 'AB将代入（）

7、得:d=Ax。 By。C,A2B2（A2+B2W 0）.方法2利用两点间的距离公式教材指出，由PQ! l可知直线PQ的斜率为,可求出PQ所在直线的方程，从而可求出交点PA的坐标，再用两点间的距离公式求IPQ I。"这种方法思路自然，但运算较繁”，可是，如果在推导过程中注意运算技巧，也并不繁琐！方法21如图1,设Q （ a,b）,则d= I PQ I = J（a-x。）2 +（b-y。）2 ,易得直线PQ的方程为 y-yo=BA（x-x。），即 Bx-Ay=Bx o-Ay。.从而有 “Ba - Ab = Bx。- Ay。Aa Bb C =。2B x。- ABy0 - AC解N ,a=”

8、2, a-x 0=A2 B2AAU，b-yA2 B2B（Ax0 By。 C）0=-A2 B2d= I PQ=-.（a -x。）2 （b - y。）2| Ax。十 By。+C,A2 B2（A2+B2w。）.方法22如图1,由方法2-1有| b y。_ Ba - x。A =Aa Bb C 二。A（a-x。） B（b-y。）=-（Ax。 By。C）B（a-x。）-AS-y。）：。由（1）2+（2）2得：/2+82）*。）2+/2+82）（忤丫。）2=依*。+8丫。+02,"）2+（"丫 0）2=_2（Ax。 By。C）A2 B2d= 1 PQ 1 = jl（ a x。）2 +（b

9、 y。）2iAxa+a （A2+B2R.,A2 B2方法3利用换元法在方法 22 中，设 b-yo=B t, a-xo=A t,代入彳#(A2+B2) t=-(Ax 0+By+C)t=-Ax0 By0 CA2B2 d = PQI =J(ax。)2 +(by。)2 =$A2 + B2_ Ax。 By。 C.A2 B2(A2+B2W0).方法4利用向量法显然，直线l的法向量n= (A, B),设Pi (xi,yi)是直线l上与Q不重合的任意一点，当n, P1P为锐角时,d= I PQ I = PP cos e (如图 2);当n,P1P为钝角时,d= I PQ I = P1P cos( K - 6)P P cos 日=P P I cos 6 I(如图3).无论直线l的法向量n= (A, B)的方向如何,均有d= I PQ I = P1P I cos 日 I .又,: nP1P=