讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题学习教案

1、会计学1讨论函数讨论函数(hnsh)在一点在一点P沿某一方向的变沿某一方向的变化率问题化率问题第一页，共14页。.),()sin,cos(lim0tyxftytxflft 沿沿着着x轴轴负负向向、y轴轴负负向向的的方方向向导导数数是是 yxff ,.的的方方向向导导数数沿沿方方向向数数在在点点存存在在，则则称称这这极极限限为为函函若若lPtyxftytxft),()sin,cos(lim0 记为记为第1页/共14页第二页，共14页。证明证明(zhngmng)由于由于(yuy)函数可微，则增量可表示为函数可微，则增量可表示为)(),(),(),(),( oyyxfxyxfyxfyyxxfyx 现

2、取现取,sin,cos tytx 得到得到(d do)第2页/共14页第三页，共14页。)(sincoslim0ttoyfxft 方向方向(fngxing)导数导数tyxftytxft),()sin,cos(lim0 .sincos yfxf lf第3页/共14页第四页，共14页。,),()cos,cos,cos(lim0tzyxftztytxflft 推广可得三元推广可得三元(sn yun)函数的方向导数函数的方向导数 同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向沿任意方向 L的方向导数都存在，且有的方向导数都存在，且有.coscoscos zf

3、yfxflf 第4页/共14页第五页，共14页。?:最最快快沿沿哪哪一一方方向向增增加加的的速速度度函函数数在在点点问问题题P yfxf,第5页/共14页第六页，共14页。 sincosyfxflf eyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf lf 有有最最大大值值.由方向导数公式知由方向导数公式知.),(的的夹夹角角与与是是其其中中lyxgradf 第6页/共14页第七页，共14页。 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为而它的模为方向导数的最大值梯度的模为方向导数

4、的最大值梯度的模为 22| ),(| yfxfyxgradf.结论结论(jiln) 而函数在该点沿任一方向而函数在该点沿任一方向 l 的方向导数的方向导数(do sh)为梯为梯度在该方向上的投影度在该方向上的投影.第7页/共14页第八页，共14页。.),(kzfjyfixfzyxgradf 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向其方向(fngxing)与取得最大方向与取得最大方向(fngxing)导数的方向导数的方向(fngxing)一致，其模为方向一致，其模为方向(fngxing)导数的最大值导数的最大值.梯度的概念可以梯度的概念可以(ky)推广到三元

5、函推广到三元函数数第8页/共14页第九页，共14页。Sol.)2 , 1()2 ,(),()0 , 1()0, 1(22)0, 1( yyxeeyzxzgradz所求方向导数所求方向导数lz )21(2211 .22 Eg.1 求函数求函数yxez2 在点在点)0 , 1(P处沿从点处沿从点 )0 , 1(P到点到点)1, 2( Q的方向的方向导数的方向的方向导数. )21,21( lelegradz )0 , 1(第9页/共14页第十页，共14页。在点在点 P(1, 1, 1) 沿向量沿向量(xingling)zyxu2)3 , 1,2( l的方向的方向(fngxing)导导数数 .Plu

6、146 )314(141 Sol. )3 , 1,2(141 le)1 , 1 , 2(),2()1 , 1 , 1()1 , 1 , 1(22 yxzxxyzgradulegradu )1 , 1 , 1(第10页/共14页第十一页，共14页。1、方向、方向(fngxing)导数导数的概念的概念2、梯度、梯度(t d)的概的概念念3、方向、方向(fngxing)导数与梯度的导数与梯度的关系关系（注意方向导数与偏导数的（注意方向导数与偏导数的区别区别）（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）.),(最快的方向最快的方向在这点增长在这点增长梯度的方向就是函数梯度的方向就是函数yxf第11页/共14页第十二页，共14页。函数(hnsh)ln(222zyxu在点)2,2, 1 (M处的梯度(t d)Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令则xu21rx2注意 x , y , z 具有轮换对称性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92第12页/共14页第十三页，共14页。指向 B( 3, 2 , 2) 方向(fngxing)的方向(fngxing)导数是 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点Axd d)ln(22zyxu解解