反冲运动与人船模型的应用

1、反冲运动与人船模型的应时间：2021.02.07命题人：欧阳物-、模型的建立如图1所示，长为L、质量为rm的小船停在静水中， 一个质量为m2的人立在船头，若不计水的粘滞阻力，当人 从船头走到船尾的过程中，船和人对地面的位移各是多 少？ 选人和船组成的系统为研究对象，由于人从船头走到船尾的过程中，系统在水平方向不受外力作 用，所以水平方向动量守恒。人起步前系 统的总动量为零。当人起步加速前逬时， 船同时向后加速运动；当人匀速前进时， 船同时向后匀速运动；当人停下来时，船也停下来。设某 一时刻人对地的速度为v2，船对地的速度为Vi，选人前进 的方向为正方向，根据动量守恒定律有屮2-叫1=0 ,即

2、冬=出_V) 叫 o因为在人从船头走到船尾的整个过程中，每一时刻系统都 满足动量守恒定律，所以每一时刻人的速度与船的速度之 比，都与它们的质量成反比。从而可以得出判断：在人从 船头走到船尾的过程中，人的位移S2与船的位移S1之比，也等于它们的质量的反比，即无由图可以看出，6+勺=厶咼叫 l 比一风 l由、两式联立解得1+叫（一）、人船模型说明：人在静止的船上行走时（不计水的阻力）则有以下 结论：由于在运动方向上人船组成的系统动量为零，故人走 船行，人停船止；（2）.船长L不是人行走的位移，而是人相对于船的位移；（3）.当人从船的一端走到另一端时，人和船行走的位移与 本身的质量成反比。这种人和船

3、具有相对运动而衍生出来的尖于动量守恒 定律应用的模型称为人船模型。（二）、人船模型特点（1）系统由两部分组成（若为多部分也可以转化为两部 分）；系统总动量守恒且总动量为零；©）组成系统的两部分有相对运动；（4）.要求与位移相尖的物理量。（三）、人船模型解法（1）画出运动过程中初末位置对比示意图，通过分析找出 与位移相尖的尖系式；（2）.列出运动过程中某时刻系统动量守恒的方程，如 miVi = m2V2，再利用微枳分的思想将其转换为与位移相尖 的方程，如miXi = m2X2 ;G）.联合两个与位移相尖的方程即可求解。二、模型的拓展上面、两式是人船模型的两个重要尖系式。对于人 船模型，

4、可以拓展为：一个原来处于静止状态的系统，在 系统内两个物体发生相对运动的过程中，有一个方向动量 守恒（如水平方向或竖直方向）的情况。拓展后的“人船模型适用条件是：（1）、两个物体组成 的系统初态静止；（2）、系统动量守恒或在某一方向上动量 守恒。那么这两个物体在动量守恒方向上的位移一定同时 满足、两式。使用、两式应特别注意：、S1和S2是两物体在动 量守恒方向上相对同一参照物的位移；（2）、式中的L为 两物体在动量守恒方向上的相对位移。三、模型的应用例：L、如图2所示，光滑水平面上有一小0车，小车上固定一杆，总质量为M ;杆顶 I° I 系一长为L的轻绳，绳另一端系一质量为塘；m的小

5、球；绳被水平拉直処于静止状态（小球处于最左 端）。将小球由静止释放，小球从最左端摆下并继续摆至 最右端的过程中，小车运动的距离是多少？解析：本题球和车组成的系统符合"人船模型的适用条件，因此可用、两式求解。但要注意球和车的相对位 移为2L.设某一时刻小球速度的水平分量为v（方向向右），小 车的速度为V（方向水平向左），选水平向左为正方向，根v _ M据动量守恒定律有= 0 ,即V m则小球的水平位移与小车的位移满足用以上两式联立解得例2、质量为m、半径为R的小球，放在质量为M、半径为2R的圆柱形桶内，圆桶 幵始静止在光滑水平面上。在小球从如图3所示位置无初 速度地沿圆桶内壁滚到最低点

6、的过程中，圆桶移动的距离R为亍，试求M是m的几倍？解析：本题看似与"人船模型差异很大，但仔细分析， 二者本质相同：系统初态静止且在水平方向上动量守恒， 因此小球和圆桶组成的系统符合"人船模型的适用条 件，只不过式中的相对位移L应为小球和圆桶在水平方 向上的相对位移R，而不是屈°设某一时刻小球速度的水平分量为v（方向向右），圆 桶的速度为V（方向水平向左），选水平向左为正方向，根 v _M据动量守恒定律有:MV-mv = 0 .即V m则小球的水平位移与圆桶的位移满足盼，又 宀产R图4以上两式联立解得M=2m，即圆桶的质量 M是小球质量m的2倍.例3、载人气球原来静

7、止于高h的高空， 气球质量为M，人的质量为m，若人沿绳 梯滑至地面，则绳梯至少为多长？ 解析：设某一时刻人的速度为5，气球的 速度为，选竖直向下为正方向，根据动量守恒定律有呷-必了。Vj _ in即Q历5 =巴则人的位移S1与气球的位移S2满足可二万 而人的位移Si=h，代入上式解得'厂仍 由图4知，绳梯的最短长度为心恥比总之，分析和解答物理问题的过程，就是构建物理模 型的过程。也即把物理问题与某些已有模型进行类比的过 程。通过表象、特征、功能等方面的相似性，使物理问题 与已有模型得到沟通，从而迅速确立解题的方向。但在这 些过程中，要十分注意模型的本质特征、约束条件，以便 有效、准确地

8、应用模型解题，避免出现差错。【配套练习】1、如图5所示，质量为M，半径为R的光滑 代o 半圆珈槽静止在光滑水平面上。有一质量为m I 的小滑块在与圆心O等高处无初速度滑下，在 国 小滑块滑到圆珈槽最低点的过程中圆珈槽产生的位移的大小为.2、如图6所示，一个质量为m的玩具蛙蹲在 质量为M的小车的细杆上，小车放在光滑的水 平桌面上。若车长为I，细杆高为h，且位于小 车的中点，试求：当玩具蛙最小以多大的水平 速度v跳出时，才能落到桌面上？e / t图63、质量为M的斜面体B置于光滑的水平地面上，斜面体 底边长为b,在其斜面上放有一质量为m的与斜面体相似的mbMba)a)A.M十加B. M十加C. M

9、十加D>朋4、如图4所示，一带固定支架的小车静止在光滑的水 平地面上，小车及支架的总质量为M，支架顶端用一不可 伸长的轻绳系一质量为m的小球，轻绳长度为L。现将小 球拉至细线处于水平伸直状态，然后由静止释放。求：(1) 、从释放到摆到最低点的过程中小车的位移大小；、小球摆到最低点时小球和小车的速度大小。5、某人在一只静止的小船上练习射击，船、人连同枪 (不包括子弹)及靶的总质量为M,枪内有n颗子弹，每颗子弹的质量为m，枪口到靶的距离为L，子弹水平射出枪口相对于地的速度为Vo，在发射后一发子弹时，前一发子 弹已射入靶中，在射完n颗子弹时，小船后退的距离为()6某人在一只静止的小船上练习射击

10、已知船、人连 同枪(不包括子弹)及靶的总质量为M，枪内装有n颗子弹， 每颗子弹的质量为m，枪口到靶的距离为L，子弹飞出枪口 时相对于地面的速度若在发射后一颗子弹时，前一颗 子弹已陷入固定在船上的靶中，不计水对船的阻力问(1) 、射出第一颗子弹时，船的速度多大？(2) 、发射第n颗子弹时，船的速度多大？(3) 、发射完颗n子弹后，船一共能向后移动多少距离？(4) 、若子弹足够多，能在练习打靶的过程中过河吗？7、如图所示，人和冰车的总质量为M，另有一个质量 为m的坚固木箱，开始时人坐在冰车上静止不动，某一时 刻人将原来静止在冰面的木箱以相对冰面的速度V。推向前 方的弹性挡板，同时冰车反向滑动.木箱

11、与挡板碰撞后又反 向弹回，设碰撞挡板过程中无机械能损失，人接到木箱后再以同样相对冰面的速度Vo将木箱推向挡板如此反复多次,试分析人推木箱多少次后将不可能再接到木箱(已知M :m=31: 2,不计摩mR答案：1、M+加;2、Ml2（M +?）4、解析：此题与例2非常类似 > 仍然属于系统在某一 方向上动量守恒的题目，只是物体的运动情形发生了改 变，而且是一道具有代表性的题目。(1)、小球在摆到最低点的过程中，初末位置对比示意 图如图所示，设小球在水平方向的分位移大小为X球，小车 的位移大小为X车，则有X球+ X车二L经分析系统在水平方向上动量守恒而且为零，设在小 球下摆过程中，某时刻小球在

12、水平方向的分速度大小为V 球，小车的速度大小为V车，则有mV球二MV车利用微枳分思想可得rnX球=MX车，解得X车二m+M、小球摆到最低点时的速度刚好是水平的，设在最 低点时，小球的速度大小为V1，小车的速度大小为v2，则 有 mVi = MV2而下滑过程中系统机械能也守恒，故有 mgL=lmV,2+iMV22v - pMgL v _ 2nrgL解得 1 V m+M 2 VM2+Mm5、解析:设n颗子弹发射的总时间为t取n颗子弹为整 体，由动量守恒得nmvo=Mvi,即nmvot=Mvit;设子弹相对于地面移动的距离为si,小船后退的距 离为s2r则有：Si=Vot s2= Vit；且 Si

13、+ s2=Lnml解得右臥.答案C6、(1)、(2)、射出第一颗子弹与射出第n颗子弹时 船的速度是一样大的，则动量守恒定律得 mv= (n-l)m+M V,V=mv/(n-l) + M(3) 、这是一个人船模型，设射完n颗子弹后船向后移 动的距离为 x 则 Mx=nm(Lx) x=nmL/(nm+M)7、人和冰车的总质量为M，车上有一木球质量为m，且M : m=31 : 2。人坐在静止于水平冰面的冰车上， 以速度v(相对地面)将原来静止的木球沿冰面推向正前方 向的固定挡板。不计一切摩擦阻力，设小球与挡板的碰撞 是弹性的，人接住球后，再以同样的速度v(相对地面)将 球推向挡板，求人推多少次后不再

14、能接到球？解：设第1次推球后人的速度为力，有o二甌厂和，第1 次接球后人的速度为£，有两+桝二("+咖】；第2次推球 (M + m)v=Mv2-mv 第2次接球加2+处二(M +型)叫；第n(2总_1)血斗次推球(M +咖;.严呱-和，由以上各式可得仏二M ，当 乙"时人便接不到球，可得n>8.25，取n=98、如图3所示，一质量为M底边长为的斜面体静止 在水平地面上，另一质量为m的小斜面体固定在斜面顶 端，其上表面刚好水平且长度为/，现使其由静止开始下滑 > 不计一切摩。求：从开始下滑到小斜面体下端刚好接触地面的过程中斜面体M的位移大小。8、解析：这类题目的物理情景我们经常遇到，属于系 统在某一方向上动量守恒的题目，现在增加了对人船模型 的考查，故难度较大。经分析可知小斜面体和斜面体组成 的系统在水平方向上动量守恒，而