全国高中数学联赛广西赛区预赛试题及答案

1、2016年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题及答案一、填空题（本大题共10个小题，每小题8分，共80分）1.函数f x的定义域是lg x 2 31g X 2答案：10,100.解:2lg x 31g x 20,1 1gx 2,10 x 100.x2.设实数x,y满足yx6 2x,向量ar2x y, m ,br r1,1，若a/b，则实数m的最小值为.答案：2.1,1 ,所以rr解：因为a 2x y, m ,b2x y m-一，m y 2x. 11x y在条彳y 6 2x下，求得m y 2x的最小值为 2.x 1_. a2 b23.设a、b都为大于零的常数，0x 1,则一的最小值为x 1 x2答案

2、：a b .2 卜2解：设 f x ,x 0,1 ,则x 1 x1）当a b时,x a b2 d2x 1 xb2因为a,b都为正数，所以当x0,a时，f x 0 ；当 xa b二一,1时, a b0.故函数f x处取得最小值a b2)当a b时,22a ax - x 1 x因为a为正数，所以当x1 一 一，0,1 时，f x 0;当 x21 一，一 一 一一一，1时，f x 0 .故函21数f x在x 一处取得最小值22b2综上所述，当0 x 1时，a- - 的最小值为x 1 x4 .运行如图所示的程序框图，输出的结果S的值为答案：. -.* k N 处的切线与x轴的交点为235 .已知函数f

3、 x x对应的曲线在点 ak,f akak 1,0 ,若 a11,则10答案：3.6.已知点P在曲线yex上，点Q在曲线y lnx上,则PQ的最小值是答案：2.*7.设 m N , log 2 m的整数部分用F m表示，则F1 F 2 L F 1024 的值是.答案：8204.8.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两的端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有 种.答案：72.9.设函数f x的定义域为R,若存在常数x对一切实数x均成立,则称函数f x为“条件约束函数”.现给出下列函数： f x4x； fx2 2；f x1其中是-2; f x x2 2x 5f x

4、24 x1 x2 .“条件约束函数”的序号是是定义在实数集 R上的奇函数，且对一切（写出符合条件的全部序号）xi, x2均有答案：.10.已知线段AB是半径为2的球。的直径，C、D两点在球。的球面上，CD 2, AB CD , 45°AOC135°,则四面体ABCD的体积的取值范围4.33二、解答题（本大题共 3小题，共70分)11.（本小题满分20分）已知数列an中，a 1c2(1)设 bn1n 1anbn n的通项公式;（2）求证：对一切n2akk 1解：（i） Q a11.a,n 1 ann an2,3,4,L ,当n 2时,nanan 11 ann 11 ann 1

5、两边同时除以n ,得nan 1n 1 an（2）证明：当k 2时，ak23k 23k 4 3k 13 3k 4 3k 1n2akk 1n2akk 23n 4 3n 13n 1又当76,n2ak 112 .（本小题满分25分）如图，点H为 ABC的垂心，以AB为直径的。0行必 BCH的外接圆O O2相交于点D ,延长AD交CH于点P,求证：点P为CH的中点.证明：如图，延长AP 交。02于点 Q ,连接 AH ,BD,QB,QC,QH .Q AB为。O1的直径,ADB BDQ 90oBQ为。02的直径.CQ BC, BH HQ.Q 点 H 为 ABC 的垂心， AH BC, BH AC.AH /CQ,AC/HQ ,四边形 ACQH为平行四边形.点P为CH的中点.13 .（本小题满分25分）已知抛物线C:y2 4x,以M 1,2为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形 MAB .（1）求证：动直线 AB过定点;（2）过点M作AB的垂线交AB于点N ,求点N的轨迹方程.解：（1）设直线AB的方程为x myOy ,B X2, y2 .x my n, 2Q 2 得 y 4my y 4x,4n 0,yy24m, y y2Q AMBuur90o, MAuuir