初三【数学(北京版)】圆的切线(2) 教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级初三学期第一学期课题圆的切线(2)教科书书名：义务教育教科书数学九年级上册出版社：北京出版社出版日期：2015年7月教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.通过探索切线的性质，掌握切线的性质定理，并能应用性质解决和圆的切线有关的问题.了解反证法证明命题的一般思路和基本步骤.2.经历观察、猜想、证明等探究活动，感受研究数学问题的一般思想方法，提升综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，提升逻辑推理能力.3.提升用数学眼光发现问题、解决问题的能力,积累数学活动经验,养成良好的学习习惯,形成严谨求实的科学态度.教学重点：切线的性质定理及定理应用.教学难点：反证法证明切线性质定理.教学过程时间教学环节主要师生活动3分钟8分钟7分钟2分钟1分钟1分钟复习回顾探究新知巩固新知总结提升课后巩固一、复习回顾：（一）直线和圆的位置关系：根据直线和圆公共点的个数将直线和圆的位置关系分为三种：直线与圆有没有公共点时，称这条直线和这个圆相离；直线与圆有唯一公共点时，称这条直线和这个圆相切；直线与圆有两个公共点时，称这条直线和这个圆相交.相离d>r.相切d=r.相交d<r.（二）切线的判定方法：1.根据切线的定义：当一条直线与一个圆有唯一公共点时，我们称这条直线和这个圆相切.这条直线叫做圆的切线.2.圆心O到直线l的距离d等于圆的半径r时，直线l与⊙O相切.即：直线l与⊙O相切d=r.3.切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.符号语言：∵OA是⊙O的半径，直线l经过点A且l⊥OA.∴直线l是⊙O的切线.通常用法：连半径，证垂直，得切线；作垂直，证半径，得切线.二、探究新知：（一）探究切线的性质：问题1：指出切线判定定理的题设和结论.题设：一条直线经过半径的外端，并且垂直于这条半径.结论：这条直线是圆的切线.问题2：写出切线判定定理的逆命题.逆命题：如果一条直线是圆的切线，那么这条直线经过半径的外端，并且垂直于这条半径.问题3：切线的判定定理的逆命题是真命题吗？如果是真命题，写出已知和求证.已知：直线l与⊙O相切于点A.求证：l⊥OA.问题4：如何证明这个猜想？分析：根据已有学习经验我们知道：要证明两条直线垂直，通常应该证明这两条直线相交成角是直角.而根据已知条件发现：由直线l与⊙O相切于点A，可以得到的结论是直线l与⊙O只有一个公共点A，并且圆心到直线距离等于半径OA，而无法得到l与OA相交成角是否是直角，也就不能说明l与OA垂直.对于这种直接证明很难的问题，我们可以尝试用反证法证明.问题5：回忆反证法证明命题的一般步骤并完成证明.反证法证明命题的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出与定义、基本事实、定理或题设相矛盾的结论；（3）由此判断假设不正确，从而肯定原命题的正确性.具体证明过程如下：证明：假设直线l与OA不垂直.过点O作OC⊥l，垂足为C.∵OC⊥l，又∵垂线段最短，∴OC<OA，即圆心到直线l的距离小于半径，∴直线l与⊙O相交.这与已知条件“直线l与⊙O相切”相矛盾.∴l⊥OA.（二）归纳切线的性质定理：切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.符号语言：∵直线l与⊙O相切于点A，∴l⊥OA.用法：知切线，连半径，得垂直.（三）归纳切线的性质：1.定义：当一条直线与一个圆相切时，这条直线和这个圆有唯一公共点.2.定义引申：一条直线是圆的切线，圆心到这条直线的距离等于半径.即：直线l与⊙O相切d=r.3.切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.三、巩固新知：（一）典例分析：例：已知：如图，AB为半圆O的直径，CD为半圆O的一条切线，C为切点，AD⊥CD，垂足为D.求证：AC平分∠DAB.分析：首先思考由题中的每一个已知条件都能得到哪些结论,哪些结论对于解决本题有用.其次思考要得到AC平分∠DAB这个结论需要哪些条件，这些条件是否可由已知得到.引导学生理解两种分析问题的思路：由因导果，执果索因.方法一：连接OC，得OC⊥CD.由AD⊥CD，得AD∥OC，得∠1=∠3.由OA=OC，得∠1=∠2.所以∠2=∠3得证.方法二：连接OC，得OC⊥CD.所以∠1+∠4=90º.因为AD⊥CD所以∠4+∠3=90º.由同角的余角相等得∠1=∠3.由OA=OC，得∠1=∠2.所以∠2=∠3得证.反思：1.解决本题的关键是连接经过切点的半径，由切线的性质定理得到垂直.即：知切线，连半径，得垂直.2.在解决圆的问题时要特别关注由半径相等得到的等腰三角形，如本题中OA=OC，所以△OAC为等腰三角形.3.关注常用基本图形：(1)平行、等腰、角平分线.(2)有垂直就有互余关系.（二）巩固练习：已知：如图，P是⊙O的直径CD的延长线上的一点，PA与⊙O相切于点A，∠P=30º.求∠ACP度数.分析：连接OA，由PA与⊙O相切于点A可以得到OA⊥PA.所以△PAO为直角三角形，由OA=OC，得△OAC为等腰三角形.再利用三角形的相关知识很容易解决问题.反思：切线的性质是得到直角的重要依据，进而可以和平行线、等腰三角形、直角三角形等知识结合.四、总结提升：（一）知识方面1.切线的性质定理是切线的判定定理的逆定理.判定定理：连半径，证垂直，得切线；作垂直，证半径，得切线.性质定理：知切线，连半径，得垂直.2.关注圆的切线与其它几何知识的综合应用，解决和圆有关的问题.（二）方法方面1.能在复杂图形中辨识出基本图形，解决相关问题.2.能够用两种分析方法灵活分析解决问题.五、课后巩固：课后作业分为两个层次，可依据自身情况选择完成.A层：1.请你归纳总结圆的切线的有关知识，并画出知识框图。2.已知：如图，⊙O的半径为2cm，P是直径CD的延长线上的一点，PA