高中数学：3.1《复数的概念》学案（新人教A版选修2-2）

1、复数的概念一、学法建议：  1、本节内容概念较多，在理解的基础上要牢记实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：     实数也是复数，要把打复数与虚数加以区别，对于纯虚数bi(b0，不要只记形式，要注     意b0，如0i=0是实数，而不是纯虚数，初学复数时最易在这里出错。  2、复数z=a+bi(a、是由它实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化     成实数问题的主要方法，要很好的掌握之，此外要明确由一个复数等式可得到两个实

2、数等式这一     性质，并在解题中会运用它。  3、对于复数z=a+bi(a、，即要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体；又要从实部、     虚部的角度分解成两部分去认识它；这在今后的解题中常会遇到，要逐步加以理解。  4、复数与点及向量均建立了一一对应关系，这两种对应关系是把复数给以几何解释的依据，学习时要     注意从不同角度认识并分析复数问题，以便寻找最佳的解题途径。  5、复数与点的一一对应，使复数问题与解析几何问题相互转化，

3、如果复数的实部与虚部是一对实变     量，那么对应的点在平面上就是动点，如果复数变量按某种条件变化，那么复平面上对应点就     构成具有某种特征的点集合或轨迹，这样就把数与形有机地结合起来了。  6、复数与向量的对应，使复数的运算与向量的运算得以统一，进而解决一些有关长度与夹角的问题，     后面的学习中会逐步加以认识。二、例题分析：          

4、0;                第一阶段例1    思路分析：  本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数，由于所给复数z己写成标准形式，即z=a+bi  (a、，所以只需按题目要求，对实部和虚部分别进行处理，就极易解决此题。  解答：  例2己知关于方程x的x2+(k+2i)x+2+ki=0有实根，求这个实根以及实数k的值。  思路分析：  方程的实根必然

5、适合方程，设x=x0为方程的实根，代入整理后得a+bi=0的形式(a、,由复数相等  的充要条件，可得关于x0与k的方程组，通过解方程组便可求得x0与k.    解答：    设x=x0是方程的实根，代入方程并整理得 (x20+kx0+2)+(2x0+k)i=0                      &#

6、160;  第二阶段例3己知关于t的一元二次方程t2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0,(x,yR)  （1）当方程有实根时，求点(x、y)的轨迹方程。  （2）求方程实根的取值范围。  思想分析：  （1）本题与例3相比，方程中有t、x、y三个未知数由复数相等的充要条件能得到两个等式，而结论是  要求动点(x,y)的轨迹方程，联想到解析几何知识，求(x,y)的轨迹方程就是求关于x、y的方程，于是  上面的两个等式正是轨迹方程的参数形式，消去参数t,问题得解。  （2）由上面解答过程中的知x-y+t=0可看作

7、一条直线，由知(x-1)2+(y+1)2=2是一个圆，因此求实  根t的范围可转化为直线与圆有公共点的问题。  解：  （1）设实根为t,则t2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0      即(t2+2t+2xy)+(t+x-y)i=0               由得t=y-x代入得（y-x)2+2(y-x)+2xy=0     

8、 即(x-1)2+(y+1)2=2      所求点的轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=2,轨迹是以(1,-1)为圆心，为半径的圆。  (2)由得圆心为(1,-1),半径r=，             即t+22，-4t0     故方程的实根的取值范围为-4,0例4己知x、yR若x2+2x+(2y+x)i和3x-(y+1)i是共轭复数；求复数z=x+yi和  

9、思路分析：若两上复数a+bi与c+di共轭，则a=c且b=-d由此可得到关于x、y的方程组。  解答：                                第三阶段例5己知aR,问复数z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所对应的点在第几象限？复数z对应点的轨迹是什么？&#

10、160; 思路分析：  根据复数与复平面上点的对应关系知，复数z对应的点在第几象限，与复数z的实部和虚部的符号有关，  所以本题的关键是判断(a2-2a+4)与-(a2-2a+2)的符号。  求复数z对应点的轨迹问题，首先把z表示成z=x+yi(x、yR)的形式，然后寻求x、y之间的关系，但要  注意参数限定的条件。  解：  由a2-2a+4=(a-1)2+33,-(a2-2a+2)=-(a-1)2-1-1  得z的实部为正数，z的虚部为负数，  复数z的对应点在第四象限。    &

11、#160; 消去a2-2a得y=-x+2(x3），复数z对应点的轨迹是一条射线，其方程为y=-x+2(x3）例6关于x的方程(4+3i)x2+mx+(4-3i)=0有实根，求m的最小值.  思路分析：  关于x的方程有实根，可把x看成实根代入方程，这里未指明m是实数,还是虚数，只能把m看做复数，  一种想法是设m=a+bi去处理，运算较繁，另一种想法是把m分离出来，再求其模的表达式。  解答：    显然方程的根x0把原方程化为:    三、练习题：1、“复数a+bi(a、bR)为纯虚数”是&q

12、uot;a=0"的(  )条件  A、充分但不必要  B、必要但不充分  C、充要  D、既不充分又不必要2、若（x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x的值是(   )  A、1  B、-1   C、±1   D、-1或-23、己知关于x的方程x2+(1+2i)x-(3m-1)i=0有实根，则纯虚数m的值是(  )  4、设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z=(cotB-tanA)

13、+i(tanB-cotA)对应的点位于复平面  的(   )  A、第一象限    B、第二象限    C、第三象限    D、第四象限5、若x-2+yi和3x-i互为共轭复数，则实数x、y的值是(   )  A、x=3,且y=3   B、x=5且y=1    C、x=-1且y=-1    D、x= -1且y=1  7、复数z=

14、1+cosa+isina的模为(     )  8、使不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10成立的实数m的取值集合是_9、复数z=x+3+i(y-2).(x、yR),且z=2，则点（x,y)的轨迹是_10、己知(1+i)m2+(7-5i)m+10-14i=0,则实数m=_11、己知M=1,2,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i,N=-1,3,MN=3,则实数a=_12、解答题：    14、关于x的方程a(1+i)x2+(1+a2i)x+a2+i=0(aR)有实根，求a的值及方程是实根四、参考答案：  15   A  A  B  B  D  67   C  B  8、3  9、以（-3，2）为圆心，2为半径的圆  10、-2&#