2009年北京市高考数学试卷(文科)答案与解析

1、2009 年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）【考点】并集及其运算；一元二次不等式的解法.、2【分析】根据题意，分析集合B,解x冬，可得集合B，再求AB的并集可得答案.【解答】解：二丘| - 丄02，B=x|x22=24种排法，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2X24=48（个）.故选C.4.（5分）（2009?北京）为了得到函数-丨-的图象，只需把函数y=lgx的图象上所有的点（ ）A.向左平移B.向右平移C.向左平移D.向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，再向下平移个 单

2、 位 长 度个 单 位 长 度个 单 位 长 度个单位长度【考点】【分析】对数函数的图像与性质.先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案.【解答】 解:1【点评】本题考查分步计数原理，是一个数字问题，这种问题是最典型的排列组合问题，经 常出现限制条件，并且限制条件变化多样，是一个易错题.6.（5分）（2009?北京）“1旦6A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】【专题】2Ct=2kTT -? 二kTT -3故应选：A.【点评】 本题考查充分条件、必要条件、充分条件，解题时要认真审题，仔细解答.7. （5分）（2009?北京）若正四棱

3、柱ABCD-AlBlClDl的底面边长为1,AB 1与底面ABCD成60角，则AiCi到底面ABCD的距离为（）3直线与平面平行的性质.计算题；作图题；压轴题.画出图象，禾U用线段的关系，角的三角函数，求解即可.解：依题意，BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离,BB1=1 Xan 60；，”是“心，”的（）充要条件.简易逻辑.兀a=-&71。二k兀-【分析】时,兀1COS2二匚口3右三；反之，当匚口耳2口二三时，二3271oK 1cos2反之，当cosa =7；时，可得2口二比兀+？ 二k兀+，k巳，或2u6【解答】解：当a=时,kZ,或是“的充分而不必要条件.是的充分而不必要条

4、件.【考点】【专题】【分析】【解答】/B1AB=6O ,【点评】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念, 属于基础知识、基本运算的考查.&（5分）（2009?北京）设D是正P1P2P3及其内部的点构成的集合，点P0是厶P1P2P3的中心，若集合S=P|P D,IPPo冃PR|,i=l,2,3，则集合S表示的平面区域是（）A.三角形区域B.四边形区域C.五边形区域D.六边形区域【考点】 二元一次不等式（组）与平面区域.【专题】 压轴题；数形结合.【分析】 本题考查的知识点是二元一次不等式（组）与平面区域，要求集合S=P|P D,|PP0冃PPi|,i=1

5、,2,3，表示的平面区域的形状，我们要先根据集合中点 出所表示区域的边界，进而判断出区域各边界围成的图形形状.【解答】 解：如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点， 若 |PP0|=|PPi|当i=1时，P点落在P1P0的垂直平分线上，又由当i=2时，P点落在P2P0的垂直平分线上，又由当i=3时，P点落在P3P0的垂直平分线上，又由 故满足条件集合 S=P|P D , |PP3 冃 PPi|, i=1 , 2, 3,则集合S表示的平面区域是六边形ABCDEF,故选D【点评】本题主要考查集合与平面几何基础知识.本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的

6、能力属于创新题型.二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）4I 39.（5分）（2009?北京）若sin9=- ,tanB0，则cos9=_ -【考点】同角三角函数间的基本关系.【分析】根据sin29+cos29=1可得答案.【解答】解：由已知，9在第三象限，P满足的性质，找PD，故P点的轨迹为ED;PD，故P点的轨迹为AF;PD，故P点的轨迹为BC;P1P1 cos 0=-丄.1故答案为：-上.5【点评】 本题主要考查简单的三角函数的运算.属于基础知识、基本运算的考查.10.（5分）（2009?北京）若数列an满足：ai=1,an+仁2an（nN*）,贝V a5= 16;前8项 的和S

7、8=255.（用数字作答）【考点】等比数列的前n项和.【专题】计算题.【分析】 先根据ai=i,an+i=2an通过分别求出ai,a2,a3,a4,a5；通过an+i=2an可推知数列为等比数列，根据求和公式进而求得S8.【解答】 解：ai=i,a2=2ai=2,a3=2a2=4,a4=2a3=8,a5=2a4=i6,数列an为等比数列，首项为1，公比为2.,2s- 1 宠二 二二255， 故答案为：16,255.【点评】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.查.站-2011.（5分）（2009?北京）（文）若实数x,y满足x4则s=x+y的最大值为9.Ly5【考点】 简单线性规划的应

8、用.【专题】计算题.x+y - 20【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件-0【解答】解：满足约束条件-X4的可行域，如图中阴影所示， 由图易得：当x=4，y=5时，s=x+y=4+5=9为最大值. 故答案为：9.属于基础知识、基本运算的考 an+i=2an,【点评】在解决线性规划的问题时，我们常用 角点法”，其步骤为：由约束条件画出可 行域？ 求出可行域各个角点的坐标？ 将坐标逐一代入目标函数？ 验证，求出最优 解.12.（5分）（2009?北京）已知函数 （工）二*各 若f（x）=2，则x= log32.【考点】函数的图象与图象变化.【专题】计算题.【分析】要求若f（x）=

9、2时，对应自变量x的值，我们可根据F（X）二 f 构造方 广“1程，然后根据分段函数的分段标准进行分类讨论，即可得到答案.【解答】解：由、? x=log32,故答案：log32.【点评】本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值.属于基础知识、基本运算的考查.分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者.=1的焦点为F1、F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=2, /F1PF2的大小为1201- 2无解,13. （

10、5分） （2009?北京）椭圆【分析】第一问用定义法，由|PFI|+|PF2|=6,且|PF1|=4,易得|PF2|;第二问如图所示：角所 在三角形三边已求得，用余弦定理求解.【解答】 解：T|PFi|+|PF2|=2a=6,|PF2|=6|PFI|=2.在厶F1PF2中，cos/F1PF2|PFj P+lPFj2- IFSIPFj-lPFj1=2 X 4 X 2 =2， /F1PF2=120 故答案为：2;120【点评】 本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，这类题是常考类型，难度不大, 考查灵活，特别是对曲线的定义和性质考查的很到位.14.(5分)(2009?北京)设A是整数集的一个

11、非空子集，对于k6A，如果k1?A且k+1?A, 那么称k是A的一个孤立元”，给定S=1,2,3,4,5,6,7,8，由S的3个元素构成 的所有集合中，不含 孤立元”的集合共有个.【考点】元素与集合关系的判断.【专题】新定义；集合.【分析】列举几个特殊的集合体会孤立元的意义是解本题的关键.【解答】解：依题意可知，没有与之相邻的元素是孤立元”，因而无 孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素.因此，符合题意的集合是：1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8共6个.故答案为：6.【点评】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力属

12、于创新题型列举时要有一定的规律，可以从一端开始，做到不重不漏.三、解答题(共6小题，满分80分)15.(12分)(2009?北京)已知函数f(x)=2sin(nx)cosx.(I)求f(x)的最小正周期；(n)求f(x)在区间-卫，匹上的最大值和最小值.62【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用.【专题】 三角函数的图像与性质.【分析】(1)先将函数f(x)化简为f(x)=sin2x,再由T=空可得答案.2(2)先由x的范围确定2x的范围，再根据三角函数的单调性可求出最值.【解答】 解：(I)Tf(x)=2sin( n-x)cosx=2sinxcosx=sin2x,函数f(x)的最小

13、正周期为兀(n)由.上的最大值为1,最小值为-二;22【点评】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、 的最值等基础知识，主要考查基本运算能力.16.(14分)(2009?北京)如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD丄底面ABCD，点E在棱PB上.(1)求证：平面AEC丄平面PDB;(2)当PD= _ AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角.【专题】计算题；证明题.【分析】(I)欲证平面AEC丄平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC丄平面PDB;(n

14、)设ACQBD=O，连接OE,根据线面所成角的定义可知/AEO为AE与平面PDB所的角，在RtAOE中求出此角即可.【解答】(I)证明：四边形ABCD是正方形，AC丄BD,/PD丄底面ABCD,PD丄AC, AC丄平面PDB,平面AEC丄平面PDB.(n)解：设AC ABD=O，连接OE,由(I)知AC丄平面PDB于O, /AEO为AE与平面PDB所的角，O,E分别为DB、PB的中点，OE/PD,|PD,又PD丄底面ABCD,f(x)在区间 w三角函数在闭区间上OE丄底面ABCD,OE _L AO, /AEO=45即AE与平面PDB所成的角的大小为45【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定

15、，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题.17.（13分）（2009?北京）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是二，遇到红灯时停留的时间都是2min.（1） 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（n）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间E的分布列及期望.【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式.【专题】计算题.【分析】（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据

16、公式得到结果.（2） 由题意知变量的可能取值，根据所给的条件可知本题符合独立重复试验，根据独立重 复试验公式得到变量的分布列，算出期望.【解答】 解：（I）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,事件A等于事件 这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”事件A的概率为P （A） = （1-4 X（1 g）乂2嶋（n）由题意可得E可能取的值为0,2,4,6,8（单位：min） 事件“=?k”等价于事件 该学生在路上遇到k次红灯”（k=0,1,2,3,4）,k4即E的分布列是E02468PH32IS_8丄818127|gT81【点评】考查运用概率知识解决实际问题

17、的能力， 相互独立事件是指， 两事件发生的概率互 不影响，而对立事件是指同一次试验中， 不会同时发生的事件， 遇到求用至少来表述的事件 的概率时，往往先求它的对立事件的概率.318.（14分）（2009?北京）设函数f（x）=x-3ax+b（a和）.RtAOE中，OEJPX牢AB上M，在RtAOE中,E的期望是:十：亠(I)若曲线y=f(x)在点(2,f(2)处与直线y=8相切，求a,b的值；(n)求函数f(x)的单调区间与极值点.【考点】禾U用导数求闭区间上函数的最值；导数的几何意义；禾U用导数研究函数的单调性.【分析】(1)已知函数的解析式f(x)=x3-3ax+b，把点(2,f(2)代入

18、，再根据f(x) 在点(2,f(2)处与直线y=8相切，求出a,b的值；(2)由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据极值点的值讨论函数的增减性 及其增减区间；【解答】解：(I)f(x)=3x2-3a,曲线y=f(x)在点(2,f(2)处与直线y=8相切，=0=0 ra=4(f (2) =88-6a+b=8b-24.(n) /f(x)=3(x2-a) (a旳), 当av0时， 值点.当a0时，由孑($)过二士肩,盂E ( - 8,-齐)时，f(x)0,函数f(x)单调递增, 当工E(- 価，需)时，f (x)v0,函数f(x)单调递减， 当x(石，+8)时，f (x)0，函数f(x)单

19、调递增， 此时尸-是f(x)的极大值点，【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、 分析和解决问题的能力.愛2219.(14分)(2009?北京)已知双曲线C:(I)求双曲线C的方程；(n)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点 上，求m的值.【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系.【专题】 计算题；压轴题.【分析】(I)由离心率和准线方程求的a和c,再根据b2=c2-a2求得b,进而可得双曲线的方程.(n)设A、B两点的坐标分别为(xi,yl), (x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0), 直线方程与双曲线方程联立根据韦达定理表示出xo和yo,把点M代入圆的

20、方程气的m. b2=c2-a2=2,f(x) 0，函数f(x)在(-g,+g)上单调递增，此时函数f(x)没有极的极小值点.解不等式等基础知识，考查综合(a0,b0)的离心率为.；，右准=1I.A ,B,且线段AB的中点在圆+y2=5【解答】解：(I)由题意，得，解得I., :,线方程为(H)设A、B两点的坐标分别为(xi,yi), (x2,y2),线段AB的中点为M(xo,yo),a -y+rrrO由，得x2-2mx-m2-2=0(判别式 0),=m,yo=xo+m=2m,2 2点M(xo,yo)在圆x +y =5上，29m +(2 m)=5, m= .【点评】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力20.(13分)(2009?北京)设数列an的通项公式为an=p n+q(n N*,P0).数列bn定义 如下：对于正整数m,bm是使得不等式an沏 成立的所有n中的最小值.(I)若p冷，q二