数学全国版教案八升九-3中点的联想(一)

1、动态数学思维教案教材版本： 人教版.学 校：教师年级八升九授课时间课时2课M课题第三讲中点的联想（一）教材分析本节是在完成大部分初中几何知识的学习后的总结性专题，关于“中点”问题一直是各类考试几何类型题目中的“宠儿”，初中阶段重点学习了与中点联系 较为紧密的四种用法，分别是：三线合一、倍长中线、中位线、斜边中线.本节学习前两种，为三线合一与倍长中线.本讲题目所考察内容以“三线合一”与“倍长中线”为作辅助线的方法，禾 用全等证明为手段证明相关结论，所证明结论从角度的等量关系到不等关系， 从 线段间等量关系到不等量关系， 所选题目尽可能“打尽”初中阶段此类题型所遇 到的结论证明.四道例题中，每一道

2、都可作为生生互动的题目，教师可根据学员 情况而定.教 学 目 标知识技fg掌握两种中点用法：1 .等腰三角形中“三线合一”；2 .图形中有中线或类中线时“倍长中线”.数学思考在研究图形性质的过程中，进一步发展空间观念，经历借助图形思考问题的过程， 初步建立几何宜观.问题解决通过小组合作交流，培养学生独立思考及团队合作意识， 经历从不同角度分析问 题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决 问题的一些基本方法，在与他人合作交流的过程中，能较好地理解他人的思考方 法和结论.情感态度积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲，感受成功的快乐，体验独自克服 困难，解决数学问题

3、的过程，有客服困难的勇气，具备学好数学的信心.教学重点、难点教学重点：两种辅助线作法：1.三线合一；2.倍长中线.教学难点：1 .确定中点类型；2 .运用该中点类型特点证明.教学准备动画多媒体谛言课件第一课时复备内谷及讨论记录教学过程一、导入1 .师生谈话师：在几何的学习中，尤其是在通过添加辅助线的几何证明中提到“中点”同学们会联想到哪些知识？讨论回答或提问回答（教师注意掌握提问时间，不易过长）生1:等腰三角形中底边上有中点时，可以利用“三线合一”.生2:出现“中点”还可以想中位线，或者是“直角三角形斜边中线等于斜 边一半”.生3:还有“倍长中线”.师：同学们回答的还是比较全面的，下面，我们通

4、过本节课的动画导入看 看我们需要学习的知识.2 .播放导入师：通过同学们的总结以及动画导入，我们了解了四种有关中点的联想， 它们分别是生：三线合一、倍长中线、中位线、斜边中线.3 .出示“聚焦课标”中的“三线合一”内容师：本节课我们先通过例题学习“三线合一”与“倍长中线”的用法，首 先了解一下“三线合一”的基本图形.聚焦课标1.三线合一等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成 线合一”）已知等腰三角形，可由顶点向底边作垂线，构造“三线合一”师：已知等腰三角形底边中点（点 P）,可将其与顶点连接，构造“三线合一”；已知等腰三角形，可由顶点向底边作垂线，构造“三线合一”师：

5、下面我们一同学习本节课的例 1.4.出示例1二、教学新授-典例呈现题型一三线合一的应用（1）例1如图，在 ABC中，/A=90°, AB=AC, D是BC的中点，P为BC上 任一点，作PEXAB, PFXAC,垂足分别为E, F.求证：DE=DF 且 DEXDF.答案:证明：连接AD,. AB=AC, /BAC=90°, D 是 BC 的中点， ，一。 一一 1 一 一 ，一. C=/DAE=45 , AD=CD=-BC, ADXBC.2. PFXAC, /C=45°, ./ FPC=/C=45°, .PF=FC. /BAC=90°, PEXA

6、B, PFXAC, 四边形AEDF是矩形， .AE=PF. .AE=FC.在AADE和ACDF中，AE=FC, /EAD=/C, AD=CD , .ADEACDF, .DE=DF, / 1 = /3, Z2+Z3=90°, / 1 + /2=90°. 即 DE=DF 且 DEXDF.1 .分析题目师：哪位同学谈谈对题目的理解生：在求证两线段的关系时，通常为转化为证明两三角形全等，而本题中 既有等腰三角形又有底边的中点，从而可以通过连接三角形顶点与底边中点.师：A同学说的非常好，也就是说“已知等腰三角形底边中点，可将其与顶点连接，构造“三线合一”.2 .根据班级学员实际情况，

7、可请一名学生详细的说一下证明思路3 .独自书写证明过程，教师巡视4 .出示本节“拓展延伸”题目拓展延伸如图，两个等腰直角4ABC与4DEB,点E, B, C在同一条直线上，P为EC中点.猜想PD与PA的关系并证明.参考图答案：解：猜想：PD=PA,且PDLPA.证明如下： 延长线段ED和CA交于点O,连接OP.在等腰直角 EDB 中，/ EDB=90° , BD=ED, / E=45° ,在等腰直角 ABC 中，/ BAC=90° , / C=45° ,./ C=/E=45°,.EOC为等腰直角三角形，OE=OC, /EOC=90°.

8、P为EC的中点, 1 。,-，OP=EP=PC, / COP= / EOC=45 . 2EP=OP, /E=/POA, DE=AO, Z ODB=180 -Z EDB=90°, /BAO=180°-/BAC=90° , 又. / DOA=90° , 四边形OABD是矩形， .OA=BD=DE.在4DPE 和AAPO, .-.DPEAAPO, .PD=PA, / 2=/ 1./ 2+/3=90° , / 1 + /3=90°. 即 PDXPA, FA=PD.1 .简单分析题目师：大家看看这个题目，与例1所求证的相同，也是说明两线段的关系

9、， 在观察这个图形，你有什么发现呢？生：与例1的图形有些类似，但又有不同师：因此我们可以如何处理呢？生：可以还原为例1的图形，/ E与/C都等于45° ,从而分别延长ED 与CA就可以还原为例1的图了.2 .提问，教师巡视时在例1的证明上不熟练的学生回答思路3 .出示例1 “以渔得鱼”，学生独立解答 以渔得鱼如图1, 4ABC与4DEF都是等腰直角三角形，/ ACB=/EDF=90°,且点 D在AB边上，AB, EF的中点均为 O,连接BF, CD.(1)求证：BF=CD;(2)将图1中RtADEF绕点。旋转得到图2,猜想此时线段BF与CD的 数量关系，并证明你的结论.图1

10、图2参考图答案：(1)证明：连CO,ABC为等腰直角三角形，O为AB的中点， OCXAB, OC=OB= 1 AB.2 一 一 1 同理 ODLEF, OD=OF=-EF.2 在ABOF和ACOD中，BO=OC, / BOF=/COD=90°, OF=OD,. ABOFACOD, BF=CD.(2)解：猜想：BF=CD.理由如下： 连 OC, OD.V AABC为等腰直角三角形，O为AB的中点，.OCXAB, OC=OB=-AB.2 同理 ODLEF, OD=OF=1EF.2/ BOC=/DOF=90°, ./ BOC+/COF=/DOF+/COF, 即/ BOF=/COD

11、.在ABOF ffiACOD 中，BO=OC, / BOF=/COD=90°, OF=OD, ABOFACOD, .BF=CD.4 .教师点评，总结思路5 .例题小结师：已知等腰三角形底边中点，可将其与顶点连接，构造“三线合一”，并利用其性质通过转化为证明三角形全等来求证线段间的关系.师：在等腰三角形中，若没有底边的中点时，我们一样可以通过向底边引 垂线的方式来构造所需的证明条件.例如例2题型二 三线合一的应用（2）例 2 如图，在 4ABC 中，/BAC=90°, AB=AC , D 是 AC 的中点，AEXBD 于点E,延长AE交BC于F.求证：/ADB=/CDF.答案

12、：证明：过点A作AHLBC于点H,交线段BD于点G,/BAC=90°, AB=AC, AHXBC, . / C=/1 = /CAH=45°, /2+/BAE=90°. ,.AEIBD, . /2+/BAE=90°, ；/2=/3.在AABG和ACAF中， /2=/3, AB=AC, / 1 = /C, .ABGACAF, .AG=CF.,. D是AC的中点， .AD=DC, 在AADG和ACDF中， AD=CD, /DAG = /C, AG=CF,.ADGACDF, ./ADB=/CDF.1 .出示例2,分析师：例1中我们利用等腰三角形“三线合一”的性质

13、证明了线段间的关系, 同样地，也可以利用等腰三角形“三线合一”的性质以及通过证明三角形全 等来求证两角的数量关系.2 .提问如何作辅助线生：过点A作底边的垂线.师：好，我们按着这位同学的想法，作出这样的辅助线，那么有全等三角形出现吗？生：易证 ABG和4CAF全等.3 .请学生详细的说明一下 ABG和 CAF全等的思路4 .继续分析师：通过证明两三角形全等，可以得到/ ADB=/CDF吗？生：还不可以，但是可以利用 ABG和4CAF全等的性质，再次证明含有/ADB与/ CDF的两个三角形全等.师：哪一对三角形呢？生： ADG ffiACDF.5 .教师总结思路师：通过大家力量，我们可以将证明/

14、 ADB=/CDF的思路总结如下：过点A作AH垂直于BC,垂足为H,交BD于G;利用等角的余角相等及等腰三角形性质可证明 ABGA CAF;利用 ABGzXCAF的性质可证明 ADGACDF;利用ADGzXCDF的性质可证/ ADB=/CDF.6 .利用教师总结思路，学生独自书写过程，教师巡视书写情况7 .出示例2 “以渔得鱼”，请学生说明证明思路以渔得鱼 如图，在 ABC中，/ BAC=90° , AB=AC,点D, M是边AC上两点，且AD=CM , AEXBD 于点 E,延长 AE 交 BC 于 F.求证：/ADB=/CMF.证明：过点A作AHLBC于点H,交线段BD于点G,/

15、BAC=90°, AB=AC, AHXBC,. / C=/1 = /CAH=45°, /2+/BAE=90°.VAEXBD . /2+/BAE=90°, ；/2=/3.在AABG和ACAF中,/2=/3, AB=AC, / 1 = /C, .ABGACAF, .AG=CF.在AADG和ACDF中,AD=CM, /DAG=/C, AG=CF, .ADGACDF, ./ADB=/CDF.三、知识检验2.如图，已知 ABC中，AD平分/BAC,AD=BD, CDXAC,贝U有(A. AB=2ACC. AB=3AC3B. AB= - AC 2D. AB= 5 A

16、C34 .如图，D 为 4ABC 内一点，CD 平分/ACB, BDXCD, /A=/ABD,若AC=5, BC=3,贝U BD 的长为.5 .如图，在 ABC 中，AC=BC, /ACB=90° , D 是 AC 上一点，AEXBD 交BD的延长线于E,且AE=1BD.2求证：BD是/ABC的角平分线.四、课堂小结在求证两线段之间关系或角度之间关系时， 我们可转化为证明相应的三角形全等，特别地，在等腰三角形中可利用“三线合一”的性质等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“三 线合一”）已知等腰三角形底边中点（点P）,可将其与顶点连接，构造“三线合一”.zd

17、Xl /E已知等腰三角形，可由顶点向底边作垂线，构造“三线合一.第二课时复备内容及讨论记录教学过程一、导入师：上节课我们学习了在等腰三角形中利用“三线合一”的性质证明线段、 角的关系，本节课，接下来我们继续探究有关中点的联想.首先，请同学看一下这样一个题目.考点情境我们知道，在同一个三角形中较长的边对应的角较大（大边对大角） ，同 样的，在同一个三角形中较大的角对应的边较长（大角对大边）.例如，如图 1,在 ABC 中，AB>AC,那么/ C>/B.若在4ABC 中，AB>AC, AD 为解：/DABV/DAC,理由如下：延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,在ZXACD

18、和4EBD 中，'AD=DE,Y ZADC=Z EDB,%D=BD,.ACDAEBD, .AC=BE, /DAC=/E.在 ABE 中，AB>AC=BE, ./ E>/ DAB.即/ DAB</ DAC.1 .出示“考点情境”题目，分析师：在同一个三角形中较长的边对应的角较大，也就是“大边对大角”，同样地也有“大角对大边”，这也给我们了证明的方向.哪位同学可以说一下这 个证明的方向是什么呢？又通过怎样的方法实现呢？2 .学生思考后回答生：将比较/ DAB与/ DAC的大小转化为/ DAB与/ DAC或其等角在同 一三角形中所对边的大小，并通过“大边对大角”说明/ DA

19、B与/ DAC的 大小.师：回答的非常好，根据这位同学所说，启两个问题需要我们考虑：首先， 根据“同一个三角形中大边对大角”，显然，/ DAB与/DAC不在同一个三 角形中，这就需要我们将其角转化到同一三角形中；其次，我们通过什么方 法来达到转化的目的呢？生：AD是4ABC的中线，可以尝试“倍长中线”方法进行转化.师：大家左右之间相互讨论，两分钟后请同学回答3 .汇报讨论结果4 .教师总结，出示“聚焦课标”中“倍长中线”部分师：在三角形中若出现中线或类中线，可通过加倍延长该中线的方法构造 全等三角形，也就是我们常说的“倍长中线”.其对应的基本图形如课件中所 示，通常有如下两种作“倍长中线”的方

20、式：图形中含有中线或类中线， 可倍长中线或类中线，构造全等三角形；遇到两平行线所截得的线段的中 点时，可延长中线或类中线，构造“ 8”字形全等三角形.聚焦课标5 .倍长中线通过加倍延长图形中一边上的中线或类中线（与中点有关的线段）的方法， 构造全等三角形，（简写成“倍长中线”）.图形中含有中线或类中线，可倍长中线或类中线，构造全等三角形.图图遇到两平行线所截得的线段的中点时，可延长中线或类中线，构造“8”字形全等三角形.二、教学新授-典例呈现师：下面，我们一同学习如何利用“倍长中线”证明相关结论题型三倍长中线的应用(1)例3已知 ABC中，/ACB=90° , D是边AB的中点，/

21、EDF=90(1)如图1,若E, F分别在AC, CB边上，猜想AE2, BF2和EF2之间的 等量关系为.(2)若E, F分别在CA, BC的延长线上(如图2),判断(1)中的结论是 否成立？若成立，请证明结论.答案：(1) bf2+ae2=ef2(2)证明：延长ED至点G,使ED=DG,连接BG和FG.在zADE 和4BDG 中，AD=BD, /ADE=/BDG, DE=DG,.ADEABDG, .AE=BG, /EAD = /DBG.又; DEXDF, DE=DG, . EF=FG.(垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等) . /EAD=/1 + /BCA, /DBG = /1 + /

22、2, ./2=/BCA =90° .在 RtAFBG 中，BG2+FB2 =FG2, .AE2+FB2=EF2.1 .出示例3,分析师：对（1）中问题，同学们应该是比较熟悉了，请一位同学直接说一下证明思路吧2 .学生直接回答并简单说明证明思路3 .教师简答总结（1）师：对于猜想不在同一三角形中三线段平方的关系时，通常该三线段平方 关系定与勾股定理有关，也就是要将其三线段转化到同一直角三角形中进行 说明.4 .分析（2）中问题师：若E, F分别在CA, BC的延长线上（如图2）,判断（1）中的结论是 否成立？若成立，请证明结论.生：依然成立，方法与（1）中相同师：此类证明问题前后方法基

23、本一致，那么在这个问题中，我们将哪个线 段当作“中线”呢？也就是我们要倍长哪一条线段？生：将ED看作“中线”，并将其倍长相对比较简单.师：也就是说，我们要倍长ED后，证明相应三角形全等，进而达到将AE, BF和EF三线段转化到同一直角三角形的目的.5 .学生独自证明后，回答6 .出示例3 “以渔得鱼”，学生尝试证明（教师也可简单分析后，学生解答， 难点在于二次全等证明）以渔得鱼如图所示，等腰直角 ABC与等腰直角 BEF具有公共的顶点B,且点B, F, C在同一条直线上，点P为CF的中点，连接PA, PE.猜想线段PA, PE 的关系并加以证明.答案：解：猜想：PA=PE,且PALPE.证明如

24、下：延长AG至点G,使AP=PG,连接FG和EG.在乙APC和4GPF中，AP=PG, /APC=/GPF, PC=PE, .APCAGPF. .AC=FG, / C=/ 1. . ABC和 BEF都是等腰直角三角形， .FG=AC=AB, BE=EF, /1 = /C=/2=45° , / ABE= / BEF=90 ° . / 1 + Z2+Z 3=180° , .Z 3=180° -/ 1-/2=90° . 在AABE和AGFE中，AB=FG, /ABC=/3, BE=EF, .ABEAGFE, .AE=EG, /AEB=/GEF. .

25、/AEB+/4=90° , ./AEG=/GEF+/4=90° . 又AE=EG, AP=PG, .PE=AP=-AG, PE LAG. 2即 AP=PE, APXPE.7.教师小结师：在利用“倍长中线”的方法时，尤其是类中线型题目，一般有两个难 点需要注意，一是找到哪条线段为类中线；二是需二次全等证明.师：在有关“倍长中线”的类型题目中，若遇到两平行线所截得的线段的 中点时，可延长中线或类中线，构造“ 8”字形全等三角形.接下来通过两个 例题研究其解决方式.题型四倍长中线的应用(2)例4如图1,在正方形 ABCD和正方形CGEF (CG>BC)中，点B, C, G

26、在同一直线上，M是AE的中点.(1)探究线段MD、MF的关系为(2)将图1中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF的对角 线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件 不变(如图2) . (1)中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证 明.图2参考图(2)解：猜想结论不变，MD=FM, MDLFM.证明如下：延长DM交线段CE于点N,连接DF和FN.在正方形 ABCD 中，AD/BE, AD=CD,./DAM = /NEM, /ADM=/ENM.,. M是AE的中点， .AM=EM.在4ENM和4ADM中，/NEM = /DAM, /ENM=/ADM,

27、 EM=AM,.ENMAADM, .EN=AD=CD.在正方形CGEF中，CE是对角线， ./DCF=/FCE=/FEN=45°, /CFE=90°, CF=EF. 在ACDF和AENF中，CD=NE, /DCF = /NEF, CF=EF,.-.CDFAENF, .CF=EF, / 1 = /2./2+/CFN=90°, . / 1 + /CFN=90°. 又= DF=FN, DM=NM, .DM=FM, DMXFM.1 .出示例4,分析(1)师：根据“遇到两平行线所截得的线段的中点时，可延长中线或类中线，构造“8”字形全等三角形”的方法，谁能谈一谈如

28、何探究线段MD、MF的关系？生：延长DM至EF,可构造“ 8”字形全等三角形”.2 .请学生回答证明方法3 .分析(2)师：(2)中哪条线段可作为“中线”，哪一组线段又可作为相应的平行线呢？生：DM可作为“中线”，AD与BE可作为相应的一组平行线.师：我们可以通过延长 DM交线段CE于点N,连接DF和FN,构造“ 8” 字形全等三角形”，这样可以探究线段 MD、MF的关系吗？生：还不可以，还要通过二次全等证明.常：非常好，我们已经多次提到“倍长中线”的两个难点，一为发现“中 线”；二为二次全等证明.4 .出示例4的“以渔得鱼”(可相互讨论)师：利用例4的解答方法，同学们思考下面的“以渔得鱼”题

29、目.以渔得鱼如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A, B, E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结 PG, PC.若/ ABC=/BEF=60°(1)探究PG与PC的关系为.(2)若将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变 （如图2）.在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明图1参考图图2参考图答案：(1) PGXPC, PG=3PC;(2)解：猜想：(1)中的结论没有发生变化.证明：如图，延长GP交AD于点H,连结CH, CG.P是线段DF的中点， .FP=DP.由题

30、意可知AD/FG. ./GFP=/HDP, /PGF=/PHD, .-.GFPAHDP. .GP=HP, GF=HD.GF=GB, .HD=GB.二.四边形ABCD和四边形BEFG是菱形，且菱形BEFG的对角线BF恰好与 菱形ABCD的边AB在同一条直线上， .CD=CB, / HDC = /ABC=60°. / 3=60° . ./ HDC = /3, .HDCAGBC. .CH=CG, / 1 = /2. / 1 + /HCB=/2+/HCB=120° .即 / HCG=120° .CH=CG, PH=PG, PGXPC, / GCP= / HCP=

31、60° .在 RtzXPCG 中，CG=2PC, PG=<GC2 PC2 =73 PC.即 PGXPC, PG=<3PC.5.教师小结师：遇到两平行线所截得的线段的中点时，可延长中线或类中线，构造“ 8” 字形全等三角形.另外，需注意其两个难点：一为确定“中线”；二为二次全 等证明.总之，“题中有中线，莫忘加倍延”.三、知识检验1.如图，在 ABC中，D为BC中点，AC=5, AD=7,则AB边的取值范围3.如图，在 ABC中，点D, E为边BC的三等分点，有如下四个结论：BD=DE=EC;AB+AE>2AD;AD+AO2AE;AB+AC>AD+ AE,其中

32、正确结论的序号.(填序号)6.如图，在 ABC中，AD为BC边的中线，分别以AB边，AC边为直角边 各向形外作等腰直角 ABE和等腰直角 ACF,求证：EF=2AD.拓展创新在4ABC中，点P为BC的中点.(1)如图1所示，求证：AP<1(AB+AC);2(2)延长AB至点D,使得BD=AC ,延长AC至点E,使得CE=AB,连接 DE, BE,如图2所示，若/ BAC=60° ,请你探究线段BE与线段AP之间 的数量关系，写出你的结论，并加以证明.答案：(1)证明：延长线段 AP至点D,使PD=AP,连接BD和CD.v BP=PC,四边形ABDC是平行四边形， . AC=BD

33、.在4ABD 中，AP<AB+BD,即 2AP<AB+AC.1 八AP (AB+AC).2(2)方法一：延长AP至点F,使PF=AP,连接BF, CF和DF.v BP=PC,一四边形ABFC是平行四边形， ./1=/ DAC=60° , BF=AC=BD, .BDF 是等边三角形，BD=DF, / BDF=60° . BD=AC, CE=AB,AD=AB+BD=CE+AC=AE.又. / BAC=60 .ADE 是等边三角形，AD=DE, / BDE=60° ./BDF=/BDE=60° , .二点F在线段DE上. 在AADF和AEDB中， AD=DE, /D=/D, BD=DF,.ADFAEDB, .