(整理)第三节全微分

1、精品文档第三节全微分要求：理解全微分的概念，会求函数的全微分，知道函数极限，函数的连续，偏导数存在与 可微分间关系。了解全微分存在的必要条件和充分条件。重点：会求函数的全微分。函数极限，函数的连续，偏导数存在与可微分间关系。难点：全微分有关理论的证明。作业：习题 83 ( P28) 12)4),3一.全微分的概念与计算回顾一元函数的增量、微分之间关系.设二元函数z = f (x, y).1 .偏增量与偏微分概念让一个变量固定，另一个变量有增量AxZ, AyZ,由一元函数微分学中增量与微分关系有AxZ = f (x +Ax, y) - f (x, y)q fx (x, y)Ax ,对 x 的偏微

2、分.yZ = f(x,y +Ay) f (x, y)之 fy(x, y)Ay ,对 y 的偏微分.2 .全增量与全微分概念全增量 z = f (x 二x, y 二y) - f (x, y).定义 如果函数z=f(x,y)在点(x, y)的全增量. ：z = f (x - x, y , ：、y) - f (x, y)可表不为Az = A&x + BAy +o( P),其中A,B是不依赖于 Ax, Ay而仅与x, y有关的量且P = J(Ax)2 + (4y)2 ,则称函数z=f(x, y)在点(x, y)处可微分，而AAx + BAy称为函数z=f(x,y)在点(x, y)处的全微 分，

3、记dz ,即dz = A 匚x B3 y问题提出：定义中的A与B应为多少？ 函数z = f (x, y)满足什么条件，才有 Az = AAx + BAy +o( P) ?3.函数可微的必要条件定理1(必要条件)如果函数z= f(x, y)在点(x, y)处可微分，则该函数在点 (x, y)处的偏导数£z,£z必 -y .:y定存在，且函数z = f (x, y)在点(x, y)的全微分为,：z ：zdz = Ax + Ay .次 y证明 因为函数z = f (x, y)在点(x, y)处可微，则有. -：z = A. x B, y o( P)成立.特别地当Ay = 0时，上

4、式也成立，此时 P 4 Ax |.所以xZ = f (x +Ax, y) - f (x, y) = AAx+o(| Ax|),:ZZ f(x=x, y) - f (x,y) =lim 二 lim - 二 A_：xx-0 " J0二x二 z从而土存在.：x同理£z = B ,所以-:y,：z：z 、，dz =Ax + Ay . fx ；:y注意：函数全微分与偏导数之间关系对于一元函数而言，可导必可微，反之可微必可导；但是对于二元函数来说，由定理1可知，可微必可导，可微必连续(因为 她0Az = 0),反之偏导数存在，函数不一定可微分.；-：0理由：在一元函数中，导数完全能刻画

5、出函数的变化率，但在二元函数中，偏导数名,乌仅仅是无穷多个方向中，在两个方向上来确定了函数的变化率，特殊情况不能代替:x 二 y一般情况.丁xy 2 x 2 ”I >, x + y 0 0例1.讨论函数f (x, y) = Wx2 + y2，在点(0,0)处偏导数与全微分问题.C2.2Q, x + y = 0解函数在点(0,0)处有偏导数fx(0,0)“O+W? -f(0，O)=网0=0,同理 fy(0,0)=0 即两偏导数存在；但是包-fx(0,0)Ax + fy(0,0)Ay 1=r 产 2 ,(x) (. y)如果考虑点P'(Ax,Ay)沿直线y =kx趋于(0,0)时，.

6、：x. ：y=lim 22妇0( &x) +(Ay)2(M22( ：x)(. ：x)22lim (x)(：y)就0P这表明，它不能随 Pt 0而趋于0,因此，当Pt 0时，Az- fx（0,0）Ax+ fy（0,0）Ay不是较P的高阶无穷小，因此函数在点（0,0）处全微分不存在，即在点（0,0）处是不可微的.可见函数偏导数存在，则不一定可微分，那么函数满足什么条件才可微分呢？4.函数可微的充分条件定理2（充分条件）如果函数z = f （x, y）的偏导数,在点（x, y）处连续，则：y ：:y函数z = f (x, y)在该点全微分存在.证明考察函数的全增量z 刃 f (x ：x,y：

7、y) - f (x, y ：y) f(x, y ：y) - f (x, y)一元函数中值定理= fx(x +H1Ax, y + Ay)Ax + fy(x, y +92Ay)Ay , ( 0 <H1,H2 ( 1)又由于导函数,且在点（x,y）处连续，所以有 .:y Fygm fx(x + 8i-x,y+Ay) = fx(x,y), /y-0蚂 fy(x + Ax,y +"y) = fy(x, y).?y0= 763）一举逖0,=（义,与）一"惬4 0 .又由极限的性质得fx(x + 01 Ax, y +,Ay) = fx(x, y) + 马,fy(x+“y+%N)=

8、fy(x, y) + j, %因此z = fx(x, y)Ax+ fy(x, y)Ay +鸟Ax + 7Ay ,而且；1 lx - 22y| 二| 5下+彩£怪| 81 |十|彩|以T 0 .从而函数说明z = f (x, y)在点(x, y)处全微分存在.精品文档.一 -.、一一一记记.、一(1)(2)习惯上将自变量增量 Axt dx , Aydy称自变量的微分，则:z:zdz = dx +dy .:以2y二元函数微分定义及定理对三元及三元以上的多元函数可完全类似的加以推广,如，对三元函数u = f (x, y, z),有全微分, Fu , Fu ,：:u”du二dx dy dz；

9、:xFy ；z(3)全微分的计算，只要按求偏导数的方法，求出,将其代入微分公式即二 x 二 y 二 z可.(4)二元函数与一元函数在连续，偏导数，全微分区别对于一元函数y = f (x),lim f (x)存在=f (x)在x0处连续u在x0处可导u 在x0处可微.XX0对于二元函数z = f (x, y),.，、一.不能 一，、-，、lim f (x, y) = A 存在 u f(x,y)在点(x°, y°)处连续*3fx(x° ,y°), fy (x° ,y°)Xrx3 y Jy0存在M0 f (x, y)在点(X0, yO)处可微分.例2.设函数z =exy,求dz |X=2 .y 1解 因为当=yexy, g=xexy,所以-X：:ydz |x0 = (yexy)xdx + (xexy)xdy =e2dx+2e2dy . y Jy 4yJX 7例3.设函数u = 一 e ,求全微分du . y后刀 .：u 1 Z ：UX z：UX z解 因为一=ez, = )ez, = ez,所以 :xyFyy；zydu =ez(1dx -x2-dy + dz) = 1ez(dx -