(完整版)三年级奥数等差数列求和习题及答案

1、计算(三)等差数列求和知识精讲一、定义：一个数列的前 n项的和为这个数列的和。二、表达方式：常用 Sn来表示。三：求和公式：和 (首项 末项)项数2, 8n (a1 an) n 2。对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路 1)1 2 3 L 98 99 10011 4100%4(2l499 4 234 484 L 4 454 451)101 50 5050共5H101(思路2)这道题目，还可以这样理解：和二1234L9899100+ 和 100999897L3212 倍和101101101101L101101101即，和 (100 1) 100 2 101 50 5050。四、中项定理

2、：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘 以项数。譬如： 4 8 12 L 32 36 (4 36) 9 2 20 9 1800, 题中的等差数列有 9项，中间一项即第5项的值是20,而和恰等于20 9； 65 63 61 L 5 3 1 (1 65) 33 2 33 33 1089, 题中的等差数列有 33项，中间一项即第17项的值是33,而和恰等于33 33。例题精讲：例1 :求和：(1) 1+2+3+4+5+6 =(2) 1+4+7+11+13=(3) 1+4+7+11 + 13+ 85=分析：弄清楚一

3、个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。例如(3)式项数=(85-1 ) + 3+1=29和=(1+85) X 29+ 2=1247答案：(1) 21(2) 36(3) 1247例2 ：求下列各等差数列的和。(1) 1+2+3+4+-+199(2) 2+4+6+- +78(3) 3+7+11+15+-+207分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。例如(1)式=(1+199) X 199+2=19900答案：(1) 19900(2) 1160(3) 5355例3： 一个等差数列2, 4, 6, 8, 10, 12,

4、14,这个数列的和是多少？分析：根据中项定理，这个数列一共有 7项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：8 7 56答案：56例4:求1+5+9+13+17+401该数列的和是多少。分析：这个数列的首项是1 ,末项是401,项数是(401-1 ) +4+1=101,所以根据求和公式, 可有：和=(1+401) X 101 + 2=20301答案：20301例5:有一串自然数2、5、8、11、，问这一串自然数中前61个数的和是多少？分析：即求首项是 2,公差是3,项数是61的等差数列的和，根据末项公式：末项 =2+ (61-1 ) X 3=182根据求和公式：和 =(2+182) X 61 + 2

5、=5612答案：56121个数；第二排3个数；第三排5个例6：把自然数依次排成“三角形阵"，如图。第一排 数；求：(1)第十二排第一个数是几？最后一个数是几？(2) 207排在第几排第几个数？(3)第13排各数的和是多少？分析：整体看就是自然数列，每排的个数的规律是1,3,5 , 7.即为奇数数列若排数为n(n>2de自然数)，则这排之前的数共有(n-1 ) (n-1)个。(1)第十二排共有23个数。前面共有(1+21) X 11 + 2=121个数，所以第十二排的第一个数为122,最后一个数为122+ (23-1 ) X 1=144(2)前十四排共有196个数，前十五排共有

6、225个数，所以207在第十五排，第T 五排的第一个数是 197,所以207是第(207-197=10)个数(3)前十二排共有144个数，所以第十三排的第一个数是145,而第十三排共有25 个数，所以最后一个数是145+ (25-1 ) X 1=169,所以和=(145+169) X 25+2=3925答案：(1) 122; 144(2)第十五排第10个数(3) 3925例7： 15个连续奇数的和是1995,其中最大的奇数是多少？分析：由中项定理，中间的数即第8个数为：1995 15 133,所以这个数列最大的奇数即第15个数是：133 2 (15 8) 147。答案：147。例8：把210拆

7、成7个自然数的和，使这 7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5,那么，第1个数与第6个数分别是多少？分析：由题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列，则中间一个数为210+7=30,所以, 这 7 个数分别是 15、20、25、30、35、40、45。即第1个数是15,第6个数是40。答案：第1个数：15;第6个数：40。例9：已知等差数列15, 19, 23,443求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是 多少？分析：公差=19-15=4项数=(443-15) + 4+1=108倒数第二项=443-4=439奇数项组成的数列为：15, 23,31439,公差为8,和为(15+439

8、) X 54-2=12258 偶数项组成的数列为：19, 27, 35443,公差为8,和为( 19+443) * 54 + 2=12474 差为 12474-12258=216答案：216例10：在1100这一百个自然数中，所有能被9整除的数的和是多少？分析：每9个连续数中必有一个数是9的倍数，在1100中，我们很容易知道能被 9整除的最小的数是9 9 1,最大的数是99 9 11,这些数构成公差为 9的等差数列，这个数列一 共有：11 1 1 11项，所以，所求数的和是：9 18 27 L 99 (9 99) 11 2 594.也可以从找规律角度分析.答案：594例11： 一串数按下面的规

9、律排列：1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6问：从左面第一个数起，前105个数的和是多少？分析：这些数字直接看没有什么规律，但是如果3个一组，会发现这样一个数列：6,9,12,15即求首项是6,公差是3,项数是105+3=35的和末项=6+3 X (35-1) =108和=(6+108 ) X 35+2=1995答案：1995例12:在下面12个方框中各填入一个数，使这12个数从左到右构成等差数列，其中10、16已经填好，这12个数的和为 。笙臣匿囹团回回店的臣回国分析：由题意知：这个数列是一个等差数列， 又由题目给出的两个数 10和16知：公差为2, 那么第一个方格填26,最后一个

10、方格是4,由等差数列求和公式知和为： (4 26) 12 2 180。答案：180。本讲小结：1.一个数列的前n项的和为这个数列的和，我们称为 。2. 求和公式：和(首项 末项)项数2 , Sn (a1 an) n 2。3. 对于任意一个奇数项的等差数列，各项和等于中间项乘以项数。练习：1.求和：(1) 1+3+5+7+9=(2) 1+2+3+4+ 21 =(3) 1+3+5+7+9+ 39=分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。答案：(1) 25(2) 231(3) 4002 .求下列各等差数列的和。(1) 1+2+3+-+100(2) 3+6

11、+9+- +39分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。答案：(1) 5050(2) 2733 . 一个等差数列4,8,12,16,20,24,28,32, 36这个数列的和是多少 ？分析：根据中项定理，这个数列一共有9项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：20X9=180答案：1804 .所有两位单数的和是多少？分析：即求首项是 11,末项是99的奇数数列的和为多少。和=(11+99) X 45+2=2475答案：24755 .数列1、5、9、13、,这串数列中，前91个数和是多少？分析：首项是1,公差是4,项数是91,根据重要公式，可得：末项=

12、1+ (91-1 ) X 4=361和=(1+361) X 91 + 2=16471答案：164716 .如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色。如果最底层有15个正方形，问：“金字塔”中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？ 一分析：由题意可知，从上到下每层的正方形个数组成等差数列，其中 a1 1, d 2, an 15,所以 n (15 1 2 1 8 ,所以，白色方格数是：123L8(18)8 2 36黑色方格数是：123L7(1 7)72 28。答案：287 . (2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011) 2008 分析：

13、根据中项定理知：2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2008 7,所以原式2008 7 2008 7。答案：7。8 .把248分成8个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？分析：公差为2的递增等差数列。平均数：248+8=31,第 4 个数：31-1=30;首项：30-6=24;末项：24+ (8-1 ) X 2=38。即：最大的数为38。答案：389 .求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。分析：解法1:可以看出，2, 4, 6,，2000是一个公差为2的等差数列，1, 3, 5,， 1999也是一个公差为2的等差数列，且项数均为100

14、0,所以：原式=(2+2000)X 1000+ 2- (1+1999) X 1000+2=1000 解法2:注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1,所以1000项就差了 1000个1,即原式=1000 X 1=1000 答案：100010 .在1100这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？分析：先计算1100的自然数和，再减去能被9整除的自然数和，就是所有不能被9整除的 自 然 数 和 了1 2 L 100 (1 100) 100 2 5050,9 18 27 L 99 (9 99) 11 2 594 ,所有不能被 9整除的自然数和： 5050 594 4456.如果直接计算不能被 9整除的自然数和，是很麻烦的，所以先计算所有 1100的自然数和，再排除掉能被9整除的自然数和，这样计算过程变得简便多了。答案：59411 .一个建筑工地旁，堆着一些钢管(如图)，聪明的小朋友，你能算