等差数列综合复习(教案+例题+习题)

1、一、等差数列1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N* （或它的有限子集 1,2, 3,，n）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。例1 .根据数列前4项，写出它的通项公式:(1)(2)(3)1, 3,22 121732 13142 14151;51解析：（1）1*22*33*4O4*5an=2n1；an(；(3) an= 3。n 1n(n 1)点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求。， n如（1）已知an （n N ）,则在数列an的最大项为 ；n 156an（2）数列an的通项为an ,其中a,b均为正数

2、，则an与an 1的大小关系为bn 1,（3）已知数列an中，an n2 n ,且a0是递增数列，求实数的取值范围；2、等差数列的判断方法：定义法an 1 an d（d为常数）或an1 an an an 1（n 2）。例2.设Sn是数列an的前n项和，且Sn=n2,则an是（）A.等比数列，但不是等差数列 C.等差数列，而且也是等比数列 答案：B;B.等差数列，但不是等比数列D.既非等比数列又非等差数列铲注S1(n 1)1 (n 1)解法一 ：an=anSn Sn1 (n 2)2n 1 (n 2)an=2n 1 (n C N)a2n 1又an+1 an=2为常数， q 2n丰常数an2n 1a

3、n是等差数列，但不是等比数列.n的二次函数，则这个数列-一定是等差解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于 数列。点评：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式an=Sn-Sn-1的推理能力.但不要忽略a1,解法一紧扣定义，解法二较为灵活。N*为通项公式的数列bn练一练：设an是等差数列，求证：以bn=aa2an nn为等差数列。3、等差数列的通项：an a1 (n 1)d或an am (n m)d。4、等差数列的前n和：Snn(a1 an), Sn naiSnd。22例3：等差数列an的前n项和记为Sn,若a2+a4+ai5的值是一个确定的常数，则数列an中也

4、为常数的项是()A. S7B. S8C. S13D. S15解析：设a2+ a4+ ai5= p(常数)，.C113a1+18d=p,解 a7=§p.S13 =13 x (a1+ a13)13 13a7 3 p.答案：C1一，例4.等差数列an中，已知a1 = 3, a2+a5=4, an=33,则门为()A. 48B. 49 C. 50 D. 51解析：,a2+a5 = 2a1+5d = 4,则由 a1 = 1 得 d = 2,令 an= 33= 1+(n1) x 2,可解得 n=50. 3333故选C.答案：C如(1)等差数列an中，a1030 , a20 50,则通项 an(2

5、)首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是例5:设Sn是等差数列an的前n项和，a12=- 8, S9=9,则S6 =解析：S9= 9a5 = 9, - a5 = 1, Si6 = 8(a5+a12) = 72.答案：72/< 1,且它们的前n项和Sn有最大值，则使 Sn>0的例6:已知数列an为等差数列，若n的最大值为()A. 11 B. 19C. 20 D. 21解析：:芋<1,且Sn有最大值, a10 a10>0, an<0,且 a10+a11<0,19(a1 + a19)$9=2= 19 a10>0,20(a1 + a

6、2o)S2o=2= 10(a1o+ a11)<0.所以使得Sn>0的n的最大值为19,故选B.答案：B1*315如(1)数列an中，an an 1 1(n 2,n N ),烝 3 ,前 n 项和 Sn15 ,则 a1222=一 n =；2 已知数列an的前n项和Sn 12n n，求数列| an |的前n项和Tn.5、等差中项：若a,A,b成等差数列,提醒：(1)等差数列的通项公式及则A叫做a与b的等差中项，且A ab o2前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn,其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个， 即知3求2。(2)为减少运

7、算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为， a 2d,a d,a,a d,a 2d(公差为d )；偶数个数成等差，可设为， a 3d,a d,a d,a 3d ,(公差为 2d) 6.等差数列的性质：(1)当公差d 0时，等差数列的通项公式an a1 (n 1)d dn a1 d是关于n的一次函 数，且斜率为公差d ;前n和Sn na1 n(n1d n2 (a1 d)n是关于n的二次函数222且常数项为0.(2)若公差d 0,则为递增等差数列， 若公差d 0,则为递减等差数列，若公差d 0, 则为常数列。(3)当m n p q时，则有am an ap aq,特别地，当m n 2P时，则

8、有 am an 2ap.(4)若an、bn是等差数列，则kan、kan pbn (k、 p是非零常数)、 aap nq( p,q N)、Sn,S2n Sn,S3n S?n,也成等差数列，而an成等比数列；若烝 是等比数列，且an 0,则lg an是等差数列.练一练：等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3n和为。(5)在等差数列an中，当项数为偶数 2n时，S偶一S奇nd ;项数为奇数2n 1时,除S偶a中，S2n1(2n 1)a中(这里a中即 an)；SW: 6禺(k 1)：k。一 An一An、Bn，且可 f(n)，则n项和分别为Sn和Tn ,若练一练：项数为奇数的等差数列

9、aj中，奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的 中间项与项数.(6 )若等差数列an、 bn的前n和分别为an(2n1)anA2n 1f 可)bn(2n1)bnB2n1('练一练：设 an与 bn是两个等差数列，它们的前Sn 3n1 ,那么 生Tn4n 3bn(7) “首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组 an 0 或an 0 确an 1 0an 1 0定出前多少项为非负(或非正)；法二：因等差数列前 n项是关于n的二次函数，故可转化 为求一次函数的最值，但要注意数列的特殊性n N。上

10、述两种方法是运用了哪种数学思想？(函数思想)，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？练一练：等差数列an中，a1 25, & §7 ,问此数列前多少项和最大？并求此最大 值；Sn是其前n项的和，且 S5<S6, S6=S7>S8,则例7. (1)设 an (nC N*)是等差数列, 下列结论错误的是() A. d<0B.a7=0C.So>S5(2)等差数列an的前m项和为30,前D.S6与&均为Sn的最大值2m项和为100,则它的前3m项和为()A.130B.170C.210D.260解析：(1)答案：C;由 S5<S6得 a1+a2+a

11、3+-+a5<a1+a2+-+a5+a6, /. a6>0,又 S6=Sz,. a1 + a2+ a6=a+a2+a6+a7,a7=0,由 S7>S8,得 a8<0,而 C 选项 So>S5,即 a6+a7+a8+a9>02 (a7+a8)>0,由题设a7=0, a8<0,显然C选项是错误的。(2)答案：Cm(m 1)mad 30解法一：由题意得方程组2,c 2m(2m 1) 2mad 1002视m为已知数，解得d40,a1 m10(m 2)2,mS3m3ma1210 。3ma1(3m 1)10(m 2) 3m(3m 1) 40d 3 m 1QQ

12、2m22m2解法二：设前m项的和为bi,第m+1到2m项之和为b2,第2m+1到3m项之和为b3,则 bi, b2, b3也成等差数列。于是 b1=30, b2=100- 30=70,公差 d=70 30=40。 b3=b2+d=70+40=110 .前 3m 项之和 S3m=b1 +b2+b3=210.解法三：取 m=1,贝U a1=S1=30, a2=S2-S1=70,从而 d=a2a1=40。 于是 a3=a2+d=70+40=110. S3=a1+a2+a3=210o等差数列课后练习一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内。1

13、.若awb,数列a,x1,x 2 ,b和数列a,y1 ,y2 ,b都是等差数列,则x2 x1y2y12.3A.一4在等差数列 anA. 40B.C. 1D.3.4.5.6.7.中，公差B.等差数列an的前三项为A. an2n 1在等差数列an中a10A. S17B.3d = 145x 1,a4an 2na17 = 8 ,贝 U a2C. 50a4 a6D.3a20 =551, 2x 3,则这个数列的通项公式为0, an0,JHLa11B. S18已知等差数列的首项为31,若此数列从第围是C. an 2n| a10 ,则在C. S1916项开始小于3 D. an2nSn中最大的负数为D. S20

14、1,则此数列的公差的取值范(B在等差数列an中，若S9157,-218,SnC. (2,+00) D.157，2)A. 18等差数列an中，a1A. 20. 5B17.a2a50240,an 4C. 16 200,a51n的值为D.15B. 21. 58.已知某数列前n项之和n3为，且前 为22 ,.A. 3n (n 1) B. n (4n9 . 一个只有有限项的等差数列，它的前 234,则它的第七项等于A. 22B . 21210 .等差数列an中，an am 1 amS2 m 1A.38,则m的值是10B.19二、填空题：请把答案填在题中横线上。11.已知an是等差数列，且 a4 a7贝U

15、 k= .a52aooC. 12212n个偶数项的和为n (4n2700，则a1等于(D. 203),则前n个奇数项的和 (-_ 23) C. 3n5项的和为34,最后C. 19am 10 W 0 ,C. 2057,a412.在 ABC中，A, B, C成等差数列，则tan上21 3D. - n5项的和为146所有项的和为(D. 18若m > 1且am 1a5a6D. 38a142amam 10,77,若 ak13,CACtan 3 tan - tan -22213 .在等差数列an中，若a4a6a8aioa12120 ,则2a10a)2.*14 . Sn是等差数列an的前 n 项和，a

16、5 2, an 4 30(n>5, n N ), Sn =336,则 n 的值是.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 .己知an为等差数列，a1 2, a2 3,若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：(1)原数列的第12项是新数列的第几项？(2)新数列的第29项是原数列的第几项？16 .数列an是首项为23,公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。(1)求数列公差；(2)求前n项和Sn的最大值；(3)当Sn 0时，求n的最大值。17 .设等差数列an的前n项的和为 S n MS 4 = -62, S 6 = 75，求:(1)a

17、n的通项公式a n及前n项的和 S n ;(2) |a 1 |+|a2 |+|a 31+|a14 |.18 .已知数列 an ,首项 a 1 =3 且 2a n+1=S n S n 1 (n >2).(1)求证：1-是等差数列，并求公差；(2)求a n 的通项公式； Sn(3)数列an 中是否存在自然数 k0,使得当自然数k>k 0时使不等式a k>a k+1对任意大于 等于k的自然数都成立若存在求出最小的 k值，否则请说明理由.6(n2)5 3n、选择题：ABCCB DABDA二、填空题：11. 8;三、解答题：12.13. 24;14. 21.15.分析：应找到原数列的第

18、n项是新数列的第几项，即找出新、旧数列的对应关系。解：设新数列为即 3=2+4dbn ,则 b1.1a12, b5a23,根据 bnbi (n 1)d,有 b5bi 4d,bn2 (n1)又Q ana1(n1) 1(4n 3) 44anb4n 3即原数列的第(1)当 n=12 时,n项为新数列的第4n 3项.4n 3=4X12 3=45,故原数列的第12项为新数列的第45项;(2)由4n 3=29，得n=8 ,故新数列的第29项是原数列的第8项。说明：一般地，在公差为d的等差数列每相邻两项之间插入列的公差为 d m16.解：(1)a1 23,原数列的第n项是新数列的第一m个数，构成一个新的等差数列，则新数n+(n 1)m=(m+1)n m 项.a65d 06d 023T236d为整数，d 4.Sn23nn(n 1)24) =23 n2n(n1)2=-2n25n2(n25 27)6252Tn 6时sn最大=78(3)sn2n2