《数值计算方法》试题集和答案解析

1、WORD格式整理数值计算方法复习试题、填空题:一4-101|A =A = 14-11、 了 一1 4，则A的LU分解为 一答案:一4-10115/4-1-4/15 1_-56/15一 1A= -1/4 0专业知识分享2、已知f(1)=1.0，f(2)=12 f=3,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得31 f (x)dx :用三点式求得f (1) ：答案：2.367, 0.25 3、f=T f(2) =2, f(3)=1 ,则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为拉格朗日插值多项式为12(x-1)(x-2)1L2(x)(x -2)(x -3) -2(x -1)(x -3) 一答案：-1 ,24、近

2、似值x =0.231关于真值乂 = 0.229有(2 )位有效数字;5、设f(x)可微，求方程x=f(x)的牛顿迭代格式是()xn - f(xn )1- f (xn)6、对他广二“十1，差商 f0,1,2,3=( 1 ), f0,123,4=( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断)误差和( 舍入)误差;8、用二分法求非线性方程 f (x)=0在区间(a, b)内的根时，二分n次后的误差限为b -a广)9、求解一阶常微分方程初值问题y = f (x,y) , y(X0)=y0的改进的欧拉公式为hyn 1 = ynf(xn,yn)f(xn；1，yn 1)(2)；10、已知f(1) =2, f (

3、2) =3, f(4) =5.9 ,则二次 Newton插值多项式中x2系数为(0.15 )11、两点式高斯型求积公式11.1 r ,3-1 - 3 1广汽虺=Jf(x)dxW口而)+ f(而")，代数精12、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)13、为了使计算4(x-1)26(X 1)3的乘除法次数尽量地少，应将该表1x -1,为了减少舍入误差，应将表达式y =10 (3 (4 -6t)t)t,t达式改写为_2&001 -41999 改写为V2001 +1999314、用二分法求方程f(x)=x x-1 =0在区间0,1内的根，

4、进行一步后根的所在区间为0.5、1 , 进行两步后根的所在区间为 0.5 、 0.75。xdx15、计算积分0.5，取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268.用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309 、梯形公式的代数精度为1 .辛卜生公式的代数精度为 J；3x1 +5x2=1卜产=(1-5x2k)/316、求解方程组&.2x1 +4x2 =°的高斯塞德尔迭代格式为_&产=一x1(k，20 一该迭1代格式的迭代矩阵的谱半径P(M)=12 _017、设 f(0)=0, f(1)=16, f (2)=46，则 l1(x)= l1(x) = x(x2)_ f

5、(x)的二次牛顿插值多项式为由=16x 7x（x-1）18、求积公式af(x)dx r Akf(Xk)k=0的代数精度以(高斯型）求积公式为最高，具有（2n+1 ）次代数精度5、.f (x)dx19、已知f (1)=1, f (3)=5, f (5)=-3,用辛普生求积公式求,1=( 12 )。20、设 f (1)=1 , f(2)=2 , f (3)=0,用三点式求 f'飞 2.5 )。21、如果用二分法求方程 x3 + x -4 = 0在区间1,2内的根精确到三位小数，需对分(10)次。x30MxM 1S(x) =132(x -1)3 a(x -1)2 b(x -1) c 1 &l

6、t; x < 322、已知、2是三次样条函数，则a=( 3),b=( 3),c=(1)。n:一 l k (x)=«(1),n* (x4 x23)lk(x) =4k=0( xy = f (x, y)24、解初值问题、y(x。)= y。的123、 l0(x),l1(x),，ln(x)是以整数点 x0,x1； ,xn为节点的Lagrange插值基函数，则 nxklj(xk) =xy( xj ), 当 n至2 时+ x2+3)。yn°L =yn +hf (xn,yn)|yn+ = yn +!f (xn, Yn )十“*口 书，y；*)i进欧拉法L2是2阶方法。25、区间a,b

7、 I上的三次样条插值函数S（x）在"b1上具有直到 2 阶的连续导数。26、改变函数f （X） =，x+1 -豉 （x»1 ）的形式，使计算结果较精确3位小数，则需要对分1027、若用二分法求方程f（x）=0在区间1,2内的根，要求精确到第次。28、S（x）=J 32x3,0MxM1ax2 bx c,1 E x 三 2 1 ，一 一 ,1 x 2是3次样条函数，则a= 3 , b= -3 , c= 1。610 ,利用余项公式估计，至少用4771 exdx29、若用复化梯形公式计算°,要求误差不超过个求积节点。x1 +1.6x2 =1 0 4x+x-2 30 、 与

8、出求解方程组 ”的 Gauss-Seidel 迭代公式'x!k* ) = 1 1.6x2k)遂尸)= 2+0.4xSk=0,1二迭代矩阵为0<0-1.6、一 0.641,此迭代法是否收敛 收敛用4)A =:.32、设矩阵33、一42若 f(x) =3x4276_a=lu，则 U =+ 2x +1,则差商 f2,4,8,16,30=334、1 .2 .f (x)dx f( -1) 8 f( 0) f (1)数值积分公式 T9的代数精度为235、线性方程组2的最小二乘解为36、设矩阵一3211145分解为A = LU ,则U11103212 1、单项选择题:1、Jacobi迭代法解方

9、程组Ax = b的必要条件是（C ）A . A的各阶顺序主子式不为零B . P(A)<1Ca. #0,i =1,2,nD|心12 2-3A = 0 512、设L° 0 一71 则 P(A)为(C ).A . 2 B.5C. 7 D . 33、三点的高斯求积公式的代数精度为（B ）A . 2B. 5 C.3 D . 44、求解线Tt方程组Ax力的LU分解法中,A须满足的条件是（B ）31、设 4 3,，则 1AL =色A.对称阵 B.正定矩阵C.任意阵 D .各阶顺序主子式均不为零5、舍入误差是(A ) 产生的误差。A.只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与

10、测量D.数学模型准确值与实际值6、3.141580是冗的有(B )位有效数字的近似值。A.6B. 5 C . 4 D .77、用1 + x近似表示ex所产生的误差是(C ) 误差。A.模型 B .观测C.截断 D .舍入8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A ) oA.控制舍入误差B .减小方法误差C.防止计算时溢出D .简化计算_x9、用1 + 3近似表示羽+x所产生的误差是(D )误差。A.舍入 B .观测 C .模型 D.截断10、-324. 7500是舍入得到的近似值，它有(C )位有效数字。A . 5 B . 6C. 7 D . 811、设f (-1)=1, f (0)

11、=3, f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A ) 0A.-0. 5 B .0.5 C . 2 D . -212、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C )。A . 3 B . 4C. 5 D . 213、( D )的3位有效数字是0.236 X02。(A) 0.0023549 M03 (B) 2354.82 >10-2 (C) 235.418(D) 235.54 >10-114、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=P(x),则f(x)=0的根是(B) o(A) y=中(x)与x轴交点的横坐标(B) y=x与丫=邛仅)交点的横坐标(C) y=

12、x与x轴的交点的横坐标(D) y=x 与y=P(x)的交点13x - x2 - 4x 3 1一一 x1 +2x2 -9x3 = 015、用列主元消去法解线性方程组l-4x1 -3x2+x3=-第1次消元，选择主元为(A )。(A) -4(B) 3 (C) 4(D)-916、拉格朗日插值多项式的余项是(B ),牛顿插值多项式的余项是(C )。(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(x x1)(x x2) - (x xn 1)(x xn),(B)Rn(x) =f(x) - Pn(x) =f(n 1)()(n 1)!(C)f(x,x0,x1,x2,xn)(x x0)(x x1)(x x2)(x x

13、n 1)(x xn),(D)Rn(X) =f(x) Pn(X) =f(n - 1)!- -n i(X)17、等距二点求导公式f(x1) X A )。f(X1)-f(X。)(A)Xi -X0(B)f(X1)-f(X0)(C)f(x0) f(X1)(D)Xo - XiX0 - Xif(X1)- f(x。)Xi X018、用牛顿切线法解方程f(x)=0 ,选初始值x0满足(A),则它的解数列xnn=0,1,2,一定收敛到方程f(x)=0的根。(A)f(x0)f (x) 0(B)f(xo)f(x) 0(C) f(Xo)f (x) ；0(D) f (Xo) f (x) < 019、为求方程x3x2

14、1=0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是 (A )21, -1x =，迭代公式：Xk4=/(A)X -1Xk -1(B)X=1十'，迭代公式：Xk书=1 + X12Xk(C)x3=1+x2，迭代公式：X"2x1/3二(1Xk)(D)X3 -1=X2，迭代公式：Xk.二12Xk2,XkXk 17= f(x, y)20、求解初值问题 J(X =y。欧拉法的局部截断误差是();改进欧拉法的局部截断误差是()；四阶龙格库塔法的局部截断误差是(A )(A)O(h2)(B)O(h3)(C)O(h4)(D)O(h5)21、解方程组

15、 Ax = b的简单迭代格式(1)二1, (2) M：1Bx + g收敛的充要条件是(P(A)a1,P(B)>122、在牛顿-柯特斯求积公式:bf(x)dx :an(b-a卜 Ci(n)f (Xi)C(n)用中，当系数Ci是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当()时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。(1) n >8, n >7, n >10,(4)n >6,23、有下列数表X00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是()。(1)二次；(2)三次；(3)四次；(4)五次24、若用二阶中点公式yn 1 = y

16、nf(Xn , yn )求解初值问题y -2y, y(0)- 1 ,试问为保证该公式名对稳定，步长h的取值范围为()。 0 <h -1, (2)0Mh M1, ( 3) 0 ：h：1, (4)0M h ； 125、取6%1.732计算x =(6-1),下列方法中哪种最好?(A)28-16 石；(4-2百)2.26、已知3xS( x) =32(x -1)a(x -2) b_16_16_C) (4 + 2®)2 ；(D)(出 + 1)4。0M x <22-x - 4是三次样条函数，则a，b的值为(A)6 , 6;(B)6, 8;(C)8, 6;(D)8, 8。27、由下列数表

17、进行 Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是()x11.522.533.5f(Xi)-10.52.55.08.011.5(A) 5；(B)4；(C)3；( D) 2。bf f(x)dxA f(x1) + A2 f(x2)+ A3 f( x3)28、形如a的高斯(Gauss)型求积公式的代数精度为(A)9；(B)7；( C) 5；(D)3O29、计算热的Newton迭代格式为() xk3xk 3Xk i - Xk 1- -2x22x.(A) xk ； ( B)k ； (C)xk ； (D)30、用二分法求方程x3 +4x2 -10=0在区间1,2 内的实根，要求误差限为 次数至少为（）

18、（A）10 ;（B）12;（C）8;（D）9。13；=10231、经典的四阶龙格一库塔公式的局部截断误差为（）_4_2_5(A)。；(B)0(h);( C)O(h);(D)O(h 3)932、设li（x）是以xk =k（k =0,1川为节点的 Lagrange(A) x；(B) k ；(C) i ；33、5个节点白牛顿-柯特斯求积公式，至少具有 （）插值基函数，则(D) 1。次代数精度、kli(k) =k =0(A)5；34、已知(A)6, 6;(B)4;(C)6;(D)3。x30 _ x _2S(x)=3.2(x -1) *a(x-2)+ b 2 < x<4是三次样条函数，则(B

19、)6, 8;(C)8, 6;(D)8, 8。a,b的值为（）x0=2不收敛的是（）335、已知方程x -2x-5=0在x = 2附近有根，下列迭代格式中在2 x； 5(D) Xk +一 3 x2-2。x01234f(x)1243-5(Q3xk 1 = xkxk-5；36、由下列数据确定的唯一插值多项式的次数为（）(A) 4 ;(B)2;(C)1;(D)3。37、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为()(A)8 ;(B)9 ;(C)10;(D)11。、是非题（认为正确的在后面的括弧中打 &否则打父）1、已知观察值（Xi，yi）（i =0"，m）,用最小二乘法求n次拟合

20、多项式Pn（x）时,Pn（x）的次数 n可以任意取。（）2x2、用1- 2近似表示cosx产生舍入误差。（）（X - X0 ）（ X - X2 ）()311、-2 5 3.112 5 一. ，,一.5、矩阵A=L 2 "具有严格对角占优。()四、计算题：4x1 2x2 x3 =11x1 4x2 2x3 = 181、用高斯-塞德尔方法解方程组12" +x2 +5x3 =22,取x=(0，0，0)T ,迭代四次(要 求按五位有效数字计算)。答案：迭代格式丫 x1= -(11- 2x2k)-4x3k)e= l(18.xr).4-2x3k)x3k+)(222乂尸)-x")

21、kx1(k)x2k)(k) x3000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70191 一一 一 一一 1 一 1f(x)dx ; Af(-1) f Bf(-) f()2、求A、B使求积公式22的代数精度尽量I高，并求其代数精度；利用此公式求2 1 dxM x (保留四位小数)。2答案：f(x)=1，x，x是精确成立，即2A 2B =22A 1B =223求积公式为i18.1.1Lf(x)dx=9f(f + f个匕叶当f(x) = x3时，公式显然精确成立；当f(x) = x4时,

22、1右=3 。所以代数精度为3。2 1GdXt=2xJ3 11_出- t 39 -1 3 1 39-1/2 3 1 2 3970.692861403、已知xi1345f(xi)2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式P3(x),并求f(2)的近似值(保留四位小数)L3(x) =2(x-3)(x-4)(x-5) 6(x-1)(x-4)(x-5)(1-3)(1-4)(1-5)(3-1)(3-4)(3-5).5(x-1)(x-3)(x-5) , 4(x-1)(x-3)(x-4) (4 -1)(4 -3)(4 -5)(5-1)(5 -3)(5 -4)xiyi一阶均差二阶均差三阶

23、均差1236245-1-1差商表为54-10141P3(x) = N3(x) =2 2(x -1) -(x -1)(x -3) - 一(x -1)(x - 3)(x - 4)4f(2) ： P3(2) =5.54、取步长h=02,用预估-校正法解常微分方程初值问题y'= 2x +3y1y(0)=1(0<x<1)yn0)i=yn0.2(2xn3yn)答案:解:yni=yn0.1(2xn3yn)(2xni3yn0)i)yn 1 =0.52xn 1.78yn0.04n012345xn00.20.40.60.81.0y n11.825.879610.713719.422435.02

24、795、已知xi-2-1012f(xi)42135求f(x)的二次拟合曲线P2(x),并求f '(0)的近似值答案:解:ixiyi2 xi3 xi4 xixi yi2xi yi0-244-816-8161-121-11-22201000003131113342548161020015100343415a0 10a2 =1510ai =3正规方程组为2（制=”工小7101410ao +34a2 =4110311a。-, a1- -,a2-71014/、311P2（x）x1073f （0） : P2（0）=-106、已知sinx区间0.4 , 0.8的函数表xi0.40.50.60.70.

25、8yi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sin。63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似答案：解： 应选三个节点，使误差M3|R2（X）|-J3| '3（X）|尽量小，即应使 僧3（X）I尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点 0.5，0.6,0.7最好，实际计算结果Sin0.63891 : 0.596274且sin 0.63891 -0.596274 1 .< (0.63891 -0.5)(0.63891 -9-0.6)(0.63891 -0.7) 3!1-4< 0.55032 10-7、构

26、造求解方程ex +10x-2=0的根的迭代格式Xn”中n =0,12，讨论其收敛 性，并将根求出来，|Xn省一。|<10工。答案：解：令 f(x)=ex 10X-2, f(0) = -2；0, f (1)=10 e 0且f (x)=eX+10A0对VXW(-8,+叼，故f(x)=0在1)内有唯一实根.将方程f (x) =0变形为X=110(2-eX)(x) =/(2 -eX)10 ,| ;： (x) | =10e ：二 110故迭代格式Xn 1 = (2。eXn10收敛。取X0 =0.5,计算结果列表如下:n0123xn0.50.035 127 8720.096 424 7850.089

27、 877 325n4567xn0.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 008 4 一6* 4 一 4且满足 |x7x6 产0.000 000 95<10所以 x % 0.090 525008x1 +2x2 +3x3 = 142xi 5X2 2x3 =188、利用矩阵的LU分解法解方程组I 3X1 +X2 + 5X3=20。WORD格式整理答案:解:A = LU一1213 -5 1 j|1 213 -4 -24令 Ly = b 得 y = (14,10,72)t9、对方程组3xi - 2x2 10x3 =15 * 10x1 4x2

28、X3 52xi +10x2 4x3 =8(1)试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由;(2)取初值 x(°)=(0,0,0)T ,利用(1)中建立的迭代公式求解，要求| x(k 1) - x(k) |二；10 3解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优10x1 - 4x2 - X3 - 5« 2x1 +10x2 -4x3 = 83x1 +2x2 +10x3 = 15故对应的高斯塞德尔迭代法收敛.迭代格式为x"=x2k 1) =x3k J101(-2x101(-3x10(k 1) 14x2k)，x3k)，5)4x3k) 8)1(k1)-2x2k1)15)

29、取x=(0Q0)T,经7步迭代可得:x* x(7) = (0.999 991 459, 0.999 950 326, 1.000 010)T10、已知下列实验数据xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据1 x解：当 0<x<1 时，f "(x) =ex,则 f (x) =e,且 2 dx有一位整数.专业知识分享WORD格式整理专业知识分享要求近似值有5位有效数字，只须误差R(n)(f) <(b -a)312n2”(“,只要Rin) (ex):二 £_ 12n2即可，解得所以n=68,

30、因此至少需将0,1 68一1511、用列主元素消元法求解方程组解:一15：2-11-43 -12111r1r27一51R1(n)14(f) <-x10-2* 10-4= 67.30877等份。-1-4-4-1iirxii -4ix2-121Jl_X3jL11 J3 -121 41112 一15r 2r3 一5回代得12、取节点X0解:=0, X115135-4135251515513-1285795-12795513 1-'4-12 1r2-13515152579585X3 = -1，X2 =6, X1 =3o= 0.5,X2 =1，求函数 f(X)=今(x),并估计误差。在区间

31、0,1e4 (x- j (X-0)(X-1)(0-0.5)(0-1)(0.5-0)(0.5-1)上的二次插值多项式(x-0)(x.0.5)e (1 -0)(1 -0.5)= 2(x -0.5)(x-1)-4e-0.5x(x-1) 2e,x(x0.5)f (x) = e, f (x) = -e ",M 3 = max | f (x) |= 1又X0,1故截断误差/1但他近 e(x)1x(xs5)(xF13、用欧拉方法求,、 X J2 ,y(x)=0e dt在点x：0.5，1。1.5,2.0处的近似值。X 2解：y（X）=10e出等价于F 1y2 _x e eiy(0) =0( X &g

32、t; 0)记 f(x,y) =e"，取h=0.5, x0= 0,X1 -0.5, x2 =1.0, x3 =1.5, X4 =2.0则由欧拉公式yn书二ynhf (Xn ,yn)J0 =0n = 0,1,2,3可得y(0.5) ： y1 = 0.5,y(1.0) =、2 0.88940y(1.5) ： y3 =1.07334, y(2.0) = y4 ： 1.12604X14、给定方程 f(x)=(x-1)e -仁01）分析该方程存在几个根;2）用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字;3）说明所用的迭代格式是收敛的。X解：1）将方程（X-1）e 7=0（1）改写为x 7 = e&qu

33、ot;x作函数 f1(x)=X，f2(x)=e"的图形(略)知(2)有唯一根x三(1,2)。2)将方程(2)改写为x = 1 e，(k =0,12 )构造迭代格式xk 中=1 +e"k=xo =1.5计算结果列表如下:k123456789xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561.278441.278471.278463) 平(x)=1+e-x中(x)=-e«当 xw1,2时，P(x)wW(2)W(1)u1,2,且| ： (x) |Me,：二 1所以迭代格式 xk41 =*(xk) (k=0,1,21为任意 xo71

34、,2均收敛。15、用牛顿(切线)法求)3的近似值。取xo=1.7,计算三次，保留五位小数。2解：也是f(x) =x 一3 = 0的正根,f'(x)=2x,牛顿迭代公式为x2 -3xn 1 = xn - 2xn,)Xn -1xn22Xn(n =0,12 )取xo=1.7,列表如下:n123xn1.732351.732051.7320516、已知f (-1)=2 , f (1)=3 , f (2)=-4 ,求拉格朗日插值多项式L2(x)及f (1 , 5)的近似值，取五位小数。(x-1)(x-2)(x1)(x-2)(x1)(x7)解:L2(x)=2 3 - 4 (-1 -1)(-1 -2)

35、(11)(1 -2)(21)(2-1)2 34= -(x-1)(x-2) -(x 1)(x-2)-(x 1)(x-1)3 23.1f(1.5) ： L2(1.5) = 0.04167241 exdx 17、n=3,用复合梯形公式求Jo的近似值(取四位小数)，并求误差估计。1 x1 -0 01 32 31e dx T3 =e 2(e e ) e ： 1.7342解：02 3f(x) =ex, f "(x) =ex, 0WxE1时，|f"(x)|Me|R|=|ex-T3 归e12 32e=0.025 0.05108至少有两位有效数字。18、用Gauss-Seidel迭代法求解线

36、性方程组取x(0)=(0,0,0) T,列表计算三次，保留三位小数。解：Gauss-Seidel迭代格式为：婢划=1(-x3k)+5)3.尸:-夕一尸-x3k)-1)x3k+)(k+)+x2k+)-8)、43011 -31系数矩阵1T41严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.取x(0)=(0,0,0) T,列表计算如下：kx1(k)x2k)x3k)11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.52619、用预估一校正法求解 )=1 (0<x<1) , h=0。2,取两位小数。解：预估一校正公式为1,、yn 1 = yn2

37、(k1k2)&1 =hf (Xn,yn)k2 =hf (xn h,yn *1)20、n = 0,1,2,解:2 .q，= span1, x AT解方程组1252AT AC131211 382=19.0 32.3 49.0 73.3其中解得:21、（ATA= 339l33913529603t 173.6 ATy =179980.70.9255577C =0.0501025所以 a =0.9255577,15分)用n=8的复化梯形公式(或复化Simpsonb =0.0501025公式）计算dx一e时，试用余项估计其误其中 f(x,y)=x+y, y0=1 , h=0.2, n=0，1,2,

38、3,4,代入上式得:n12345xn0.20.40.60.81.0yn1.241.582.042.643.42（8分）用最小二乘法求形如 y = a *bx的经验公式拟合以下数据:x19253038yi19.032.349.073.3差。用n =8的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值。解:R"f =-b12ah2f P)111e00.00130212 82768h7T(8)=)f(a) 2% f(xQ f(b)2 k 11=11 2 (0.8824969 0.7788008 0.606530660.5352614 0.47236655 0.41686207)

39、 0.36787947= 0.632943422、（15分）方程x3 -x-1 =0在x= 1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1） x = 3/x+1_ 3 1 x = . 1 ： -xn 1对应迭彳t格式xn41 （2） x x对应迭代格式113xn ; (3) x = x3-1 对应迭代格式“斗=xn -1。判断迭代格式在x0 =1.5的收敛性，选一种收敛格式计算 x = 1.5附近的根, 精确到小数点后第三位。解：（1）1f:(x) (x 1) 336（1到=0.18<1,故收敛;(2)(3)（x）二2x2 ：1 +1x,自（到=0.17<<故收敛;x）=3

40、x2,仔。5）二5、1,故发散。选择(1”x°=1.5x=1.3572x2=1.3309x3=1.3259x，=1.3249x5 =1.32476 x6 =1.3247223、（8分）已知方程组 AX = f，其中一431 一 241A = 3 4-1 f = 30-14 J 24（1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。（2） 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。解：Jacobi迭代法:婿川=1(24-3x2。)4闻)=：(30-3x1(k) +x3k)x尸=1(-24 + x2k)4k=0,1,2,3:Gauss-Seidel 迭代法:x，*) =(

41、24-3x2k)4x2k *)=；(30-3x1(k +)+x3k)x3k 却(_24 + x2由4. k = 0,1,2,31Bj - -D (L U)=-340340 % °,：(Bj.10(或)=0.79056943 = _y+1d dx24、1、(15分)取步长h=0.1,求解初值问题I y(0)=1用改进的欧拉法求y(0.1)的值；用经 典的四阶龙格一库塔法求y(0.1)的值。y2 二 yhf (Xn, yn) =0.9yn 0.1h(0)yn 1 = yn f (Xn, yn) f (Xn 1, yn 1 ) = 0.905丫口 0.095解：改进的欧拉法：2所以 y(O

42、。=y1 =1 ； 经典的四阶龙格一库塔法：hyn 书=Yn +M匕 +2k2 +2k3 +k4 6k1 = f (Xn, yn),一 , h, h,、k2 = f (Xn +)n + k1)22hhk3 = f (Xn 十万，Yd 十 ”2)、 k4 = f (Xn + h, yn + hk3)k1 = k2 = k3 = k4 = 0 所以 y(0.1) = Y1 = 1。25、数值积分公式形如1Xf(X)dX : S(x) =Af (0) Bf(1) Cf (0) Df (1)A B D0试确定参数A B,C, D使公式代数精度尽1f(x) C401 ,， R(x) = °xf

43、(x)dxS(x)量高；(2)设f(X) C 0,1,推导余项公式0，并估计误差。a 3 r 7 r 1c解：将f(X) =1,X,x2,x3分布代入公式得:A = , B = , B = , D =20202030H3(x) = f(Xi) -构造Hermite插值多项式H 3(x)满足F3(为) = f (xi)i =0,1其中X0 = 0,X1 = 1 f ()32R(X) = 0xf (x) -S(x)dx = 04X (x -1) dx1一、一，、 f (4)( ) 2, 八 2xH3(x)dx=S(x) f(x) -H3(X) = X (X -1)则有：03,4!f(4)()4!1

44、 32 f ()x (x -1) dx =(-04! 60f(4)()144026、用二步法Yn 1 = ： 0Yn . ： 1Ynq h寸(Xn,Yn) (1 -？)f(Xni,Yn7)：y'= f (x, y)=并求局求解常微分方程的初值问题Ly(X0) =Y0时，如何选择参数"0,a1出使方法阶数尽可能高,部截断误差主项，此时该方法是几阶的 解:h2h3Rn,h = y(xn 1) - yn 1 = y(xn) hy (%) 可 y (%) 可 y (%) 2!3!h2h3-二 0y(xn) - ： 1(y(xn) -hy (xn)-y (xn)y (xn)2!3!比旷

45、（4） （1-口）（丫（4）-八丫乂）23五 y (xn) -3 y(4)(xn)=(1 - ： 0 - ： 1)y(xn) h(1 -1 ： 1)y (xn)2 1-1.3 1h2(-V 1-)y (xn) h3(-226)y (Xn) O(h4)所以21 T-0 - -1 = 0、工1 = 0-三 1 -1-02“0=1=y =03 =-223h3主项：12y (Xn)该方法是二阶的。27、(10 分)已知数值积分公式为:h0 f(x)dx :h .2-f(0) f(h)-h2f (0) -f (h)2，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：f（x）

46、=1显然精确成立；f(x) = x 时,hxdxh2 h2=h0 h h21 -122f(x)2二x时,h 2x dxf(x)3x时,h 3x dxh 22h30 h2h20 -2h2 h =22f(x)所以,4x时,)4hh 54x dx =)5h 3122= U0 h3 h20 -3h2212.h 4123 h0 h h 0 - 4h ：2126 .其代数精确度为3。1 , xk 1 = -(xk228、（8分）已知求'；a（a >0）的迭代公式为:a)x00 k = 0,1,2证明：又一切k =1,2， 从而迭代过程收敛。, xk之石，且序列&,是单调递减的,Xka

47、 = Jak =0,1,2 -xk1 a 1xk 1 =-(xk -)-2证明：xkxk2故对一切k =1,2,，xk之7a。2 j 马至 1（1 1）=1；.，又xk2 xk 2所以xk41 -xk,即序列xk是单调递减有下界，从而迭代过程收敛。33f（x）dx 二f f（2）29、（9分）数值求积公式L02是否为插值型求积公式？为什么？其代数精 度是多少?解：是。因为f（x） 在基点1、2处的插值多项式为x - 2 P(x)= 1 2x -1f二1f330p(x)dx =a1f(1) f (2)其代数精度为30、（6分）写出求方程4x=cosx）+1在区间0,1的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。xn 1(6分)二xn=1 1 cos xn 14, n=0,1,2, L 1. ， 1俨(x ) = /sin (x )<1：14对任意白初值x0 0,1 ,迭代公式都收敛。31、（12分）以100,121,144为插值节点，用插值法计算,