平面向量数量积运算专题

1、平面向量数量积运算题型一 平面向量数量积的基本运算例1 （1）（2014 天津）已知菱形 ABCD勺边长为2, /BAD= 120° ,点E, F分别在边BC DC 上，BC= 3BE DC=入DF若AEAF= 1,贝U入的值为.（2）已知圆O的半径为1,PA P时该圆的两条切线，A, B为切点，那么鬲PB的最小值为（）A. 4+小B. 3+/C.-4+22D.-3+22变式训练1 （2015 湖北）已知向量OAlaB, | OA = 3,则OA-Ob=.题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例 2 （1）（2015 重庆）若非零向量a, b 满足 |a|=232|b|,且（ab），（

2、3 a + 2b）,则 a 与 b的夹角为（）D.兀兀（2）若平面向量a与平面向量b的夹角等于 彳，|a| =2, | b| =3,则2a b与a+2b的夹角的余弦值等于（）B.变式训练2 (2014 课标全国I )已知 A, B, C为圆O上的三点，若 Xb= 2( Ab+A(c ,则 ABfAC勺夹角为.题型三利用数量积求向量的模例3 (1)已知平面向量 a和b, |a| =1, |b|=2,且a与b的夹角为120° ,则|2a+b|等于()(2)已知直角梯形 ABC用，AD/ BC /AD住90° , AD= 2, BC= 1, P是腰DC上的动点，则| PA+ 3P

3、B|的最小值为 .1变式训练3 (2015 浙江)已知e1,e2是平面单位向量，且e &=2.若平面向量b满足b e1=b , e2 = 1,则 | b| =.高考题型精练1.（2015 山东）已知菱形 ABCD的边长为a, / ABG= 60° ,则BE）- C葬于（）A.13 22ab为平面向x, x>y,y, x>y,2 .（2014 浙江）记 maxx, y =min x, y=设 a,y, x<y,x, x<y,量，则（）| a + b|,|a-b|<min|a| ,|b| a + b|,|a-b|>min|a| ,|b| a +

4、 b|2, |a-b|2<|a|2+|b|2| a + b|2, |a-b|2>|a|2+|b|23 .（2015 湖南）已知点 A, B, C在圆x2 + y2=1上运动，且 ABL BC若点P的坐标为（2,0）则|PvPfe+PC的最大值为（）4 .如图，在等腰直角 ABO, OA= OB= 1, C为AB上靠近点 A的四等分点，过 C作AB的垂线l, P为垂线上任一点，设 OA a, OB= b, O鼻p,则p-（ba）等于（）A.3C. -2一 一 一 一 一 一 一 一 1 一5 .在平面上，AB，Afe,|OB| =|0B|=1,AP= AB+Ak 若|OP<2,

5、则|Oa的取值范围是（）C.(15，2D.(6.如图所示, ABC中，/ACB= 90 且 AG= BO 4,点 M满足 BM= 3MA 则CA CBB?于(7.（2014 安徽）设a, b为非零向量，|b|=2|a|,两组向量 X1,X2,X3,X4和y1,5,空,y4均由2个a和2个b排列而成.若X1 y1 + X2 y2+X3 y3+x4 y4所有可能取值中的最小值为4| a|2,则a与b的夹角为（）8.（2014 江苏）如图，在平行四边形ABCDK 已知 AB= 8, AD= 5, CP= 3Ph Af3- BP= 2,则AB-AD勺值是9 .设非零向量a, b的夹角为0,记f（a,

6、b）=acos 0 - bsin 。.若e, e2均为单位向量,且ei e2=¥3,则向量f (ei, e2)与f(e2, ei)的夹角为10 .如图，在ABC, O为 BC中点，若 AB= 1, AC= 3,AB, AC =60° ,则| OA =11 .已知向量 a=(sin x, 4), b= (cos x, - 1).当 a/b时，求 cos2x sin 2 x 的值;5 一12 .在ABC中，AC= 10,过顶点 C作AB的垂线，垂足为 D, AD= 5,且满足AD= rDB(1)求 |AB- AC ;(2)存在实数t>1,使得向量x = AB+ tAC,

7、y=tAB+AC,令k = x y,求k的最小值.平面向量数量积运算题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2014 天津)已知菱形 ABCD勺边长为2, /BAD= 120° ,点E, F分别在边BC DC上，BC= 3BE, DC=入DF若AE-AF= 1,贝U入的值为.(2)已知圆O的半径为1,PA P由该圆的两条切线，A, B为切点，那么PA比的最小值为()A. 4+姆B. 3+#C.-4+22D. 3+25答案(1)2(2)D解析(1)如图，-_> > >> > -> 1 > -> 1 _> -> 1 -&g

8、t;> 1 >>AE AF= (AB+ Bq(AN D9 = (AB+ BC ( AA DC)=AB- AN 彳 ABDO -BC-AA3人人31 >?yBC DC3人= 2X2Xcos 120。+ -1 X2X2+1X2X2+ jx2X2Xcos 120 ° =- 2+ = + 23 入33人入 33入 3人23，又 AE- Af= 1,入=2.1023人-3 (2)方法一 设|PA = |Pb = x, / APB= e ,则tan£ 11 - tan 2-2-22 x 1从而 cos 9 =- =x2-y.1 + tan 2工PA- PEB=

9、| PA | PB| cos 0x21 x4x2x2+12-3 x2+1+2x2+ 12.2 c、c ,c c=x + 1 H-2+ 1 3 > 2 弋2 3,当且仅当x2+i=y2 即x2=y2i时取等号，故PApb勺最小值为2423.方法二 设/ apb= e , o<e <兀，一 1则 |PA=|PB=rtan 1少一 个 一pa pb= | PAI PBcos e=(一1)2cos 8utan 一 2cos2 2 ”(1202sin y)1 - sin 2-21 2sin 2|.2 9sin 一2令 x = sin t，0<x< 11 2x贝UPApb=

10、2x+ 3>2、/23当且仅当2x = ；,即x=¥时取等号.故PA南勺最小值为2小-3.方法三以O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy,则圆O的方程为x2+y2=1,设 A(xi, yi) , B(xi, yi) , P(xo,0),贝UPA PB= (xi xo, yi)(xi x。，一 yi) = x2 2xix0+x2 y2.由 OALPA? 6A PA= (xi, yi) (xi-xo, yi) =0? xi xixo + yi=0,又 x2 + y2= i,所以 xix° = i.从而 PA PB= x22xix0+x2y2=xi2 + x0(i xi)=

11、 2x2 + x0-3>2 啦3.故PA-PB勺最小值为2啦-3.点评(i)平面向量数量积的运算有两种形式： 一是依据长度和夹角， 二是利用坐标运算，具 体应用哪种形式由已知条件的特征来选择 .注意两向量a, b的数量积a-b与代数中a, b的 乘积写法不同，不应该漏掉其中的“” .(2)向量的数量积运算需要注意的问题：a-b = 0时得不到a=0或b=0,根据平面向量数量n o积的性质有| a| =a，但| a b| w I a| |切.变式训练1 （2015 湖北）已知向量就危 |a =3,则8v6b=.答案 9解析 因为血届 所以8V 加=o.所以8V 6b=8v（6%龟=或+8v

12、 ab= o2+o= 32=9.题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角例2 （1）（2015 重庆）若非零向量a, b满足|a| =挛| b| ,且（ab），（3a + 2b）,则a与b 的夹角为（）D.兀7t（2）若平面向量a与平面向量b的夹角等于 可，|a| =2, | b| =3,则2a b与a+2b的夹角 o的余弦值等于（）答案(1)A(2)B22解析 (1)由(ab)，(3 a+2b)得(ab) (3 a+2b) = 0,即 3a a b 2b = 0.又a| =b| ,设a, b> = 0 , o22即 3| a| -1 a| | b| - cos e - 2| b| =0,

13、82 2/222 ；|b| 一r-|13| - cos 6 -2| b| = 0. ooyj2 ,7tcos 0 =.又: 0w 8 0 n， 0 =(2)记向量2a b与a+2b的夹角为 e , 2又(2a b)= 4 X 2 2 + 32 4 X 2 X 3X cos13,3(a+2b) 2= 22+4X 3 2 + 4X 2X 3Xcos g=52,3(2 a - b) ( a+ 2b) = 2a2- 2b2 + 3a b= 818+9= 1,故cos2a- b a+2b |2 a-b| - | a+ 2b|126'r.,， 一、一1即2a b与a + 2b的夹角的余弦值是点评

14、求向量的夹角时要注意：（1）向量的数量积不满足结合律， （2）数量积大于0说明不共 线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0说明两向量的夹角为直角，数量积小于 0且两向量 不能共线时两向量的夹角为钝角 .1 一 .变式训练2 （2014 课标全国I ）已知 A, B, C为圆O上的三点，若AO= 2（AB+AC,则A/ 成的夹角为.答案 900解析AO= 2（ AB+AC）,点OABCf边BC的中点，.BC为直径，根据圆白几何性质得 A的AC勺夹角为90。.题型三 利用数量积求向量的模例3 （1）已知平面向量a和b, |a| =1, |b|=2,且a与b的夹角为120° ,则|2a+b

15、|等于(2)已知直角梯形 ABCW, AD/ BC / AD090° , AD= 2, BC= 1, P是腰DC上的动点，则| PA+ 3PB|的最小值为 .答案(1)A(2)5解析(1)因为平面向量a和b, | a| = 1, | b| = 2,且a与b的夹角为120° ,所以 |2a+b| =q 2a 2+b2+2x|2 a| x | b|cos 120 °= 22X12+ 22+2X2X 1X2X2 = 2.(2)方法一 以D为原点，分别以DA DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系, 设 DC= a, DP= x. D(0,0) ,A：2,0)

16、,C(0,a),B(1, a) ,R0, x),PA= (2, -x), PB= (1 , a-x),- PAv 3PB= (5,3 a-4x),| PA+ 3PB|2=25+(3a-4x)2>25,.I Ph 3曲的最小值为5.方法二设 Dp= xDCC0< x<1),.PC=(i x)DcPA= DA- DP= DA- xDC-> > >, .、-> 1 >PB= PO CB= (1 x) DO DA(3 4x) DC4x)2 DC= 25+(34x)2DC>25,| 加 3PB| 2= 25-DA+ 2x25x(3-4x) DA- D

17、O (3 .|P甘3色的最小值为5.点评（1）把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a=（x,y）,求向量a的模只需利用公式| a| =dx2+y2即可求解.（2）向量不放在坐标系中研究， 求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a的模进行如下转化： ai = ya2.一1 _变式训练3 （2015 浙江）已知e1,e2是平面单位向重，且e 巳=2.右平面向重 b满足b - e1 =b , e2 = 1,则 | b| =.答案2731解析 因为| e = |国=1且e1 e2= 2.所以e1与&的夹角为6

18、0° .又因为b e = b &= 1, 所以 b - e1- b - e2= 0,即 b （e1一 e2） = 0,所以 b1（ e e2）.所以 b 与 e1 的夹角为 30° ,所 以 b e1 = | b| I a |cos 30 ° = 1.所以|b|二半3高考题型精练1.（2015 山东）已知菱形 ABCD的边长为a, / ABC= 60° ,则前y C葬于（）A.13 22aB3a2答案 D解析 如图所示，由题意，得 BOa, CD= a, Z BCB=120Bt5= Bd+Cl5-2BC- CD- cos 120 ° =

19、 a2+ a2- 2a , ax _5 =3a2,BD=，5a.BD-也=| 函| Cq）cos30= 樨2>< 亭=#x, x>y,y, x>y,2 .（2014 浙江）记 maxx, y =min x, y=设 a, b 为平面向y, x<y,x, x<y,量，则（）| a + b| , | a- b| <min| a| , | b| a + b| , | a- b| >min| a| , | b| 2222I a + b| , |a-b| <| a| +1 b| 2222I a + b| , |a-b| ） > I a| + |

20、 b|答案 D解析 由于|a+b|, | a b|与| a| , |b|的大小关系与夹角大小有关，故A, B错.当a, b夹999角为锐角时，|a+b|>|ab|,此时，|a+b| >| a| +| b| ；当a, b夹角为钝角时，|a+b|<|a-b| ,此时，|ab>|a十|b|2；当 a，b 时，| a + b-= | ab| | a| 之+| b| 故选 D.3 .（2015 湖南）已知点A, B, C在圆x? + y2=1上运动，且 ABL BC若点P的坐标为（2,0）,则|昂白乱的的最大值为（）答案 B解析 . A, B, C在圆 x2+y2= 1 

21、7;,且 ABLBC.AC为圆直径，故 PAvPb= 2PO>(-4,0),设 B(x, y),则 x2+y2= 1 且 xC 1,1 , Pb= (x2, y),，PAPB+PC= (x- 6, y).故| 热通血=412x+37, . x= 1 时有最大值，49= 7, 故选B.4 .如图，在等腰直角 ABO, OA= O由1, C为AB上靠近点 A的四等分点，过 C作AB的垂 线l, P为垂线上任一点，设 OA= a, O由b, O恒p,则p(ba)等于()3C. -2答案 A解析 以OA OB所在直线分别作为x轴，y轴,O为坐标原点建立平面直角坐标系，3 1则 A(1,0) ,

22、B(0,1),q4, 4),直线l的方程为y： = x 441即 x-y-2= 0.11设 P(x, x-2),则 p= (x, x万),而 b a= ( 1,1),一,11所以 p- (b-a) = -x+(x-2)=-2.，一_. .f ff1-f ，.一一5 .在平面上，A B±A B,| O B| =|O B| = 1, A2 A B + A B.若|0册1则|O A的取值范围是（）A.（0 ,监B.（挈坐C.（U ,2D.模 2答案 D1解析 由题意，知B，艮在以O为圆心的单位圆上，点P在以O为圆心，耳为半径的圆的内部.又AfeAfe, AP= Afe+Ah,所以点A在以为

23、直径的圆上，当P与O点重合时，|Oa取得最大值2/2,当p在半彳空为1的圆周上时，| OA取得最小值 平，点M满足BM= 3MA则CvF &等于（故选D.6 .如图所示， ABC中，/ACB= 90° 且 AG= BC= 4答案 C解析在 ABC43,因为/ ACB= 90° 且 AC= BC= 4,所以AB= 4/，且B= A= 45° .因为BMk4.23MA 所以 BMh 3BA 所以丽 Cb=(Cb+ BM . Cb=CB+bm/i- Cb=CB+bA- Cb= 16+Jx444X4cos 135 ° = 4.7.(2014 安徽)设 a

24、, b 为非零向量，|b|=2|a|,两组向量 xb X2, X3, X4和 y1, p, y4均由2个a和2个b排列而成.若xi yi + X2 y2+X3 y3+X4 y4所有可能取值中的最小值为4| a|2,则a与b的夹角为()答案 B解析 设a与b的夹角为0 ,由于Xi, yi(i =1,2,3,4)均由2个a和2个b排列而成，记 SXi yi),则S有以下三种情况:S= 2a2+2b2；S= 4a b；S=|a|2+ 2a b+|b|2. I b| =2| a| ,中 S= 10|a|2,中 S= 81a12cos e ,中 S= 5| a| 2+4| a| 2cos 0.易知最小，

25、即 81a12cos 0 = 4| a|2,cos 0=；,可求 0 =-,故选 B.238 .(2014 江苏)如图，在平行四边形 ABCM,已知 AB= 8, AD= 5, Ca 3而 京。BP 2, 贝U Afe. AD勺值是.答案 22解析 由昆3PD),得荏 1DC= 1AB, AfAd>dfAd> 1AB, BfAfAb=A>Ab-AAd 4444-4 AB因为巾 通 2,所以(AD> 4曲 (Ab- 4丽 =2,即AD 加 AB-磊回 2.又因为AD= 25, 而=64,所以 AB- AD= 22.9 .设非零向量a, b的夹角为8,记f(a, b) =

26、acos 0 - bsin 。.若ei, e2均为单位向量，且ei e2=乎，则向量f(ei, e2)与f(e2, ei)的夹角为.答案解析由 ei e2= 2 ,可得 cosei, e2>ei e2羽|ei| e2 厂2故ei, e2>7t一e261e25兀ei > =兀 一 e2, ei > = 6f (eie2)= eicose2sin ： = ei 1e2,66622'f (e25兀ei) = e2cos -6- ( ei)sin5兀f (ei,e2)- f(e2,e。=(暮2.3 i2 ei - 2e2)ei , e2= 0,所以 f( ei, e2)

27、±f (e2, - ei).兀故向量f(ei, e2)与f(e2, ei)的夹角为 5.10 .如图，在ABC, O为 BC中点，若 AB= i, AC= 3,的 AC =60° ,则| OA =答案-23,.一一 .rr- f 7f r1371f解析 因为ABA。=60 ,所以 ABAC= | AB - I AC|cos 60 =iX3X 2 = -,又 AO= -(AB+ AC,所以AO=；(Ab+A<c2=4(A + 2Ab- AC>AC),即AO=；(i +3+9)=* 所以 |OA. 211 .已知向量 a= (sin x, 4), b= (cos x, i).(i)当 a/b 时，求 cos2xsin 2 x 的值；(2)设函数f(x) = 2(a+b) b,已知在 ABO,内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,若a的取值范围.弧 b=2, sin B=坐，求 f (x) + 4cos(2 A+。)( x C 0 , -y)“ 一，3解 (i)