二次函数综合讲义

1、函数综合训练（讲义）课前预习回顾一次函数、反比例函数与二次函数的相关知识，回答下列问题：1.对二次函数y = ax2+bx+c来说，a, b, c符号与图象的关系：a的符号决定了抛物线的开口方向，当 时，开口向;当时,开口向.c是抛物线与交点的.b的符号：与a?根据叫推导.判断下面函数图象的a, b, c符号：（1）已知抛物线y =ax2 bx , c经过原点和第一、二、三象限，那么（）A. a >0, b >0, c>0B. a<0, b<0, c=0C. a <0, b <0, c >0D. a >0, b > 0, c = 0（

2、2）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线x=-1,给出下列结论：b2>4ac；abc>0;2a+b=0.其中正确的是:2.求解函数交点坐标，主要是联立函数表达式、将函数问题转化为方程问题； 两函数值比大小，借助数形结合,找交点、画直线、定左右.2已知一次函数yi=x-1和反比例函数y2 =2的图象在平面直角坐标系中父于 xA, B两点，当y1>y2时，x的取值范围是（）A. x>2B. -1<x<0C. x>2, -1<x<0D. x<2, x>0知识点睛1.a, b, c组合的符号判断：确定符号及信息;找

3、特殊点的,获取等式或不等式;代入不等式，组合判断残缺式符号.2.函数间求交点坐标，函数值比大小等问题通常是借助数形结合，以构造的方 法将函数问题转化为方程问题解决.精讲精练1.如图是y=a/+bx+c的图象， b2-4ac 0, a-b+c 0,贝U a 0, b 0, c 0, a+b+c 0,2.3.二次函数 y=ax2+bx+c (aw0) 息： b2-4ac>0;c>1;的图象如图所示，小明观察得出了下面五条信 2a- b<0；a+b+c<0;m(am+b)<a-b (mw-1).你认为其中错误 的是如图是二次函数y=ax2+bx+c( aw 0)图象的一

4、部分，给出下列命题：a+b+c=0； b>2a；ax2+bx+c=0的两根分另1J为-3和1;a-2b+c>0；8a+c>0.其中 正确的命题是.4.已知二次函数y=ax2+bx+c (aw0)的图象如图所示，有下列5个结论： abc>0; b<a+c； 4a+ 2b + c>0；2c <3b;a+bm(am+b) (m#1).其中正确结论的序号是5 .已知二次函数y =ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2, 0),(Xi, 0),且1<xi<2,与y轴正半轴的交点在(0, 2)的下方.下歹U结论： 4a2b+c=0； a<b&l

5、t;0; 2a + c>0;2a-b+1>0.其中正确的结论是 6 .已知二次函数y =x2+bx+c，当xw 1时，总有y>0,当iwxw3时，总有y<0, 那么c的取值范围是:2k7.如图，二次函数y=ax +bx与反比例函数y =-的图象父于一点P,那么关 x2 k于x的方程ax +bx + = 0的解为；x8 .如图，以扇形OAB的顶点。为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面 直角坐标系，点B的坐标为(2, 0).若抛物线y=：x2+k与扇形OAB的边界 总有两个公共点，则实数k的取值范围是.9 .若二次函数y =(m-1)x2+2x的图象与直线y = x-

6、1没有交点，则m的取值范 围是.一 210 .已知函数y= ?x ) x ,且使y=k成立的x值恰好有三个，则k的 (x-8)2 -4 (x>5)值为.11 .设一元二次方程(x-1)(x-2)=m (m>0)的两根分别为a , B ,且口 < B , 则a , P满足()A. 1 ：-： 2B. 1 :二：:2 ：；C, « <1 <P <2D. ”1 且 P >212 .已知二次函数 y = (x-m)(x-n)+1 ( m < n )的图象与 x轴交于 A(x1, 0), B(x2, 0)两点，且x1<x2,则实数x1，x2

7、, m, n的大小关系为13 .若关于x的一元二次方程(x 2)(x3) = m有实数根 , x2 ,且x1 # x2 ,有下 1列第t匕： x1 = 2, x2 = 3 ; m > ;4二次函数y = (x -x1)(x-x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0).其 中正确的是.14 .将关于x的二次函数y =2x2+4x+2的图象向下平移8个单位，将平移后的 二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变， 得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线y=2x + b与此图2象有两个公共点时，b的取值范围.yi8 -6.4.2-4 -2 O.2

8、4 *- 2- 4 - 6- 8-【参考答案】课前预习1. a>0 ,上；a <0 ,下.y轴，纵坐标；左同右异，对称轴的位置(1) D (2)2. C知识点睛1 .a, b, c,对称轴；函数值；等式.精讲精练1. <, <, >, <, >, >, <2 .3 .4 .5 .6 . O 3147 . x = 一一 ； mw 33C -.18 .-2 :二 k ：二一2c -59 . m 410 . 511 . D12 . m ：二 x1 ：二 x2 : n13 .-13一27314 .<b<一或 b>2232要点回顾1

9、.函数综合训练(随堂测试)a, b, c组合的符号判断：确定符号及信息;找特殊点的,获取等式或不等式;代入不等式，组合判断残缺式符号.典型题测试如图，抛物线y=x2+1与双曲线y =等式 k x2 1：0 x的解集是()A. x>2B. x<-2C. 0<x<2D. -2<x<0k.的父点A的横坐标是2,则关于x的不 x2 .已知二次函数y = -(x-m)(x-n)-2 (men)的图象与x轴交于A(xi, 0),B(x2 ,0)两点，且为< x2 ,则实数 xi , x2 , m ,n的大小关系为3 .已知二次函数 y=ax2+bx+c ( aw

10、0)的图象如图所示，有下列五个结论： abc<0; 2a-b=0； a-b+c<0；a+b>m(am+b) (m 为实数，且 m1)； 3a + c<0.其中正确结论的序号是 :【参考答案】要点回顾a, b, c,对称轴；函数值；等式典型题测试1. D2. m ： x1 : x2 : n3. 函数综合训练(习题)要点回顾1 .求解函数交点坐标，主要是联立函数表达式，将函数问题转化为方程问题;函数值比大小，要借助数形结合，找交点、画直线、定左右.2 . a, b, c组合的符号判断：确定符号及信息;找特殊点的,获取等式或不等式；代入不等式，组合判断残缺式符号.例题示范例1

11、:已知二次函数y=ax2+bx + c(a # 0)的图象如图所示，有下列结论：abc0;2a+b=0;8a+c>0;9a+3b+c<0.其中正确的有()A. 1个B. 2个 C. 3个 D. 4个思路分析由图象得a >0 , c<0 ,由左同右异得，b<0,abc >0 ,故正确.由对称轴为直线x=1得，-b=1 ,2a；2a+b=0,故正确.由得，b=- 2a,根据图象知，当x=-2时，y=4a-2b+c>0,即4a-(-4a) + c=8a+c>0 ,故正确.根据抛物线的对称轴可知，(-1,0)关于对称轴的对称点是(3,0),.当 x=-1

12、 时,y<0,当 x=3 时，y<0,即 9a+3b+c<0,故正确.综上，正确的结论是，共 4个.故选D.3例2：右一兀一次方程(x-a)(x-b) = (avb)的两个头数根分别为xi, x? (xi<X2),2则实数a, b, xi, x?的大小关系为()A. a<xi<b<x2B. a<x1<x2<bC. xi<a<x2<bD. x<a<b<x2思路分析a, b可以看做抛物线y = (x-a)(x-b)与x轴交点的横坐标，xb x2可以看做抛物3线y = (x -a)(x b)与直线y =的

13、父点的横坐标.2如图所示，结合图象可得，a <x1 <x2 <b .故选B.巩固练习1.二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示，当y<0时，自变量x的取值范围是C. x>3 D. x<-1 或 x>32.A. k<-3B. k>3C. k<3 D. k>33.如图是二次函数y=ax +b+x的部分图象，由图象可知不等式2二次函数y=ax +bx+c (aw0)的图象如图所小，右ax2+bx+c+k=0 ("0)有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(ax2 +bx +c <0的解集是(A . -1 < x

14、 < 5C. x : -1 且x 5B. x>5D . x < -1m£x>5第3题图第4题图2k ,4.如图，右抛物线y=x +1与双曲线y =-的父点A的横坐标为1,则关于x xk 2的不等式k + x2 +1 < 0的解集是（）xA. x>1 B, x<-1C. 0cxM1 D. -1< x<05.坐标平面上，若平移二次函数y=2(x175)(x176)+6的图象，使其与x轴交于 两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式可为下列哪一种()A.向上平移3个单位B.向下平移3个单位C.向上平移6个单位D.向下平移6个单位6.

15、y=-x2+(a-2)x-2是关于x的二次函数，当x的取值范围是 1w xw 3时，y 在x=1时取得最小值，则实数a的取值范围是()A. a=6 B. a>6C. a=4 D. a>47 .二次函数y =ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴为直线 x=-1,给出下歹结 论：b2>4ac；abc>0;2a+b=0;8 .二次函数y=ax2+bx+c (aw0)的图象如图所示，有下列结论： abc>0; 2a+b<0;a+b<m(am+b) (mw 1)；(a+c)2<b2;a>1.其中正确的是()A . B. C. D.9 .设一元二次

16、方程(x-1)(x-3) = k (k<0)的两根分别为口，P ,且a<P , 则a, P, 1, 3之间的大小关系为 ;(x-1)(x-3) <k 的解集为:10 .若二次函数的图象y = (m-2)x2+x与直线y = 2x-1没有交点，求m的取值范围.11.如图，二次函数图象的顶点坐标为 M(1, -4),且过点(2, -3).(1)求出图象与x轴的交点A, B的坐标.5(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使$4 pab = - Sa mab ?若存在，求出点4P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持 不变，

17、得到一个新的函数图象.当直线 y = x + b (b<1)与此新图象有两个 交 点 时， 求 b 的 取 值 范围.九年级数学人教版【参考答案】要点回顾2.a, b, c,对称轴 函数值 等式 巩固练习1. A2. C3. D4. D5. D6. B7. D8. A9. 1< a< B<3; a<x< 0c 910. m 411. (1) A(-1, 0), B(3, 0)(2)存在，P1(4, 5), P2(-2, 5)(3) -3<b<1二次函数章节测试（A卷）（满分100分，考13C时间60分钟）学校 班级 姓名一、选择题（每小题3分，共

18、24分）1 .下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）2A . y = 3x 1B. y = ax + bx + c221C. s=2t -2t +1D. y = x2+ x2 .已知二次函数y=ax2+bx-1 （aw0）的图象经过点（1,1）,则代数式1-a-b的 值为（）A. -3B. -1C. 2D. 53 .对于二次函数y=（x-1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A .开口向下B.对称轴是直线x=-1C.顶点坐标是（1,2）D.与x轴有两个交点4 .若关于x的一元二次方程x2+x-n =0没有实数根，则抛物线y = x2+x-n的 顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限

19、D.第四象限，一 ，,一， 2 2 42 ,一、一5 .如图，已知二次函数 =-x -x的图象与正比例函数y2=-x的图象父于333点A（3, 2）,与x轴交于点B（2, 0）,若0<y1<y2,则x的取值范围是（）A. 0<x<2B. 0<x<3C. 2<x<3D. x<0 或 x>36.已知抛物线y=ax2+bx+c （a>0）过（-2, 0）, （2, 3）两点，那么抛物线的对称 轴（）A .只能是x=-1B.可能是y轴C.可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧D,可能在y轴左侧且在直线x=-2的右侧7.如图，一次函数yi=x

20、的图象与二次函数y2=ax2+bx+c的图象相交于 巳Q两点，则函数 y=ax2+(b-1)x+c的图象可能是()8 .二次函数y=ax2+bx+c (a, b, c为常数，且aw0)中的x与y的部分对应值如下表:x-1013y-1353下列结论：ac<0;当x>1时，y的值随x值的增大而减小；3是方程 ax2+(b-1)x+c=0 的个根；当-1<x<3 时，ax2+(b-1)x+c>0.其中正确的个数为()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题(每小题3分，共21分)B两点.若点A的坐标为9 .已知抛物线y=ax2+bx+c (aw0)与x轴交于A

21、,(-2, 0),抛物线的对称轴为直线x=2,则线段AB的长为.10 .将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为11 .抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，若y>0,则x的取值范围是* 12.已知二次函数y=-x2-4x-3,若-5wxw 3,则y的取值范围是. ca 5 一13 .如果函数y =(a-1)x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那a -1么a的取值范围是14 .如图，已知点Ai, A2,，A 011在函数y = x2位于第 二象限的图象上，点Bi, B2,，B2 oil在函数y = x2位 于第一

22、象限的图象上，点 Ci, C2,，C20ii在y轴的 正半轴上，若四边形 OAC（3, C1A2c2B2,，C2010A2 011c20iiB2 011都是正方形，则正方形C2 010 A2 011c2 0iiB2 0ii 的边长为: 15.已知二次函数y=ax2+bx+c （aw0）的图象如图所示，有下列5个结论:abc>0；b<a 圮；4a+2b + c>0；2c<3b； y木 ix=ia+b >m（am+b） （m=1）.其中正确结论的序号/PX是卜三、解答题（本大题共5小题，满分55分）I !216. （10分）抛物线y = ax +bx + c上部分点的

23、横坐标x、纵坐标y的对应值如卜表:x-2-1012y0-4-408（1）根据上表填空：一元二次方程 ax2 + bx + c = 0的根为；抛物线经过点（-3, ）;在对称轴右侧，y随x的增大而.2（2）确定抛物线y = ax +bx+c的解析式，并求出该函数的最值.*17. （10分）如图，某足球运动员站在点 O处练习射门，将足球从离地面 0.5m 的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y （单位：m）与飞 行时间t （单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c,已知足球飞行0.8s时， 离地面的高度为3.5m.（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（

24、2）若足球飞行的水平距离x （单位：m）与飞行时间t （单位：s）之间具 有函数关系x=10t,已知球门的高度为2.44m,如果该运动员正对球门射门时， 离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门？#.(11分)在平面直角坐标系xOy中，过点(0, 2)且平行于x轴的直线，与直 线y=x-1交于点A,点A关于直线x=1的对称点为B,抛物线C1: y=x2+bx+c 经过点A, B.(1)求点A, B的坐标；(2)求抛物线C1的表达式及顶点坐标；(3)若抛物线C2： y=ax2 (a*0)与线段AB恰有一个公共点，结合函数的 图象，求a的取值范围.y* 19.(12分)为满足市场需求，某超

25、市在八月十五“中秋节”来临前夕，购进一种品牌月饼，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于 45元.根据以 往销售经验发现：当售价定为每盒 45元时，每天可卖出700盒，每盒售价 每提高1元，每天要少卖出20盒.(1)试求出每天的销售量y (盒)与每盒售价x (元)之间的函数关系式；(2)当每盒售价定为多少元时，每天的销售利润 P (元)最大？最大利润是 多少？(3)为稳定物价，有关管理部门限定：这种月饼的每盒售价不得高于58元. 如果超市想要每天获得不低于 6 000元的利润，那么超市每天至少销售月饼 多少盒？20.2 15(12分)如图，直线y=x+2与抛物线y=ax+bx+6 (aw0

26、)相父于A(-，一)22和B(4, m),点P是线段AB上异于A, B的动点，过点P作PC，x轴于点D,交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式.(2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最 大值；若不存在，请说明理由.(3)求 PAC为直角三角形时点P的坐标.学校1.2.3.4. 5.6.7.二次函数章节测试（B卷）（满分100分，考13C时间60分钟）班级姓名、选择题（每小题3分，共24分）已知二次函数y=ax2+bx-1（aw 0）的图象经过点（1,1）,则a+b+1的值是（A. -3B. -1C. 2在同一平面直角坐标系中，作函数y= 2x2+2, y = -2x

27、D. 3o1 o-1, y = x的图象,2x-2-1012y-11-21-2-5由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（C.B. -21D. -5则它们（）A.都关于y轴对称C.都是开口向上的抛物线某同学在用描点法画二次函数B.顶点都在坐标原点D.以上都不对y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格:A. -11已知二次函数 值范围是（A. m=-1二次函数y =y=x2+(m-1)x+1,当 x>1 时,B. m=3ax2 bx，c的图象向右平移所得图象的解析式为y = x2-2x-3,则A. b=2, c=2 B. b=2, c=0C.y随x的增大而增大，则m的取m

28、< -1D.2个单位，再向下平移b, c的值为(C. b=- 2, c=-1D.m>-13个单位,b=-3, c=2在同一直角坐标系中，函数 y=mx+m和函数y=- mx2+2x+2mw0）的图象可能是（）已知抛物线 y = a（x-2）2+k （a<0, q4, y3）是抛物线上的三点，则（A. y1 二 y2 :二 y3B. y2 :二 X ：二 y3yOxyxD.（m是常数，且a,C.k为常数），A（-3,y。，B(3, y2),C.y2: y3 二y18.已知二次函数y =x2 +bx的图象如图所示，对称轴为直线 x=1 .若关于x的次方程x2+bx1=0 (t为实

29、数)在1<的范围内有解，则A. t> -1C. -1< t <8t的取值范围是(B.D.-K t <33 :二 t ：二 8填空题(每小题3分,共21分)9.10.2右函数y=(a-3)x 为二次函数，则a=如图，抛物线y=x2- 2x+k(k<0)与x轴相交于点A(x1, 0), BQ 0),其中刈<0«2,设儿“ >”的两根分别为a,一或“ <” 11.12.13.14.次方程(x-2)(x-4)=k (k>0)&且依就则2,4之间的大小关系为 (x-2)(x-4)<k的解集为. 如图，在平面直角坐标系中，

30、点A在抛物线y = x2-2x + 2上运动，过点A作 AC!x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD连接BD,则对角线BD的最 小值为:若当-2<x< 1时，二次函数y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为已知二次函数 y=ax2+bx+c (aW0)的图象如图所示，给出下列四个结论: 4ac-b2<0；4a+c<2b；3b+2c<0；m(am+b)+b<a (mw-1).其中正确结论的序号是15.如图，抛物线y=-2x2+8x-6与x轴交于点A, B,把抛物线在x轴及其上方的 部分记作G,将G向右平移得C2,聂与x轴交于点B, D,若直线y=x+m与 G,最共有3个不同的交点，则 m的取值范围是解答题(本大题共5小题，满分55分)16.(9分)如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象经过A(2, 0), B(0, -1), C(4, 5)三点.(1)求二次函数的解析式；(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标；(3)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时，一次函 数的值大于二次函数的值.17. (10分)已知某隧道的截面由抛物线和长方形