统计热力学基础经典习题集

1、选择题1 .下面有关统计热力学的描述，正确的是： ()A.统计热力学研究的是大量分子的微观平衡体系B.统计热力学研究的是大量分子的宏观平衡体系C.统计热力学是热力学的理论基础D.统计热力学和热力学是相互独立互不相关的两门学科B2 .在研究N、V、U有确定值的粒子体系的统计分布时，令汇 ni = N , Eni d = U,这是因为所研究的体系是：()A.体系是封闭的，粒子是独立的B体系是孤立的，粒子是相依的C.体系是孤立的，粒子是独立的D.体系是封闭的，粒子是相依的 C3 .假定某种分子的许可能级是0、e、2e和3e,简并度分别为1、1、2、3四个这样的分子构成的定域体系，其总能量为 3e时，

2、体系的微观状态数为：()A. 40B. 24C. 20D. 28A4 .使用麦克斯韦-波尔兹曼分布定律，要求粒子数 N 很大，这是因为在推出该定律时：().假定粒子是可别的B.应用了斯特林近似公式C.忽略了粒子之间的相互作用D.应用拉氏待定乘因子法A5 .对于玻尔兹曼分布定律ni =(N/q) gi exp( - d/kT)的说法：(1) n i是第i能级上的粒子分布数;(2)随着能级升高，£ i增大，ni总是减少的;(3)它只适用于可区分的独立粒子体系;(4)它适用于任何的大量粒子体系其中正确的是：()A. (1)(3)B. (3)(4)C. (1)(2)D. (2)(4)C6 .

3、对于分布在某一能级e i上的粒子数ni,下列说法中正确是：()A. n i与能级的简并度无关B. d值越小，ni值就越大C. n i称为一种分布D.任何分布的ni都可以用波尔兹曼分布公式求出7.15 .在已知温度T时，某种粒子的能级e j = 2 4,简并度gi = 2gj ,则ej和d上分布的粒子数之比为：（）A. 0.5exp（ ej/2kT）B. 2exp（- £ j/2kT）C. 0.5exp（- £ j/kT）D. 2exp（ 2 £ j/kT）C8. I2的振动特征温度。v= 307K ,相邻两振动能级上粒子数之n（v + 1）/n（v） = 1/2

4、的温度是：（）A. 306 KB. 443 KC. 760 KD. 556 KB9.下面哪组热力学性质的配分函数表达式与体系中粒子的可别与否无关：（）A. S、G、F、CvB. U、H、P、C vC. G、F、H、UD. S、U、H、GB10 .分子运动的振动特征温度。 v是物质的重要性质之一，下列正确的说法是：（）A. v越高，表示温度越高B. Ov越高，表示分子振动能越小C. © v越高，表示分子处于激发态的百分数越小D. O v越高，表示分子处于基态的百分数越小C11 .下列几种运动中哪些运动对热力学函数G与A贡献是不同的：（）A.转动运动 B.电子运动C.振动运动D.平动运动

5、D12 .三维平动子的平动能为t = 7h2 /（4mV2/3 ）,能级的简并度为：（）A. 1B. 3C. 6D. 2C13.O2 的转动惯量 J = 19.3 X10 -47 kg m2 ,则O2的转动特征温度是：（）A. 10 KB. 5 KC. 2.07 KD. 8 KC14 .对于单原子分子理想气体，当温度升高时，小于分子平均能量的能级上分布的粒子数：（）A.不变B.增多 C.减少D. 不能确定C15 .在相同条件下，对于He与Ne单原子分子，近似认为它们的电子配分函数相同且等于1,则He与Ne单原子分子的摩尔嫡是：（）A. Sm(He) > Sm (Ne)B. Sm (He)

6、 = Sm (Ne)C. Sm (He) < S m(Ne)D. 以上答案均不成立二、填空题1 .某双原子分子 AB取振动基态能量为零，在T时的振动配分函数为应为1/1.022 .已知CO的转动惯量I=1.45 X10-26 kg m2,则CO的转动特征温度为3 .双原子分子以平衡位置为能量零点，其振动的零点能等于4 .双原子分子在温度很低时且选取振动基态能量为零，则振动配分函数值为5 . 2molCO2 的转动能 Ur为6 . NH3分子的平动自由度为转动自由度为 振动自由度为7 . 300K 时，分布在 J=1转 动能级上的分子数是 J=015K8 . H2O分子气体在室温下振动运动

7、时C v,m的贡献可以忽略不计。则它的体)1.339 .三维平动子的平动能Et=6h2 /8mV能级的简并度为10 .晶体 CH3 D 中的残余嫡 S0,m为三、判断题1 .玻耳兹曼嫡定理一般不适用于单个粒子。2 .玻耳兹曼分布是最概然分布，但不是平衡分布。3 .并不是所有配分函数都无量纲。4 .在分子运动的各配分函数中平均配分函数与压力有关。5 .粒子的配分函数 q是粒子的简并度和玻耳兹曼因子的乘积取和。能级上C1.02 ,则粒子分布在 v = 0的基态上的分布数 N 0/N2.78K0.5hv12RT3 ,3 ,6的 3exp(-0.1)倍，则分子转动特征温度是C p,m /C v,m 值

8、为 (H2 O 可当作理想气3Rln4(X)(X)6.对热力学性质(U、V、N)确定的体系，体系中粒子在各能级上的分布数一定。(X)(X)7 .理想气体的混合物属于独立粒子体系。（，）8 .量子统计认为全同粒子在不同的量子态中不可别。（X）9 .任何两个粒子数相同的独立粒子体系，不定因子 a的值趋于一致。（X）10 .量热嫡由量热实验结果据热力学公式算得。（，）综合练习题一、选择题1 .在统计热力学中，物系的分类常按其组成的粒子能否被辨别来进行，按此原则，下列说法正确的是：（）A.晶体属离域物系而气体属定域物系B.气体和晶体皆属离域物系C.气体和晶体皆属定域物系D.气体属离域物系而晶体属定域物

9、系D2 .某种分子的许多可能级是£ 0、&1、仪，简并度为g0 = 1、g 1 = 2、g 2 = 1, 5个可别粒子，按 N0 = 2、N 1= 2、N2 = 1的分布方式分配在三个能级上，则该分布 方式的样式为：A. 30B. 120C. 480D. 28B3 .对热力学性质（U、V、N）确定的体系，下面描述中不对的是：（）A.体系中各能级的能量和简并度一定B.体系的微观状态数一定C.体系中粒子在各能级上的分布数一定D.体系的吉布斯自由能一定C4 .设一粒子体系由三个线性谐振子组成，体系的能量为（11/2）h »三个谐振子分别在三个固定点a、b、c上振动，体系总

10、的微观状态数为：（）A. 12B. 15C. 9D. 6B5 .式子汇Ni = N和二Ni G = U的含义是：（）A.表示在等概率假设条件下，密封的独立粒子平衡体系B.表示在等概率假设条件下，密封的独立粒子非平衡体系C.表示密闭的独立粒子平衡体系D.表示密闭的非独立粒子平衡体系C6 .玻尔兹曼统计认为：（）A.玻尔兹曼分布不是最概然分布但却代表平衡分布B.玻尔兹曼分布只是最概然分布但不代表平衡分布C.玻尔兹曼分布不是最概然分布也不代表平衡分布D.玻尔兹曼分布就是最概然分布也代表平衡分布B7 .如分子第一激发态的能量为400 kJ mol-1 ,则体系中10%的分子被激发到第一激发态时，体系的

11、温度（K）是：（）A. 2.1 X 104 B. 2.0 X 104 C. 2.0 X 103 D. 2.1 X 1058 . I2分子的振动能级间隔是0.43 X10-20 J ,则在298 K时某一振动能级和其较低能级上分子数之比为：（）A. 1B. 0.43 X 10-20C. 0.35D.无法计算9.各种运动形式的配分函数中与压力有关的是:A.电子配分函数B.平动配分函数C.转动配分函数D.振动配分函数10.下列哪个体系不具有玻尔兹曼-麦克斯韦统计特点:A.每一个可能的微观状态以相同的概率出现B.各能级的各量子态上分配的粒子数，受保里不相容原理的限制C.体系由独立可别白粒子组成，U =

12、 mi iD.宏观状态参量N、U、V为定值的封闭体系11.下面对转动配分函数计算式的对称数b差别理解不对的是：()A.对配分函数的修正B.对粒子等同性的修正C.对量子态等同性白修正D.对转动量子数的修正B12. HI的转动特征温度。r= 9.0 K , 300 K时HI的摩尔转动嫡为：()A. 37.45 J - K-1 - mol-1B. 31.70 J - K-1 - mol-1C. 29.15 J K-1 mol-1D. 30.5 J K-1 - mol-1A13 .对于单原子理想气体在室温下的物理过程，若要通过配分函数来求过程中热力学函数的变化：()A.必须知道qt、qR、qv、qn各

13、配分函数B.只须知道qt一个配分函数C.必须知道qt、qn配分函数D.必须知道qt、q R、qv配分函数B14 .巳知CO和N2分子的质量相同，转动特征温度基本相同，若电子处于非简并的基态，且振动对嫡的贡献可忽略，那么:()A. Sm(CO) < Sm (N 2)B. Sm (CO)与 Sm (N2 ) 大小无法比较C. S m(CO) = Sm (N2 )D. S m(CO) > Sm (N 2)D15 .玻耳兹曼嫡定理一般不适用于：()A.独立子体系 B.理想气体 C.量子气体 D.单个粒子D16 .非理想气体是：()A.独立的等同粒子体系B.相依的粒子体系C.独立的可别粒子体

14、系D.定域的可别粒子体系B17 .下列各体系中属于独立粒子体系的是： ()A.绝对零度的晶体 B.理想液体混合物C.纯气体 D.理想气体的混合物D18 .对于服从玻耳兹曼分布定律白体系，其分布规律为:()(A)能量最低的单个量子状态上的粒子数最多(B)第一激发能级上的粒子数最多(C)视体系的具体条件而定(D)以上三答案都不对19 .近独立定域粒子体系和经典极限下的非定域粒子体系的A.最概然分布公式不同B.最概然分布公式相同的热力学函数的统计表达示相同20.在N个NO分子组成的晶体中，每个分子都有两种可能的排列方式，即NO也可将晶体视为 NO和ON的C.某一能量分布类型的微观状态数相同 D.以粒

15、子配分函数表示混合物，在0K时该体系的嫡值：()A. S0 =0B. S0 =kln2C. S 0=Nkln2 D. S0 =2klnN21 .在平动、转动、振动运动对热力学函数的贡献中，下述关系式中错误的是:A. Ar= Gr B. Uv= Hv C. CV,v=Cp,v D. Cp,t=CV,22 .分子的平动、转动和振动的能级间隔的大小顺序是:A.振动能 转动能平动能B .振动能 平动能 转动能C.平动能 振动能 转动能D .转动能 平动能 振动能 A：(23 .热力学函数与分子配分函数的关系式对于定域粒子体系和离域粒子体系都相同的是A. G,F,SB. U,H,S C. U,H,CvD

16、. H,G,Cv24.双原子分子的振动配分函数q =1-exp(-h /kT)-1 是表示：()A.振动处于基态B.选取基态能量为零C.振动处于基态且选基态能量为零D.振动可以处于激发态，选取基态能量为零25.热力学函数与配分函数的关系式对于等同粒子体系和可别粒子体系都相同的是：(A. U , F , S B. U , H, Cv C. U , H, SD. H, F , Cv二、填空题1.10个可分辨粒子分布于n0 = 4 , n1 = 5, n2 = 1而简并度 g0 = 1, g1 = 2,g2 = 33个能极上的微观状态数为能级为非简并的，则微观状态数为120960 , 12602.某

17、一分子集合在 100K温度下处于平衡时，最低的 3个能级能量分别为0、2.05 X 10-22J和4.10X-22J,简并度分别为1、3、5。试问3个能级的相对分布数n0: n1 : n2 =。1：2.58 : 3.713. 三维平动子的平动能播能级的简并度为。34. 2molCO2的转动能Ur为 。2RT5. 一个体积为 V ,粒子质量为 m的离域子体系，其最低平动能级和其相邻能级的间隔是3h2 /8mV2/3三、问答题1.请定性说明下列各种气体的值随温度的变化规律：77K2988002000moP1 K-1)12.4812.4812.48心.风)/(丁01/玉7)20.8123.1227.

18、686皿mol_1 K-1)25.5328.8929.99% (COa)/(J mol-1 K-1)28.8143.1152.02答：因为He是单原子惰性气体，只有 3个平动自由度，所以对 R皿 的贡献是2 ,约等于12一48,由于没有振动自由度，所以"皿的数值不随温度而变。N2(g)是双原子分子，有3个平动自由度，2个转动自由度和 1个振动自由度，在较低温度时，只有平动和转动的贡献，如皿=-J? = 20,79 J K-1 mol-1c2。随着温度的升高，振动自由度被逐步激发，对 *皿 的贡献变大。Cl2(g)的情况与N2(g)相似，只是振动自由度比 N2(g)容易激发，到2000

19、k时，/ ，振动自由度已全部被激发。CO2(g)是三原子线形分子，有3个平动自由度，2个转动自由度和 4个振动自由度，时就有部分振动自由度被激发，温度越高，振动自由度被激发得越多，对 外 的贡献也就越大。2 . N2与CO的分子量非常相近，转动惯量的差别也极小，在 298.15K时，两者的振动与电子运动均基本上处于最低能级，但是N2的标准摩尔嫡为 191.6J - K-1 - mol-1 ,而CO却为197.6J - K-1 - mol-1，试分析产生差别的原因？答：N2与CO的标准摩尔嫡相差约 6 J K-1 mol-1 ,产生此差别的原因主要是两者的分子对称性不一样所致。N2是同核双原子分

20、子，对称因子b =2, CO是异核双原子分子，对称因子(t=1,在相同环境条件下，CO的转动运动以及微观状态数比N2多一倍，而嫡与微观运动状态数之间的关系为：S=klnw,当w值大时，S值也大，因此CO的嫡值较大。因分子对称性而产生的嫡值差为：(AS)m=Rln2=5.76 J K-1 mol-1此值与6 J - K-1 - mol-1相当接近，说明以上分析是正确的。3 .若一个粒子的能级 备的有效状态数与该粒子有效状态数和之比等于2X10-16 ,则体系中N个粒子在能级 %出现的概率为多少？答：N' /N=g1 - exp( e/kT)q=2 x 10-16 即：N粒子在能级

21、63; 1出现的概率为 2X10-16 四、证明题1 .试证明玻尔兹曼分布的微观状态数公式为：lnt=ln(qN eU/kt)式中 ii 。解：玻尔兹曼分布的微观状态数为：J耳！(可识别粒子体系)ln£=ln 【瓦1n的1口耳!iN豆=In N1+£M gg/ In-+ 乱ig= kiN!+ZNhi£NkiNNlngi+MjMT+Nlng + M i二kiM+Z 里+二四1口g一2以后"+£耳 j 尢丁 ：:i=In N'+lHkT+N&q- ATln M+N=1口 + U/kT+inNln 271=ki，3)证毕。2 .试证明

22、含有N个粒子的定域子体系，某种分布tx的微观状态数为:一 Ntx = N!|I /i Ni! (gi为相应的简并度)N1 N191 C1放法，同理，从N个粒N1解：从N个不同粒子中取出 N1个放在e1能级上的放法有 CN种放法，而e1级式上，共有N2 N2子中取出N2放在能级e 2上简并度为g2的放法为92 C2 ,以此类推有:t=9, C1N1 9N2 cN2= n91 N! /N1 ! (N-N1!) (N-N1)!/N2!(N-N1-N2)!9N1 =N!n91 /N1!3 .证明双原子 Ur =NkDUv=NkT。解：qk 8H2TkT/ <r h2Ur=NkT2( 3 lnqk

23、/ 3 T)V ?N=NkT2 3 1n(1/1-exp(-h v /KT)/ 3 TVN=NkT2 1/(8 n 2IKT/ (r h2) ? 8n 2IKT/ <r h2=NKTqv=1/1- exp(-h/KT )Uv= NkT2 3 1n1/1-exp(-h v /KT)/kT/ 3 TV?N =NkT21-exp(-h v /KT) . exp(-h V/KT - h v /kT2)/ 1-exp(-h v /KT)2=Nh v - exp(-h v/kt)/ i-exp(-h "/KT) =Nh ' / exp(h ' /KT)-1五、计算题1.按照

24、能量均分定律，每摩尔气体分子在各平动自由度上的平动能为RT/2。现有1mol CO气体于0C、101.325kPa条件下置于立方容器中，试求：(1)每个CO分子的平均动能 弓;(2)能量与此£相当的CO分子的平动量子数平方和(屋;+%+W)。解：(1)按照能量均分定律，每个CO分子的平均动能 F为 = -/?T/Z = 1.5x1.38066x0-35x273.15 = 5.657x10-1l二J(2)CO 分子质量为 m=M/L=4.6513 X10-26 kgV=RT/P=22.414 X10-3m3_ 层(足+%+w)W =： 222如尸心所以(%十%+/)=3.811 X10

25、-202.某三原子分子气体 AB2可看作理想气体，并设其各个运动自由度都服从经典的能量均分原理，已知丫 =Cp/Cv=1.15,试判断AB2是否为线性分子?解：先设其为线性分子，则每个分子有3个平动自由度、2个转动自由度和4个振动自由度，由能量均分原理，其热容为:3113CVW = -R-R+4R = -R = R 酒222227=C/Ct = 15/13 = 1.15与题给条件相吻合，故 AB2是线性分子。若AB2是非线性分子，则只有 3个振动自由度，其比热为:33 rl门C.=一R+R+3E = 6K,C；Km! 二、>/可7=7/6 = 1.167#!.153.在1000K下，HB

26、r分子在v = 2, J = 5 ,电子在基态的数目与 v =1, J =2 ,电子在基态的分子数目之比是多少？已知 HBr分子的 v=3700K,r=12.1K 。解：由玻尔兹曼分布律，第一种情况的分子数N1与第二种情况的分子数 N2之比为:u 中就 lx(2x5+l：i.e 2-5x6x比“i _T比=二1卡2M2 + 1喈纲/一2乂3 乂半= U'J咨簿喈一如瑞51 1 -37 -0350411 -39904=丁 »e= 一二55=0.04074.某分子的两个能级是：s1 = 6.1 X10-21J , 2.= 8.4X10-21J，相应的简并度为 g1=3,g2=5。

27、试求：(1)当 T=300K ;(2)T=3000K 时，由此分子组成的体系中两个能级上粒子数之比是多少?解：(1)由玻尔兹曼分布律，能级上粒子数之比等于能级玻尔兹曼因子与简并度乘积之比。6.1x10*居 品喈“西3电一苑国而1r瓦勖喈 -加 5乂产8 -1 °5335但(2) T=3000K 时:= 0 6342,忽略更高能5.设某理想气体 A,分子的最低能级是非简并的，取分子的基态为能量零点，第一激发态能量为e,简并度为(1)写出A分子配分函数q的表达式；(2)设£=女丁，求相邻两能级上粒子数之比；(3)当T=298.15K时，若&=4,试计算1mol该气体的平

28、均能量是多少?解：(1) q的表达式为：忽略更高能级=1+犷归旧与心O 735R -=贴+贴=%力='切初=04239乂K7 = lOSU-mor16.计算 298.15K 和 101 325Pa 下，1mol 氮N 2 的转动嫡。已知 I (N2) = 13.9 X20-47kg m2。解：qr=8 H2IkT/2h2根据基本关系式有Sr=Lklnqr+LkT( 3 lnqr/ 3 T)v =Rln(8 n 'IkT/2h2)+R=Rln8 X (3.1416)2 13.9 X 10-47 X 1.38 X 10-23 - 298/2 X (6.625 X 10-34)2 |

29、 1=R(3.94+1)=41.07J- mol-1 - k-17 . HD的。r= 66 K，计算30 K和40 K的平均转动能，并估算在35 K转动能对热容的贡献。解：HD 的 qr=8H2kT/h2 T/Or=T/66而 Um(r尸RT2 3 lnqr/ 3 TV?N=RTUm1=8.314 X 30=249.42 JUm2=332.56JUm(r)(Um2+Um1)/2=290.99JCv,m(r)=1/T2 3 U/ 3 (1/T)v=1/T2 3 (RT)/ 3 (1/T) V ?N =R8 .计算101 325 Pa、298 K时SO2分子内部转动对热力学函数的贡献。已知转动惯量为Ix= 1.386 X10-46 kg m2 , I y =8.143X10-46 kg m2 , I z = 9.529 X 1 0-46 kg m2 , SO2 为线性分子。解：对于多原子分子转动配分函数为qr=8 n 2 (2nkT) 3/2/ (r h3 (lxlylz)1/2 =8 n 2(2 n X 1.38 X 10-23 X 29