初三几何8旋转4综合应用(2013-2014)教师

1、 2014年中考解决方案旋转4综合应用学生姓名：上课时间：旋转4中考说明内容基本要求略高要求较高要求旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角能运用旋转的知识解决简单问题中考满分必做题在做与旋转相关的题目时，利用题目中的中点构造中位线 【例1】 直角三角形中；为的中点，绕着点逆时针旋转 到，求重叠部分的面积【答案】9【解析】过点做垂足为、绕着点逆时针旋转到， 又 【例2】 在图1至图3中，点是线段的中点，点是线段的中点四边形和都是 正方形的中

2、点是（1）如图1，点在的延长线上，点与点重合时，点与点重合，求证：，；（2）将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：是等腰直角三角形；（3）将图2中的缩短到图3的情况，还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）【答案】（1）证明：四边形和都是正方形，又点与点重合，点与点重合，（2）证明：连接、，如图，设与交于点分别是的中点，且，且四边形是平行四边形又，且是等腰直角三角形（3）是【例3】 若ABC和ADE均为等边三角形，M、N分别是BE、CD的中点(1)当ADE绕A点旋转到如图的位置时，求证：CD=BE，AMN是等边三角形； (2) 如图，当EAB=30，AB12，AD=时，求AM的长（1

3、1年朝阳二模） 图1 图2【答案】（1）证明：ABC和ADE均为等边三角形，AB=AC，AE=AD，BAC=EAD=60.BAE=BAC-EAC，DAC=EAD-EAC，BAE=DAC.ABEACD.CD=BE. ABE=ACDM、N分别是BE、CD的中点，即BM=BE，CN=CD.BM= CN.又AB=AC， ABMACNAM=AN，MAB=NAC NAM=NAC+CAM=MAB+CAM=CAB=60AMN是等边三角形（2）解：作EFAB于点F，在RtAEF中，EAB=30，AE=AD=，EF=. M是BE中点，作MHAB于点H，MHEF，MH=EF= 取AB中点P，连接MP，则MPAE，M

4、P=AE.MPH=30，MP=在RtMPH中，PH=.AH=AP+PH=. 在RtAMH中，.中心【例4】 如图，四边形、是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形其中，正方形可以绕中心旋转,正方形静止不动（1）如图1，当四点共线时，四边形的面积为 _；（2）如图2，当三点共线时，请直接写出= _；（3）在正方形绕中心旋转的过程中，直线与直线的位置关系是_,请借助图3证明你的猜想 图1 图2 图【答案】（1）=6； （2）=； （3） 证明：连接，延长 交于点.如图所示： 由正方形的性质可知： ，即： 即： 中点倍长类旋转【例5】 如图，在外面作正方形与，为的高，其反向延长线交于，求证：(1)；

5、(2)【答案】证明；（1）作，先证，再证【例6】 如图，在矩形ABCD中, 点F在AD延长线上，且DF= DC, M为AB边上一点, N为MD的中点, 点E在直线CF上（点E、C不重合）.且若AB=BC, 点M、A不重合, BN=NE，试探究BN与NE的位置关系及的值, 并证明你的结论;【答案】如图，延长BN交的延长线于点，连结、，过作，交于点 四边形是矩形， ， 为的中点， ,. ， . ， 由（1）得 , ， = , ， . . 【例7】 已知任意，分别以为边作，（1）如图a，若是以点为直角顶点的等腰三角形，取中点，连接、，求证：（2）在第（1）问的条件下，过点做边的垂线，交于点，则（3）

6、在边上有一动点，连接，以为腰，为直角顶点，作等腰直角三角形，连接，若要使的，求的度数【答案】（3）【例8】 已知：在RtABC中，AB=BC，在RtADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，探索BM、DM的关系并给予证明； （2）如果将图中的ADE绕点A逆时针旋转小于45的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明 【解析】（1）提示：直角三角形斜边上的中线；（2）可用中点倍长即旋转；亦可用中位线法：要证与的关系，只需要将构造成线段的中点，辅助线如下图【巩固】如图1，在AC

7、B和AED中，AC=BC，AE=DE，ACBAED90,点E在AB上， F是线段BD的中点，连结CE、FE.（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（2）将图1中的AED绕点A顺时针旋转，使AED的一边AE恰好与ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连结BD取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（3）将图1中的AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连结BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由 【解析】倍长即旋转略第三问亦可用中位线法【例9】 在RtABC中，ACB=90，tanBAC=. 点D在边AC上（不与A

8、，C重合），连结BD，F为BD中点.若将图1中的ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点如图2所示求证：BE-DE=2CF；【解析】倍长即旋转略第三问亦可用中位线法：构造辅助线，证【巩固】在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EFAB交BD于点F，如图1（1）将图1中的BEF绕点B逆时针旋转90，取DF的中点G，连接EG，CG，如图2，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想；（2）将图1中的BEF绕点B逆时针旋转180，取DF的中点G，连接EG，CG，如图3，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明；（3）将图1中的BE

9、F绕点B逆时针旋转任意角度，取DF的中点G，连接EG，CG，如图4，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明 图1 图2 图3 图4【解析】（1）， （2），证明：如图3，延长交延长线于，连接，,，四边形是矩形，BE=CH，又,，,， 图2 ， 又， ，,，即图3（3），方法一（旋转思想）：如图4，延长至，使，连接、 ， ,，正方形，是等腰直角三角形，,，,为等腰直角三角形又，方法二（中位线法）：如下图，解析略利用旋转构造三角形【例10】 在凸四边形中，求证：【答案】解法1：将绕点逆时针旋转，得到.因为，故是等边三角形，即有，而，则.连接，在中，由勾股定理可得，

10、而，因此.解法2：将绕点逆时针旋转，得到.注意到，故，因此注意到，因此.点评：通过本题，我们可以体会到，正确的辅助线的产生不仅得益于条件，也得益于结论的启发.本题正是先利用旋转变换将与置于一个直角三角形中，再证明与这个直角三角形的斜边相等【例11】 已知，以为边在外作等腰，其中如图，若，四边形是平行四边形，则如图，若，是等边三角形，求的长；如图，若为锐角，作于，当时，是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论【答案】略；如图，以为边作等边三角形，连接、，其他略如图，辅助线虽然相对容易能够知道位置，但是本题比较特殊，或难点在于如何利用给出的已知条件，如何描述辅助线，将直接影响到能否

11、解决本问下面给出参考方法，注意体会为什么这样做辅助线，而不是像以前的题型一样，为什么按照其他的辅助线的作法不能解决第问：(谁有更好的方法欢迎在论坛发帖探讨)如图，在上取点，使得，连接并延长到点，使得，连接易证为直角三角形，且，也为直角三角形，由勾股定理可得，此时，易证(SSS)，则易证四边形中的旋转【例12】 问题：如图1，在菱形和菱形中，点、在同一条直线上，是线段的中点，连结,若探究与的位置关系及的值小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决DCGPABEF图2DABEFCPG图1 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的

12、值；（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示） (08年北京市中考题)【解析】（1）线段与的位置关系是；（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化证明：如图，延长交于点，连结是线段的中点，DCGPABEFH由题意可知，四边形是菱形，由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，可得四边形是菱形，即，（3）【例13】 如图1，在平行四边形中，于点，恰为的中点，求证：

13、；如图2，点在线段上，作于点，连结求证：；请你在图3中画图探究：当为线段上任意一点（不与点重合）时，作垂直直线，垂足为点，连结，线段、与之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论（10年西城一模）【答案】略；在上取一点，使得，连接，证明即可其他略结论：辅助线：延长到点使得，连接,证明即可【例14】 在平行四边形中，过点作，且，连接、，、分别为、的中点，连接（1）如图1，若点在上，与交于点，试探究线段NP与线段NM的数量关系及与满足的等量关系，请直接写出你的结论；（2）如图2，若点在线段EF上，当点在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点的位置，并证明（1）中的结论.图1 A B

14、C D P E F N M 图2A B C D P E F N 【答案】（1） NP=MN, ABD +MNP =180 （2）点是线段EF的中点M1324PNAEFCDB 证明：如图, 分别连接、 四边形是平行四边形， ADBC，ABDC，A=DCB， ABD=BDC. A=DBC， DBC=DCB. DB=DC. EDF =ABD,EDF =BDC. BDC-EDC =EDF-EDC .即BDE =CDF. 又 DE=DF， 由得. , 、分别为、的中点， , 同理可得 ， ， =DBC+DCB=180-BDC=180-ABD. ABD +MNP =180. 【例15】 在平行四边形中，的

15、平分线交直线于点，交直线于点（1）在图1中证明；（2）若，是的中点（如图2），直接写出的度数；（3）若，分别连结、（如图3），求的度数（2011年中考）【解析】证明：如图1.平分.四边形是平行四边形，.分别连结、（如图2）.且四边形是平行四边形.由得是菱形.是等边三角形. 由及平分可得.在中，. 由得.【例16】 在ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得EGB=EAB，连接AG.（1）如图1，当EF与AB相交时，若EAB=60，求证：EG =AG+BG；（2）如图2，当EF与AB相交时，若EAB= （090），请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量

16、关系（用含的式子表示）； （3）如图3，当EF与CD相交时，且EAB=90，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论.图3图1图2【解析】（1）证明：如图，作GAH=EAB交GE于点H.GAB=HAE. EAB=EGB，APE=BPG， ABG=AEH. 又AB=AE， ABGAEH. BG=EH，AG=AH.GAH=EAB=60，AGH是等边三角形.AG=HG.EG =AG+BG. (2) （3） 如图，作GAH=EAB交GE于点H. GAB=HAE. EGB=EAB=90， ABG+AEG=AEG+AEH =180. ABG=AEH.又AB=AE， ABGAEH. BG=

17、EH，AG=AH.GAH=EAB=90，AGH是等腰直角三角形.AG=HG.线段的旋转【例17】 如图，中，,，以为边向右侧作等边三角形（1）如图1,将线段绕点逆时针旋转，得到线段，联结，则与长度相等的线段为 （直接写出结论）；（2）如图2，若是线段上任意一点（不与点重合），点绕点逆时针旋转得到点,求的度数； 图1 图2（3）画图并探究：若是直线上任意一点（不与点重合），点绕点逆时针旋转得到点,是否存在点，使得以、为顶点的四边形是梯形，若存在,请指出点的位置，并求出的长；若不存在，请说明理由 备用图备用图【答案】(1) （2）由作图知，是等边三角形,在和中 （3）如图3，同可证, 当时， ,且 5分此时四边形是梯形 如图4，同理可证,当时，,此时与不平行，四边形是梯形【例18】 在中，过点作交于点,将线段EC绕点逆时针旋转得到线段(如图1)（1）在图1中画图探究：当为射线上任意一点（不与重合）时，连结绕点逆时针旋转得到线段判断直线与直线的位置关系，并加以证明；当为线段的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点逆时针旋转得到线段.判断直线与直线的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若, ,在的条件下，设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围. （09年中考）【答