第6章测量误差基本知识

1、是对某个未知量进行测定的过程,称为观测是对未知量进行直接测定的观测,称为直接观测,其结果称为做直接观测值是通过对某个未知量进行直接观测,按一定的函数关系推算出另一个未知量值的工作,称为间接观测,其结果称为做间接观测值,是指观测值与真值之差XL真值观测值1.测量仪器 仪器制造和仪器校正不完善,使用仪器观测会产生误差,导致观测值的精度受到一定的影响。2.观测者 观测者自身感觉器官鉴别能力的限制,在观测过程中,无论观测者多么认真操作,会不可避免地产生误差。3.外界条件 观测过程中的外界条件（如风力、温度、亮度等）是不断变化的,观测值不可避免地存在着误差。通常把测量仪器、观测者和外界条件三个方面综合起

2、来，称为。在相同观测条件下,对某量进行一系列观测,如误差出现的符号时正时负、数值或大或小，从表面上看没有任何规律，这种误差称为偶然误差。例如,望远镜瞄准目标的误差例如,观测时的读数误差偶然误差是由于观测者、观测仪器和外界条件等多因素引起的,是不可避免的,不能用计算改正或用一定的观测方法简单地加以消除,只能通过提高仪器的精度、选择良好的外界条件观测、改进观测方法、合理处理观测数据等措施减少偶然误差对测量成果的影响03450.126460.128910.25436400.112410.115810.22669330.092330.092660.184912230.064210.059440.123

3、1215170.047160.045330.0921518130.036130.036260.073182160.01750.014110.031212440.01120.00660.01724以上以上0000001810.05051770.4953581.000偶然误差有界,或者说在一定观测条件下的有限次观测中,偶然误差的绝对值不会超过一定的限值绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等偶然误差算术平均值随观测次数增加而趋近于零 0limnn是衡量观测成果精确程度的指标,表明对某一量的多次观测值之间的离散程度。若观测值非常集中,精度就高；反之,精度就低

4、。实际上，精度是通过误差来表达的，可以把在相同观测条件下得到的一组观测误差排列比较，以确定观测精度的高低。衡量精度标准指标:、和 ，nm22221nXLii7 . 21072103234142232222222221 m6 . 3101301013811271222222222 m例如,丈量100m和200m两段距离,其中误差均为0.01m,但两者的观测精度并不相同,显然,后者精度高于前者。因此,当观测值与误差本身大小有关时,引用相对误差来评定精度。相对误差是绝对误差的绝对值与观测值之比,是一个无名数,通常以分子为1的分数形式表示。即mDDmK110000110001. 01K20000120

5、001. 02K根据偶然误差的第一个特性,偶然误差的绝对值不会超过某一限度,如果某个观测值超过了这个限度,就认为不符合要求,应舍去重测,这个限度称为极限误差或限差通常取2或3倍中误差作为偶然误差的极限误差,即 或m2容m3容根据理论和大量的观测实践,可得到如下规律： 真误差绝对值大于一倍中误差的可能性约为32%； 真误差绝对值大于两倍中误差的可能性约为5%； 真误差绝对值大于三倍中误差的可能性约为0.3%。mm描述直接观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。l 线性函数的误差传播定律l 一般函数的误差传播定律设有函数式中 为观测值函数， 为常数， 为直接观测值。设 的中

6、误差为 ，求 的中误差 。用 和 分别表示 和 的真误差，则由上式可得：KLZ ZKLLLmZZmLZLZ)(LZLKZ用该式减去上式得：即函数真误差与观测值真误差之间的关系式。若对进行n次观测，则有： （ 1，2，n）将上式平方后求和并除以n得LZKiLiZKinKnLLzz2根据中误差的定义，上式可写成： 或222LZmKmLZKmm在1：500比例尺地形图上，量得两点间距离 39.2mm，其中误差 0.2mm，试求两点间的实地长度及其中误差。解：实地长度500 19.6m中误差为500 0.1m 则 19.6m0.1mddmDDmddmD2.和差函数的中误差设有函数 式中 为观测值函数，

7、 、 为直接观测值,其中误差分别为 和 ，求 的中误差 。用 、 和 分别表示 、 和 的真误差，则有yxZZxyxmymZZmxyZxyZ)()(yxZyxZ用该式减去上式得 若对和分别进行n次观测，则有： （ 1，2，n）将上式平方后求和并除以n得yxZyixiZiinnnnyxyyxxZZ 2根据中误差的定义，上式可写成或当 是n个观测值的和或差的函数时，即即和差函数中误差等于各观测值中误差平方和的平方根即和差函数中误差等于各观测值中误差平方和的平方根222yxZmmm22yxZmmmZnxxxZ21222221nxxxZmmmm22221nxxxZmmmm例6-5,对某三角形观测了其中

8、两个内角 和 ，测角中误差分别为 3.5， 5.8，试求第三个内角 的中误差 。解：因为 由公式得mmm1808 . 68 . 55 . 32222 mmm3.线性函数的中误差设有函数式中 为观测值函数， 为常数， 为独立观测值,中误差为 ，求 的中误差 。根据倍数及和差函数中误差公式可得nnxKxKxKZ2211ZiKiximZZm22222112)()()(nnZmKmKmKm举例举例例题,设函数 ,相应观测值中误差分别为：m1=1.05mm，m2=0.83mm，m3=0.52mm，求Z的中误差。解：3215 . 032xxxZ22222322212678.10)52. 05 . 0()8

9、3. 03()05. 12()5 . 0()3()2(mmmmmmZmmmZ27. 3设有一般函数式中x1为独立的直接观测值,相应的中误差分别为mi,确定观测值与函数值之间的中误差关系 对上式全微分得： ),(21nixxxxfZnndxxfdxxfdxxfdz2211由于测量中的真误差很小,故可用真误差代替式中相应的微分,得一般函数中误差的平方等于该函数对每个观测值所求的偏导数与相应观测值中误差乘积的平方和nnxfxfxfz22112222222121nnzmxfmxfmxfm 例题例题 测量斜边S=163.563m,中误差mS=0.006m,测量角度=321526,中误差m=6,边长与角度

10、观测误差独立,求初算高差h的中误差mh解： 函数式h=Ssin 求全微分 dfdSfdhdSShdSSdSSdSdSdhdSShdh21cotsincossinsincossin222221mfmfmsh206265cot21 ，hfShf533721. 0563.163297.871Shf000671. 0206265625132cot297.87cot2 hfmmh005142. 06000671. 0006. 05337. 02222【例题】设有函数 ,已知D=120.25m0.05m,=12470.5,求h值及其中误差mh。函数式 求全微分应用误差传播定律Dtgh mtgDtgho28

11、.27741225.1202269. 07412tgtgDh44.1267412sec25.120sec22Dh22222mhmDhmDh422221067. 483435 . 044.12605. 02269. 0mmh02. 0mmh02. 028.27 根据题意列出函数关系式对函数式全微分,求得函数的真误差与观测值真误差之间的关系式,即将真误差关系式转换为中误差关系式,即),(21nixxxxfZnnxfxfxfz22112222222121nnzmxfmxfmxfm在相同观测条件下，对某量进行n次观测，其观测值分别是L1，L2，Ln，则该量的算术平均值为设该未知量的真值为X,则各观测值

12、真误差分别为nLnLLLxn21XLXLXLnn2211设该未知量的真值为X,则各观测值真误差分别为 将上述等式两端分别求和并除以n得根据偶然误差的第四个特性XLXLXLnn2211XnLn0limnnxnLX 根据线性函数误差传播定律,可得算术平均值中误差mx算术平均（观测成果）中误差与观测次数的平方根成反比,即增加观测次数可以提高算术平均值精度nLnLnLnLLLxnn2121222212nmnmnmmnxnmnmnmx2222nmmxVLxnnLxVLxVLxV2211LnxV0LnLnV真误差=观测值-真值两端分别相加,顾及两端分别平方后再相加XL XLXLXLnn2211nnLxVLxVLxV2211)()()(2211XxVXxVXxVnn两边相加并整理0V2)(XxnVV)(XxnnXx)(222)(nnXxn2)(XxnVV222)(nnXxnnnnnn1321212nXxn)(2nVV1nVVn1nVVnm) 1(nnVVnmmx例题,用钢尺对某段距离丈量6次,试计算观测值中误差及算术平均值中误差。mmnVVm9 . 4161