数学-2017届高二-随机事件的概率-课件(讲课)

1、一、频率的定义与性质一、频率的定义与性质二、概率的统计定义二、概率的统计定义三、古典概型三、古典概型四、典型例题四、典型例题).(,. , ,AfAnnAnAnnnAA成成并并记记发发生生的的频频率率称称为为事事件件比比值值生生的的频频数数发发称称为为事事件件发发生生的的次次数数事事件件次次试试验验中中在在这这次次试试验验进进行行了了在在相相同同的的条条件件下下1. 定义定义 2. 性质性质设设 A 是随机试验是随机试验 E 的任一事件的任一事件, 则则; 1)(0)1( Afn).()()()(,)3(212121knnnkkAfAfAfAAAfAAA 则则是两两互不相容的事件是两两互不相容

2、的事件若若0)(, 1)()2( nnff实例实例 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次, 各做各做 7 遍遍, 观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率.试验试验序号序号5 nHnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Hnf50 n22252125241827Hn500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502处波动较大处波动较大在在21处波动较小处波动较小在在21波动

3、最小波动最小随随n的增大的增大, 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性从上述数据可得从上述数据可得(2) 抛硬币次数抛硬币次数 n 较小时较小时, 频率频率 f 的随机波动幅度较大的随机波动幅度较大, 但但随随 n 的增大的增大 , 频频率率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性.即当即当 n 逐渐增大时频率逐渐增大时频率 f 总是在总是在 0.5 附近摆动附近摆动, 且逐渐且逐渐稳定于稳定于 0.5.(1) 频率有频率有随机波动性随机波动性,即对于同样的即对于同样的 n, 所得的所得的 f 不一定相同不一定相同;实验者实验者德德.摩根摩根蒲丰蒲丰K.皮尔逊皮尔逊K.皮尔逊皮尔逊nHnf204810

4、610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005)(Hf的增大的增大n.21重要结论重要结论频率当频率当 n 较小时波动幅度比较大较小时波动幅度比较大,当当 n 逐渐增逐渐增大时大时 , 频率趋于稳定值频率趋于稳定值, 这个稳定值从本质上反映这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的它就是事件的概率概率.在随机试验中在随机试验中, ,若事件若事件A出现的频率出现的频率m/n随随210PP( )(),();1.1.定义定义1.21.20()1;p A(1) 对任一事件对任一事件A ,有

5、有性质性质1.11.1 (概率统计定义的性质概率统计定义的性质)01p则定义事件则定义事件A的概率为的概率为p, ,记作记作P( (A)=)=p .着试验次数着试验次数n的增加的增加, ,趋于某一常数趋于某一常数p,)A(P)A(P)A(P)AAA(P,A,A,A)(mmm 2121213个个事事件件对对于于两两两两互互斥斥的的有有限限多多 概率的统计定义直观地描述了事件发生的可能性大小，反映了概率的本质内容，但也有不足，即无法根据此定义计算某事件的概率。1.古典概型定古典概型定 义义如果一个随机试验如果一个随机试验E具有以下特征具有以下特征 1、试验的样本空间中仅含有有限个样本点；、试验的样

6、本空间中仅含有有限个样本点； 2、每个样本点出现的可能性相同。、每个样本点出现的可能性相同。则称该随机试验为古典概型。则称该随机试验为古典概型。 设试验设试验 E 的样本空间由的样本空间由n 个样本点构成个样本点构成, A 为为 E 的任意一个事件的任意一个事件,且包含且包含 m 个样本点个样本点, 则事则事件件 A 出现的概率记为出现的概率记为: 2. 古典概型中事件概率的计算公式（定义古典概型中事件概率的计算公式（定义1.3)1.3).中样本点总数中样本点总数中样本点的个数中样本点的个数 A An nm mP(A)P(A) 称此为称此为概率的古典定义概率的古典定义. 3. 古典概型的基本模

7、型古典概型的基本模型:摸球模摸球模型型(1) 无放回地摸球无放回地摸球问题问题1 设袋中有设袋中有M个白球和个白球和 N个黑球个黑球, 现从袋中无现从袋中无放回地依次摸出放回地依次摸出m+n个球个球,求所取球恰好含求所取球恰好含m个白球个白球, ,n个黑球的概率个黑球的概率?样本点总数为样本点总数为,MNmnA 所包含所包含的样本点个数为的样本点个数为( )MNMNP Amnmn故故解解设设A=所取球恰好含所取球恰好含m个白球个白球, ,n个黑球个黑球,nNmM(2) 有放回地摸球有放回地摸球问题问题2 设袋中有设袋中有4只红球和只红球和6只黑球只黑球,现从袋中有放现从袋中有放回地摸球回地摸球

8、3次次,求前求前2 次摸到次摸到黑球黑球、第第3 次摸到红球次摸到红球的概率的概率.解解,2第第三三次次摸摸到到红红球球次次摸摸到到黑黑球球前前设设 A第第1 1次摸球次摸球10种种第第2次摸球次摸球10种种第第3次摸球次摸球10种种6种种第第1 1次摸到黑球次摸到黑球6种种第第2次摸到黑球次摸到黑球4种种第第3次摸到红球次摸到红球样本点总数为样本点总数为,101010103 A 所包含所包含样本点的个数为样本点的个数为, 466 310466)( AP故故.144. 0 课堂练习课堂练习1o 电话号码问题电话号码问题 在在7位数的电话号码中位数的电话号码中,求各位数字互不相同的概率求各位数字

9、互不相同的概率. 2o 骰子问题骰子问题 掷掷3颗均匀骰子颗均匀骰子,求点数之和为求点数之和为4的的概率概率.)10:(7710Pp 答案答案)63:(3 p答案答案4.古典概型的基本模型古典概型的基本模型:球放入杯子模型球放入杯子模型(1)杯子容量无限杯子容量无限问题问题1 把把 4 个球放到个球放到 3个杯子中去个杯子中去,求第求第1 1、2个个杯子中各有两个球的概率杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可其中假设每个杯子可放任意多个球放任意多个球. 33334个球放到个球放到3个杯子的所有放法个杯子的所有放法,333334种种 个个2种种 24个个2种种 22因此第因此第1、2个杯子

10、中各有两个球的概率为个杯子中各有两个球的概率为432224 p.272 (2) 每个杯子只能放一个球每个杯子只能放一个球问题问题2 把把4个球放到个球放到10个杯子中去个杯子中去,每个杯子只能每个杯子只能放一个球放一个球, 求第求第1 至第至第4个杯子各放一个球的概率个杯子各放一个球的概率. .解解第第1至第至第4个杯子各放一个球的概率为个杯子各放一个球的概率为41044ppp 789101234 .2101 2o 生日问题生日问题 某班有某班有20个学生都个学生都是同一年出生的是同一年出生的,求有求有10个学生生个学生生日是日是1 1月月1 1日日,另外另外10个学生生日是个学生生日是12月

11、月31日的概率日的概率. )3! 3:(3答案答案)36510101020:(20 p答答案案课堂练习课堂练习1o 分房问题分房问题 将张三、李四、王五将张三、李四、王五3人等可能地人等可能地分配到分配到3 间房中去间房中去,试求每个房间恰有试求每个房间恰有1人的概率人的概率.5. 古典概型的概率的性质古典概型的概率的性质210PP( )(),();)()()()(,)3(212121mmmAPAPAPAAAPAAA 个事件个事件对于两两互斥的有限多对于两两互斥的有限多) 1 (1)对于任意事件A ,1P(A)0解解.,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHH 则.,1 TTHTHTH

12、TTA 而而,83)(1 AP得得.,)2(2 TTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHA .87)(2 AP因此因此).(,)2().(,)1( .2211APAAPA求求次次出出现现正正面面至至少少有有一一为为设设事事件件求求次次出出现现正正面面恰恰有有一一为为设设事事件件将将一一枚枚硬硬币币抛抛掷掷三三次次., )1(为为出出现现反反面面为为出出现现正正面面设设TH1例例在在 N 件产品中抽取件产品中抽取n件件,其中恰有其中恰有k 件次品的取法件次品的取法共有共有,种种 knDNkD于是所求的概率为于是所求的概率为. nNknDNkDp解解在在N件产品中抽取件产品中抽取n件的所有可能取

13、法共有件的所有可能取法共有,种nN?)(,件次品的概率是多少件次品的概率是多少问其中恰有问其中恰有件件今从中任取今从中任取件次品件次品其中有其中有件产品件产品设有设有DkknDN 2例例例例 1.6（分房问题）（分房问题） 有有 n 个人，每个人都以同样的个人，每个人都以同样的概率概率 1/N 被分配在被分配在 间房中的每一间中，试间房中的每一间中，试求下列各事件的概率：求下列各事件的概率：)(NnNn(1)(1)某指定某指定 间房中各有一人间房中各有一人 ;n(2)(2)恰有恰有 间房，其中各有一人；间房，其中各有一人； (3) (3) 某指定一间房中恰有某指定一间房中恰有 人。人。 )(n

14、mmnN 解解 先求样本空间中所含样本点的个数。先求样本空间中所含样本点的个数。 首先，把首先，把 n 个人分到个人分到N间房中去共有间房中去共有 种分法，其次，求每种情形下事件所含的种分法，其次，求每种情形下事件所含的样本点个数。样本点个数。(b)(b)恰有恰有n n间房中各有一人，所有可能的分法为间房中各有一人，所有可能的分法为 ; !nCnN(a)(a)某指定某指定n n间房中各有一人，所含样本点的个数，即可能的的分法为间房中各有一人，所含样本点的个数，即可能的的分法为 ; ! n(c)(c)某指一间房中恰有某指一间房中恰有m m人，可能的分法为人，可能的分法为 .) 1(mnmnNC进

15、而我们可以得到三种情形下事件的概率，其分别为进而我们可以得到三种情形下事件的概率，其分别为 :nNn!（1） （2） nnNNnC!（3） .) 1(nmnmnNNC上述分房问题中，若令上述分房问题中，若令 则可演化为则可演化为生日问题生日问题. .全班学生全班学生30人，人， 230,365,(1) (1) 某指定某指定30天，每位学生生日各占一天的概率；天，每位学生生日各占一天的概率； (2) (2) 全班学生生日各不相同的概率；全班学生生日各不相同的概率； (3) (3) 全年某天，恰有二人在这一天同生日的概率。全年某天，恰有二人在这一天同生日的概率。 利用上述结论可得到概率分别为利用上

16、述结论可得到概率分别为 :（1）;365!3030 （2）;294. 0365/ !303030365 C30230(365)28)364(C（3）例例1 在房间里有在房间里有10个人个人,分别佩戴从分别佩戴从1号到号到10号的号的纪念章纪念章,任选任选3个记录其纪念章的号码个记录其纪念章的号码.(1)求最小号码为求最小号码为5的概率的概率;(2)求最大号码为求最大号码为5的概的概率率.解解(1)总的选法种数为总的选法种数为,310 n最小号码为最小号码为5的选法种数为的选法种数为,25 m(2)最大号码为最大号码为5的选法种数为的选法种数为,24 故最大号码为故最大号码为5的概率为的概率为

17、31024P故小号码为故小号码为5的概率为的概率为 31025P.121 .201 例例2 将将 4 只球随机地放入只球随机地放入 6 个盒子中去个盒子中去 ,试求每试求每个盒子至多有一只球的概率个盒子至多有一只球的概率.解解 将将4只球随机地放入只球随机地放入6个盒子中去个盒子中去 , 共有共有64 种种放法放法.每个盒子中至多放一只球共有每个盒子中至多放一只球共有 种不同放种不同放法法.3456 因而所求的概率为因而所求的概率为463456 p.2778.0 例例3 将将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中名新生随机地平均分配到三个班级中去去,这这15名新生中有名新生中有3名是优秀生名

18、是优秀生.问问 (1) 每一个班每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优名优秀生分配在同一个班级的概率是多少秀生分配在同一个班级的概率是多少? 解解15名新生平均分配到三个班级中的分法总数名新生平均分配到三个班级中的分法总数: 55510515.! 5! 5! 5!15 (1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有.) !() !(种种4441231112134448412因此所求概率为因此所求概率为! 5! 5! 5!15! 4! 4! 4!12! 31 p.9125 (2)将将3名优秀生分配在同一个

19、班级的分法共有名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种种,对于每一种分法对于每一种分法,其余其余12名新生的分法有名新生的分法有.! 5! 5! 2!12种种因此因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有名优秀生分配在同一个班级的分法共有,) !() !(种种552123因此所求概率为因此所求概率为! 5! 5! 5!15! 5! 5! 2!1232 p.916 例例4 某接待站在某一周曾接待过某接待站在某一周曾接待过 12次来访次来访,已知已知所有这所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的次接待都是在周二和周四进行的,问是问是否可以推断接待时间是有规定的否可以推断接待时间是有规定的. 假设接待

20、站的接待时间没有假设接待站的接待时间没有规定规定,且各来访者在一周的任一天且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的中去接待站是等可能的.解解周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日.712种种12341277777 故一周内接待故一周内接待 12 次来访共有次来访共有.212种种121272 p0000003.0 小概率事件在实际中几乎是不可能发生的小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从而可知接待时间是有规定的从而可知接待时间是有规定的.周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日周二周二周四周四12341222222 12 次接待都是在周二和周四进行的共

21、有次接待都是在周二和周四进行的共有故故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为次接待都是在周二和周四进行的概率为例例5 假设每人的生日在一年假设每人的生日在一年 365 天中的任一天天中的任一天是等可能的是等可能的 , 即都等于即都等于 1/365 ,求求 64 个人中至少个人中至少有有2人生日相同的概率人生日相同的概率. 64 个人生日各不相同的概率为个人生日各不相同的概率为641365)164365( 364365 p故故64 个人中至少有个人中至少有2人生日相同的概率为人生日相同的概率为64365)164365( 3643651 p.997. 0 解解说明说明率率为为概概他他们们的的生生

22、日日各各不不相相同同的的个个人人随随机机选选取取,)365( nnnp365)1365(364365 日相同的概率为日相同的概率为个人中至少有两个人生个人中至少有两个人生而而nnnp365)1365(3643651 人数人数至少有两人生日相同的至少有两人生日相同的 概率概率100.11694817771107765187200.41143838358057998762300.70631624271926865996400.89123180981794898965500.97037357957798839992600.99412266086534794247700.999159575965157

23、09135800.99991433194931349469900.999993848356123603551000.999999692751072148421100.999999989471294306211200.999999999756085218951300.999999999996240323171400.999999999999962103951500.99999999999999975491600.99999999999999999900我们利用软件包进行数值计算我们利用软件包进行数值计算.一、几何概型一、几何概型三、小结三、小结二、概率的公理化定义二、概率的公理化定义 把有限个样

24、本点推广到无限个样本把有限个样本点推广到无限个样本点的场合点的场合,人们引入了人们引入了几何概型几何概型. 由此形由此形成了确定概率的另一方法成了确定概率的另一方法 几何方法几何方法. 概率的古典定义具有可计算性的优点概率的古典定义具有可计算性的优点, ,但但它也有明显的局限性它也有明显的局限性. .要求样本要求样本点有限点有限,如果样如果样本空间中的样本点有无限个本空间中的样本点有无限个, 概率的古典定义概率的古典定义就不适用了就不适用了. .定义定义1.4 .,)(0,验验是是一一几几何何概概型型的的则则称称这这一一随随机机试试即即有有限限的的几几何何度度量量的的且且具具有有非非零零穷穷多

25、多个个所所含含的的样样本本点点个个数数为为无无本本空空间间样样能能的的每每个个样样本本点点出出现现是是等等可可若若对对于于一一随随机机试试验验m定义定义1.5 当随机试验的样本空间是某个区域当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量并且任意一点落在度量 (长度长度, 面积面积, 体积体积) 相同的子区域是等可能的相同的子区域是等可能的,则事件则事件 A 的概率可定义为的概率可定义为)()()(mAmAP 说明说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概率就归结为几何概率.)(,)(几几何何概概率率规规定定的的概概率率称称为为量量来来合

26、合理理这这样样借借助助于于几几何何上上的的度度的的子子区区域域的的度度量量是是构构成成事事件件是是样样本本空空间间的的度度量量其其中中AAmm 几何概型的概率的性质几何概型的概率的性质0()1;p A(1) 对任一事件对任一事件A ,有有210PP( )(),();)()()(,)3(212121APAPAAPAA个事件个事件对于两两互斥的可列多对于两两互斥的可列多 那末那末.0,0TyTx 两人会面的充要条件为两人会面的充要条件为, tyx 例例1 甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在 0 到到 T 这段时间内这段时间内, 在预在预定地点会面定地点会面. 先到的人等候另一个人先到的人等候另一个人

27、, 经过时间经过时间 t( tT ) 后离去后离去.设每人在设每人在0 到到T 这段时间内各时刻这段时间内各时刻到达该地是等可能的到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵且两人到达的时刻互不牵连连.求甲、乙两人能会面的概率求甲、乙两人能会面的概率.会面问题会面问题解解,刻刻乙两人到达的时乙两人到达的时分别为甲分别为甲设设yx故所求的概率为故所求的概率为正正方方形形面面积积阴阴影影部部分分面面积积 p222)(TtTT .)1(12Tt xoytxy tyx 若以若以 x, y 表示平面表示平面上点的坐标上点的坐标 ,则有则有 t T T. 0)()1( P证明证明), 2 , 1( nA

28、n.,1jiAAAjinn 且且则则 由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得 nnAPP1)( 1)(nnAP 1)(nP0)( P. 0)( P2. 性质性质概率的有限可加性概率的有限可加性证明证明,21 nnAA令令., 2 , 1, jijiAAji由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得)(21nAAAP)(1kkAP 1)(kkAP0)(1 nkkAP).()()(21nAPAPAP 则则有有是是两两两两互互不不相相容容的的事事件件若若,)2(21nAAA).()()()(2121nnAPAPAPAAAP ).()()(),()(,)3(APBPABPBPAPBABA 则则且且为为

29、两两个个事事件件设设证明证明BA,BA 因因为为).(ABAB 所以所以,)( AAB又又)()()(ABPAPBP 得得, 0)( ABP又又因因).()(BPAP 故故).()()(APBPABP 于于是是).(1)(,)4(APA PAA 则则的的对对立立事事件件是是设设,)(,1 PAAAA因因为为).(1)(APAP 证明证明)()(AAPP 1所以所以)()(APAP ).()()()(,)()5(ABPBPAPBAPBA 有有对于任意两事件对于任意两事件加法公式加法公式证明证明AB由图可得由图可得),(ABBABA ,)( ABBA且且).()()(ABBPAPBAP 故故又由性

30、质又由性质 3 得得因此得因此得AB),()()(ABPBPABBP ).()()()(ABPBPAPBAP 推广推广 三个事件和的情况三个事件和的情况)(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP n 个事件和的情况个事件和的情况)(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP 解解),()()1(BPABP 由由图图示示得得.21)()( BPABP故故)()()()2(APBPABP 由图示得由图示得.613121 .81)()3(;)2(;)1(.)(,2

31、131, ABPBABAABPBA互斥互斥与与的值的值三种情况下三种情况下求在下列求在下列和和的概率分别为的概率分别为设事件设事件BAAB1例例,)3(ABABA 由图示得由图示得),()()()(ABPBPAPBAP 又又),()()(ABPAPBAAP )()()(ABPBPABP 因因而而.838121 , ABA且且 ABAB?24,452是多少是多少只鞋子配成一双的概率只鞋子配成一双的概率少有少有只鞋子中至只鞋子中至求求只只双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取从从例例成一双成一双只鞋子中至少有两只配只鞋子中至少有两只配设设解解4A一双一双只鞋子中恰有两只配成只鞋子中恰有两只配成41A双双只只鞋鞋子子恰恰好好配配成成242A2121AAA且,AA于是)()()()(2121APAPAAPAP则则41025410224152CCCCC2113只只鞋鞋子子都都不不能能配配成成双双设设另另解解4A4104252)(