中考数学一轮复习 第19课 尺规作图导学案-人教版初中九年级全册数学学案

1、第19课 尺规作图【考点梳理】：一、理解“尺规作图”的含义1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.二、熟练掌握尺规作图题的规范语言1.用直尺作图的几何语言：过点×、点×作直线××

2、;；或作直线××；或作射线××；连结两点××；或连结××；延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××××；或延长××交××于点×；2.用圆规作图的几何语言：在××上截取××××；以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；以点×为圆心，××的

3、长为半径作弧，交××于点×；分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、× .三、了解尺规作图题的一般步骤尺规作图题的步骤：1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.思考与收获在目前，我们只要能够写出已

4、知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.四、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。五、五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段；2、作一个角等于已知角；3、作已知线段的垂直平分线；4、作已知角的角平分线；5、过一点作已知直线的垂线；【思想方法】方程思想，分类讨论【考点一】：作图基本作图【例题赏析】（2015山东潍坊第9 题3分）如图，在abc中，ad平分bac，按如下步骤作图：第一步

5、，分别以点a、d为圆心，以大于ad的长为半径在ad两侧作弧，交于两点m、n；第二步，连接mn分别交ab、ac于点e、f；第三步，连接de、df若bd=6，af=4，cd=3，则be的长是（）a2 b4 c6 d8考点：平行线分线段成比例；菱形的判定与性质；作图基本作图.分析：根据已知得出mn是线段ad的垂直平分线，推出ae=de，af=df，求出deac，dfae，得出四边形aedf是菱形，根据菱形的性质得出ae=de=df=af，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出即可思考与收获解答：根据作法可知：mn是线段ad的垂直平分线，ae=de，af=df，ead=eda，ad平分bac，ba

6、d=cad，eda=cad，deac，同理dfae，四边形aedf是菱形，ae=de=df=af，af=4，ae=de=df=af=4，deac，=，bd=6，ae=4，cd=3，=，be=8，故选d点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形aedf是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例【考点二】：利用轴对称设计图案【例题赏析】（2014浙江金华，第19题，6分）在棋盘中建立如图的直角坐标系，三颗棋子a，o，b的位置如图，它们分别是（1，1），（0，0）和（1，0）（1）如图2，添加棋

7、子c，使a，o，b，c四颗棋子成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴；思考与收获（2）在其他格点位置添加一颗棋子p，使a，o，b，p四颗棋子成为一个轴对称图形，请直接写出棋子p的位置的坐标（写出2个即可）考点：利用轴对称设计图案；坐标与图形性质分析：（1）根据a，b，o，c的位置，结合轴对称图形的性质进而画出对称轴即可；（2）利用轴对称图形的性质得出p点位置解答：（1）如图2所示：直线l即为所求；（2）如图1所示：p（0，1），p（1，1）都符合题意点评：此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的性质是解题关键【考点三】：线段的基本概念【例题赏析】（2015北京市,第16题

8、，3分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线已知：线段ab思考与收获小芸的作法如下：如图，（1）分别以点a和点b为圆心，大于ab的长为半径作弧，两弧相交于c、d两点；（2）作直线cd 老师说：“小芸的作法正确”请回答：小芸的作图依据是_【考点】点、线【难度】容易【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两个点确定一条直线。【点评】本题考查线段的基本概念。【考点四】：尺规作图题 【例题赏析】（2015浙江杭州,第21题10分） “综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于

9、5的整数个单位长度（1）用记号(a，b，c)(abc)表示一个满足条件的三角形，如(2，3，3)表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形（2）用直尺和圆规作出三边满足a<b<c的三角形(用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹)【答案】解：（1）（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，3），（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）.思考与收获（2）由（1）可知，只有（2，3，4），即时满足a<b<c.如答图的即为满足条件的三角形.【考点】三角形三边关系；列举法的应用；尺规作图.【

10、分析】（1）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形.（2）首先判断满足条件的三角形只有一个：，再作图：作射线ab，且取ab=4；以点a为圆心，3为半径画弧；以点b为圆心，2为半径画弧，两弧交于点c；连接ac、bc.则即为满足条件的三角形.【考点五】：作图复杂作图【例题赏析】（2014六盘水，第21题8分）如图，在abc中，利用尺规作图，画出abc的外接圆或内切圆（任选一个不写作法，必须保留作图痕迹）考点：作图复杂作图；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心思考与收获分析：分别利用三角形外心的确定方法以及内心的确定方法得出圆心位置，进而得出即可解答：如图所示：点评：此题主要

11、考查了复杂作图，正确把握三角形内心和外心位置确定方法是解题关键【考点六】：作图复杂作图【例题赏析】（2015广东梅州,第21题9分）如图，已知abc，按如下步骤作图：以a为圆心，ab长为半径画弧；以c为圆心，cb长为半径画弧，两弧相交于点d；连接bd，与ac交于点e，连接ad，cd（1）求证：abcadc；（2）若bac=30°，bca=45°，ac=4，求be的长考点：全等三角形的判定与性质；作图复杂作图分析：（1）利用sss定理证得结论；（2）设be=x，利用特殊角的三角函数易得ae的长，由bca=45°易得ce=be=x，解得x，得ce的长解答：（1）证明：

12、在abc与adc中，思考与收获abcadc（sss）；（2）解：设be=x，bac=30°，abe=60°，ae=tan60°x=x，abcadc，cb=cd，bca=dca，bca=45°，bca=dca=90°，cbd=cdb=45°，ce=be=x，x+x=4，x=22，be=22点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质，特殊角的三角函数，利用方程思想，综合运用全等三角形的性质和判定定理是解答此题的关键【考点七】：作图应用与设计作图； 【例题赏析】（2015广东佛山,第18题6分）如图，abc是等腰三角形，ab=ac，请你用尺

13、规作图将abc分成两个全等的三角形，并说明这两个三角形全等的理由（保留作图痕迹，不写作法）考点：作图应用与设计作图；全等三角形的判定；等腰三角形的性质菁优网专题：作图题分析：作出底边bc的垂直平分线，交bc于点d，利用三线合一得到d为bc的中点，可得出三角形adb与三角形adc全等解答：作出bc的垂直平分线，交bc于点d，ab=ac，ad平分bac，即bad=cad，在abd和acd中，abdacd（sas）点评：此题考查了作图应用于设计作图，全等三角形的判定，以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键【真题专练】1. （2015甘肃武威,第21题6分）如图，已知在abc

14、中，a=90°（1）请用圆规和直尺作出p，使圆心p在ac边上，且与ab，bc两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）若b=60°，ab=3，求p的面积2. （2015·湖北省孝感市，第20题8分）思考与收获 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（）（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心；（要求保留作图痕迹，不写作法）（4分）（2）若的中点到弦的距离为m，m，求所在圆的半径（4分）3. （2015淄博第19题,7分）如图，在abc中，ab=4cm，ac=6cm（1）作图：作bc边的垂直平分线分别交与ac，bc于点d，e（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（

15、2）在（1）的条件下，连结bd，求abd的周长4（2014广东广州，第23题12分）如图，abc中，ab=ac=4，cosc=（1）动手操作：利用尺规作以ac为直径的o，并标出o与ab的交点d，与bc的交点e（保留作图痕迹，不写作法）；（2）综合应用：在你所作的图中，思考与收获求证：=；求点d到bc的距离5. （2014内蒙古赤峰，第19题10，分）如图，已知abc中ab=ac（1）作图：在ac上有一点d，延长bd，并在bd的延长线上取点e，使ae=ab，连ae，作eac的平分线af，af交de于点f（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，连接cf，求证：e=acf【真

16、题演练参考答案】1. （2015甘肃武威,第21题6分）如图，已知在abc中，a=90°（1）请用圆规和直尺作出p，使圆心p在ac边上，且与ab，bc两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）若b=60°，ab=3，求p的面积考点：作图复杂作图；切线的性质分析：（1）作abc的平分线交ac于p，再以p为圆心pa为半径即可作出p；（2）根据角平分线的性质得到abp=30°，根据三角函数可得ap=，再根据圆的面积公式即可求解解答：解：（1）如图所示，则p为所求作的圆（2）b=60°，bp平分abc，abp=30°，tanabp=，ap=，sp

17、=3点评：本题主要考查了作图复杂作图，角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等同时考查了圆的面积2. （2015·湖北省孝感市，第20题8分） 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（）（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心；（要求保留作图痕迹，不写作法）（4分）（2）若的中点到弦的距离为m，m，求所在圆的半径（4分）考点：作图复杂作图；勾股定理；垂径定理的应用.专题：作图题分析：（1）连结ac、bc，分别作ac和bc的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点o，如图1；（2）连接oa，oc，oc交ab于d，如图2，根据垂径定理的推论，由c为的中点得到ocab，ad=bd=ab=40，则c

18、d=20，设o的半径为r，在rtoad中利用勾股定理得到r2=（r20）2+402，然后解方程即可解答：解：（1）如图1，点o为所求；（2）连接oa，oc，oc交ab于d，如图2，c为的中点，ocab，ad=bd=ab=40，设o的半径为r，则oa=r，od=odcd=r20，在rtoad中，oa2=od2+bd2，r2=（r20）2+402，解得r=50，即所在圆的半径是50m点评：本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考

19、查了勾股定理和垂径定理3. （2015淄博第19题,7分）如图，在abc中，ab=4cm，ac=6cm（1）作图：作bc边的垂直平分线分别交与ac，bc于点d，e（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连结bd，求abd的周长考点：作图复杂作图分析：（1）运用作垂直平分线的方法作图，（2）运用垂直平分线的性质得出bd=dc，利用abd的周长=ab+bd+ad=ab+ac即可求解解答：（1）如图1，（2）如图2， de是bc边的垂直平分线，bd=dc，ab=4cm，ac=6cmabd的周长=ab+bd+ad=ab+ac=4+6=10cm点评：本题主要考查了作图复杂作

20、图及垂直平分线的性质，解题的关键是熟记作垂直平分线的方法4（2014广东广州，第23题12分）如图，abc中，ab=ac=4，cosc=（1）动手操作：利用尺规作以ac为直径的o，并标出o与ab的交点d，与bc的交点e（保留作图痕迹，不写作法）；（2）综合应用：在你所作的图中，求证：=；求点d到bc的距离考点：作图复杂作图分析：（1）先作出ac的中垂线，再画圆（2）边接ae，ae是bc的中垂线，dae=cae，得出=；（3）利用割线定理求出bd，再利用余弦求出bm，用勾股定理求出dm解答：（1）如图（2）如图，连接ae，ac为直径，aec=90°，ab=ac，dae=cae，=；（3）如图，连接ae，作dm