利用方程知识化无穷循环小数为分数

1、利用方程知识化无穷循环小数为分数（1）三门县亭旁镇低级中学郑永强数学离不开数，对数的研究是数学教学重要的内容。在小学里，咱们已经学过度数（正） 能够化为有限小数或无穷循环小数；反过来，小数化分数却没有专门好完全解决，其中只解 决了有限小数化分数这部份内容，而无穷循环小数化分数却没有完全解决，而无穷不循环小 数确实是无理数了，不能化成份数。而无穷循环小数化分数这部份内容要想完全解决，只有 在学了高中内容的数列、极限、无穷递缩等比数列求和公式等知识后，才可能完全明白得一 样计算公式。这部份内容的学习时刻跨度是小学到高中。下面，就遵循从具体例子到一样结论的研究方式（归纳法），用解方程的知识，研究一下

2、 循环小数化分数这部份内容：1.例一：化以下无穷循环小数为分数：0.6二在解决那个问题前，咱们能够先向学生提问oS与1这两个数谁大，是不是相等？估量初一大部份学生回答不等，或【那个提问，我在上高一数学时候也向一个班55个同窗 调查过，其中53个同窗回答是1>oS,只有两个同窗猜想回答说1二0.6。】那么它们到底那 个大呢？从而激起学生的学习爱好，进而怎么解决那个问题上来。咱们用解方程的知识研究 一下0.S那个数究竟是一个如何的数？解：设 x=O.S= (1)那么10x= 0.9=(2)把（2） - （1）得 9x=9.x=l,即0.S = l因此，oS那个数事实上确实是数1.练习：把以下

3、这些循环小数化为分数：0.1, 0.2, 0.3, 0.4 , 0.5, 0,6, 0.7, 0.8, 要求：分四小组，每小组两个，用上面的方式，化一下上面八个无穷循环小数为分数。其中 四个同窗到黑板上而来书写演练，每人计算两个，其中一个标准书写，另外一个简单书写。通过上面例子及练习，咱们看到这些循环小数化为分数后，具有必然的规律性。即 1 2 3 4 5 6 70.1 = -, 0.2 = -, 0.3=-, 0.4 = -, 0.5 = -, 0.6 = -, 0.7 = -,9999999 8 90.8 = , 0.9 = =1 99注意：教师从头写一遍结论，书写时候尽可能写整齐，有利于

4、学生经历。那个结论专门好记, 希望同窗们记住，及时记住，快速记住!这些确实是循环节是1的纯循环小数化分数的公式。 在化循环小数为分数时候，这些公式是最大体的。能够统一成如此经历：0：= 土【注意：那个地址的字母a、b是表示0、一、二、3、4、9五、六、7、八、9这十个数字，】 注意：以后不管什么课，只若是需要经历的东西，就要及时地记住，那个也是高效学习的要 点。经历是学习的必然要求！没有必要的经历，学习就失去效率。运用：化以下无穷循环小数为分数【循环行是1的混循环小数化分数】1. 0.122. 0.343. 0.564. 0.785. 0.89解：【选择一个讲解，其他让四个同窗到黑板上来演练。

5、】 设X=O.13,那么 10x=L2,即 10x=l+0.2,/. 10x=l + , 911,X=90,/. 0.12= 90等其他四个同窗做好后，把结果放在一路，观看他们有无规律性，【鼓舞学生要要斗胆 猜想，下而第二个等号临时不写出来，等学生发觉规律后再写出来】0.12 =11 _12-190= 900.34 =319034-3900.56 =519056-5900.78 = =9078-790注意：猜想结论，要进行适当引导，目光要对数字灵敏，要斗胆猜想°为以后一样性的 结论【公式】证明留下悬念。再举例练习验证：化以下无穷循环小数为分数【循环A是1的混循环小数化分数】1.0.1

6、9=-1 = = 1=02, 0.84 = 5=t o.72 = 2rz2【本组起巩固、解惑 9090 5909090作用，因为一部份学生心中必然还有疑惑，慢、稳、正确，稳扎稳打.事实上确实是高 效课堂的一种】2.0.123 =123-12900,0.456 =456-459000.789 =789 - 789003.0.1234 =1234-1239000-,0.567 8 =5678 5679000-同窗们观看上面式子的结论，看看能发觉什么规律？斗胆猜一猜结论形式也能够。一样地, 小结：循环。是1的循环小数化成份数后，分母9的个数是1个，分母是9或90,或900, 或9000.,等例：0.

7、12345678 9 =123456789 -12345678900000000111111111=900000000至于循环小数化分数后是不是是最简分数，这是约分的内容，那个地址不研究, 同窗们课外能够随意举几个例子，写出结论后再验证。以上研究的是循环节是1的循环小数化分数的方式，下面就研究循环节是2的循环小数化分数的方式【二者类似）例二：化以下无穷循环小数为分数1. 0.122. 0.343. 0.564. 0.785. 0.98解：（取第一个，其余作为四个小组练习用）设x=0,i3=，（1）那么100x=把（2）-得 99x=12,12/. x= 99同窗们同理能够取得 340.34 =

8、 990.56 = 990.78 = 99 980.98= 99同窗们看看，循环节是2的纯循环小数化分数有什么规律？一样地，循环节是2的纯循环小数化分数的公式是：鼠T 【注意：那个地址的字母a、b只是表示0、一、二、3、4、五、六、7、八、9这十个数字, 那个地址ab也不是表示a与b的积】运用：化以下无穷循环小数为分数（稍有转变，可是循环节仍然是2,是循环节是2的混循环小数）1. 0.1232. 0.4563. 0.789解1:（选一个，其他两个让学生练习）设x=0.123则 10x=1.23RP 10x=l+0.2323 也即 10x=l+ 99122/. x=990 122 即 0.123

9、 =，990再看同窗们的计算结果:990789-99909900.789 = 990观看一下上面三个结论，同窗们能发觉什么计算规律吗?练习：化以下无穷循环小数为分数，猜猜下面计算结果（同窗们能够课外验证），化成份数 后，分子形式如何，分母形式又如何？1. 0.12342. 0.5678 3. 0.12345 4. 0.567 89一样地：小结：循环节是2的循环小数化分数，分母9的个是2个，分母是99,或990,或9900,或99000,等等。例如：0.12345 67 =1234567 -1234599000001222222"9900000至于分子的规律性，从上面的例子能够看到，能

10、够看出，待下而一样形式的无穷循环小数化 化分数的公式证明后，再看就更清楚了。下脸部份就不对初中学生讲了，可是能够要求他们 记住计算公式.事实上，上面的所有例子的计算，都是无穷递缩等比数列:a,anarar"1 (M<1)求和公式的应用，即a+ar+ar:+ar*':+(|/-|<1)例如：0.1 =+ 0,1-1-0.1 9事实上， 纯循环小数S.7,就等于aa10"-1999-999c-10"【注意那个地址的字母aiQ处,a”只是表示0、一、二、3、4、五、六、7、八、9这十个 数字，】混循环小数S=01他久:八a2 d3就等于«瓦运b一0而一 帅?b 。必。3%S= T =1i(r 1 i(r i(r(i(ri)i(r_ b】b2b3b,"s 一仇仇2” _d凸/% 一%呢- i(r(i(r 一1)- gi(r-1)【注意那个地址