喀兴林高等量子力学习题EX矢量空间

1、喀兴林高等量子力学习题EX1.矢量空间EX1.矢量空间和(1)练习1.1试只用条件(1)(8)证实(完成人：梁立欢审核人：高思泽) 证实：由条件(5)、(7)得11(11) 2只需证实0 和(1) 这两式互相等价根据条件(7)0(0 0)00现在等式两边加上(0),得0(0) ( 00) (0)根据条件(4),上式左0 (0)根据条件(4)、(2)上式右0 ( 00)000由0,根据条件(4)、得0(1 1)( 1)(1)#练习1.2证实在内积空间中假设 1,2,对任意 成立,那么必有12(完成人：谷巍 审核人：肖桂斐)证实 由题意可知,在内积空间中假设 1,2,对任意 成立,那么有=0于是有

2、(3)由于在内积空间中1,2,对任意成立,那么可取 12,那么有2 =0 成立根据数乘的条件(12)可知,那么必有120(4)即12故命题成立,即必有 12.#练习1.3矢量空间运算的12个条件是不是独立的有没有一条或两条是其余 各条的逻辑推论如有,试证实之.(完成人：赵中亮审核人：张伟)解：矢量空间运算的12个条件是独立的.#练习1.4 (1)在第二个例子中假设将加法的规定改为：和矢量的长度为二矢量长度之和,方向为二矢量所夹角 180的分角线方向,空间是否仍为内积空间(2)在第二个例子中假设将二矢量由口 B内积的定义改为|a| |B|sin或1 -1P -、一 一 _.一 一,一一、一1A

3、Bsin ,空间是否仍为内积空间2(3)在第三个例子的空间中,假设将内积的定义改为*- *l ,m I1 m1 2I2 m2 3I3 n 4I4 m4空间是否仍为内积空间(4)在第四个例子的函数空间中,假设将内积的定义改为 b *f (x), g(x) f (x)g(x)xd炖 -a ,一,b *2f (x), g(x) f (x)g(x)x dxa空间是否仍为内积空间(完成人：张伟审核人：赵中亮)解：(1)在第二个例子中假设将加法的规定改变之后,空间不是内积空间.由于将规定改之后对于任意的矢量不一定存在逆元,如一个不为零的矢量设为A,那么任意矢量和它相加后,得到的矢量的长度不为零,所以一定不

4、能得到零矢量,即找不到逆元.所以空间不是内积空间.(2)在第二个例子中假设将内积的定义改之后,空间不是一个内积空间.证实如下:C,即有A,B C |AB C sinB sinA C sin = A, B A,C般情况下,所以内积的定义改变之后不是内积空间.(3)在第三个例子中假设将内积的定义改之后,空间仍然是个内积空间.证实如下:m,l. *.*.g 11 2m2 12 3m3 13 4m4 14) 11*m1 212 m2313 m3 414 m41 ,ml, m*11 (m1*(11 m11, mni) 2I2 (m2 5) 313 (m3 %)*414 (mu 山)*212 m21,n*

5、31 3 m3414 m?)(11 r 212 n2313 %4)山)1, ma.*11 ma-*a(11 m1a 1 ,m*212 m2a一 *212 m2*313 m3a一一 *313 m3.*414 m4a一*.414 m4)iv. 1,1|11 |2 2|"2 3|13|2 4|14 |2 0 ,对任意1成立假设1,10,那么必有 111213140,即 10综上所述,新定义的内积规那么符合条件(9)一条件(12),所以仍为内积空(4)在第四个例子的函数空间中,假设将内积的定义改为*. 一、.X.» J tT t»、 X.»f (x), g(x)

6、f (x)g(x)xdx后,仝问不是内积仝问.b *b2由于f(x), f(x) f (x) f (x)xdx f (x) xdx ,积分号内的函数是一个 aa奇函数,它不能保证对于任意的f X积分出来后都大于零,即不符合条件12,所以不是内积空间.在第四个例子的函数空间中,假设将内积的定义改为f(x), g(x)xgxx2dx后,空间是内积空间.证实如下:f(x), g(x)2 .(x)g(x)x dx*-2-g (x)f (x)x dx g(x), f (x)iif (x), g(x)2 .(x)g(x)x dx,、,、2,一、 ,、一、,(x)h(x)x dxf (x), g (x)f

7、(x), h xiiif (x), g(x)a2 , f (x)g(x)ax dx a*2 ,f (x)g(x)x dx a f (x), g(x)ivf(x), f(x)2 o 八、f (x) x dx 0,对任息成立f (x), f (x)一 一2f (x) x dx 0 ,那么必有 f x 0综上所述,新定义的内积规那么符合条件9一条件12,所以仍为内积空问.练习1.5假设a为复数,证实假设a时,Schwartz不等式中的等号成立.完成人：肖桂斐审核人：谷巍证实：当假设a时,分别带入Schwartz不等式的左边和右边.左边二右边二左边二右边,说明当a时,Schwartz不等式中的等号成立

8、.#练习1.6证实当且仅当| a| | a|对一切数a成立时,与 正交.并 在三维位形空间讨论这一命题的几何意义.完成人：赵中亮 审核人：张伟证实：解：当| a| |a|对一切数a成立时,有22I a| I a|即( a, a) ( a, a)得(,)(,a) ( a, ) ( a, a) ( , ) ( , a) ( a, ) ( a, a) 即(,a)( a,)(,)aa (,)由于a可以取一切数,所以当a取纯虚数时,即a a得(,)(,)由此得(,)只能是实数当a取非零实数时,即a a(,)(,)只有(,)0时,即与正交时才成立所以 当| a | | a |对一切数a成立时,与 正交.当

9、与正交时,(,)0那么(,)(,)0取a为任意数那么(,)a a ( , )0(,a) ( a,)2( , a) 2( a,)(,)2( , a) ( a,a) ( , ) 2( a, ) ( a, a)(,)(,a) (a,) ( a, a) ( , ) ( , a) (a, ) ( a, a)( a, a) ( a, a)|a|2 |a|2得 |a| |a|即|a| |a |对一切数a成立综上,当且仅当| a| | a |对一切数a成立时, 与 正交.在三维位形空间中,这一命题的几何意义是：对角线相等的平行四边形是 矩形.#练习1.7证实：当且仅当| | |对一切数 成立时,与 正交.(完

10、成人：班卫华审核人：何贤文)证实：由于|III,两边平方得22那么构成以为变量的二次函数,要使对一切成立,判别式包小于等于零,()20只需即(,)(,)0得(,)0所以当对一切数成立时,与正交练习1.8在四维列矩阵空间中,给定四个/、止父也不全的矢量:111101111,2,0031 ,410001匕们构成一个元全集,试用 Schmidt方法求出一组基矢.(完成人：肖桂斐审核人：谷巍)解：由Schmidt方法,所求基矢：1000010001001,2,11101000010000100010111110000100001000010001练习1.9在上题中,11110111,2, ,3- ,4

11、,01010100改变四个的次序,取1重新用Schmidt方法求出一组基矢.(完成人：何贤文审核人：班卫华)解：由空间中不满足正交归一条件的完全集4),求这个空间的一组基矢(1)首先取1为归一化的10000( 1 , 2 )( 1 , 2)a12覆行01a121 ,2111取2为归一化的2 :0_2_112 | 2.31(3)取 3131a132a23,选择为数a13和a23使3与1 1 2正父,即0233 31(1,3)2(2,3)1313归一化的3为0312611(4)取 441a142 a243a34 ,选择常数 a14,a24,a34使 4与已选定的1,0 121441 ( 1, 4

12、)2 ( 2 , 4)3( 3 , 4 )归一化的4为0011那么找到一组基矢为练习1.10在三维位形空间中,i , j , k是在互相垂直的x, y, z三个轴上的单位矢量.取三个归一化的矢量：高思泽11,2" j)1 (j k)2在内积就是点乘积的定义下它们并不正交.现在改变正交的定义：定义这三个矢量1 ,2,3互相正交.1 .证实：定义一个归一化的完全集里面的矢量彼此互相正交,等于定有一 种内积规那么.2 .求出这个新的内积规那么,即将任意两个矢量 r ix1 jy kz1,2 ix2 jy2 kz2 的内积表为 X1,y1,Z1 和 X2,y2,Z2的函数.3 .验证所求的内

13、积规那么符合条件912.4 .用j, j= 0验证所求出的内积规那么.1证实：在一个归一化的完全集里面的矢量集合里,任意的两个矢量正交,根据矢量的正交 性定义,两个矢量 少和小的内积为零,即,0.2解:由i , j , k与1,2,3的关系,可得到如下变换:i ij.2k 2由上面的关系得:riiXir21X2(.2(.2由此,1,2i(Xiyii)yii) y2Zi)2(、.2yi, 2zi)i)Zii)Z21 (Xiyii ( X2y2Zi)2( . 2yi . 2ZiZ2)2(V2 y2 2 2Z2)3、2Zi3 . 2 Z2(Xi yi . 2(Xi 2Z2(yiZi)yiZi)定义i

14、,(X2.*y2Zi) (y22Zi(y2Z2)( 1,1)z2). 2(x2*_Z2) ( 2,2(yiV23)3 2z1 , i (X2 .* .Zi) (y2 Z2)(*Z2) (yi Zi)(V23互相正交,有矢量的正交性,得i, ii, 2i,由此可得(1/2) (Xi yi*Zi)(X2 y2Z2) 2(yi Zi) (y2 Z2) 4ZiZ2Z2 )2 ( 2y2一*. .4zi Z2 ( 3, 3)'2z2(XiyiV2Z2)3&Z2)、*乙.2乙仪2 y3证实：,、*,(七4)(X2 y2,、*,(Xi yi Zi) (X2(r/)、*,Z2) (Xiy2Z2

15、)yiZi) 2(y2*,2( yi Zi) (y2Z2) (yi Zi) 4Z2Zi) *Z2) 4Zi Z2(ri,r2a) (Xiyi*Zi)(X2 y2 Z2)a 2( yiZi) (y2 Z2)a 4ZiZ2a (r1,r2)a(r ,r ) |(x y z) |2 2|(y z) |2 4| z|2 0 当(r,r) 0 时,只有 x,y,z 都同时等于0才能满足,即r 0综上所述,所求的内积规那么符合条件912.4,见(2)#练习1.11在n维空间中, J,i=1,2,3.,n是一组完全集不一定正交,现在有n个矢量也不一定正交D=1)2n)证实 i线性相关的必要和充分条件维D=0

16、.完成人：何贤文审核人：班卫华解:对于矢量空间的n个矢量的集合iDi 0,此式是关于n个矢量的集合i的齐次方程组(n,1)1(n,2)2(n,假设 i线性相关,那么满足iDi1,2,2假设 D=0,D=0那么方程故 i线性相关.n)n)n)(1)0至少有一组非零解,那么要求:n)必有非零解,即满足有一组不为零的复数使得n iDi 0练习1.12 一个矢量空间有两个不同的子空间 Si和S2,证实除去以下两种情况外,包括Si的全部元和S2的全部元的那个集合并不是子空间：1 Si是S2的子空间或S2是Si的子空间；2 Si和S2其中之一只含有零矢量一个元.完成人：张伟审核人：赵中亮证实：i设子空间S

17、i和S2的维数分别为 m, n,它们共同的基矢的个数为l l m,l n个,当Si不是S2的子空间且S2不是Si的子空间时,它们之间含有不同的基矢.那么当Si空间的一个矢量和 0空间的一个矢量做加法的时, 它们得到的矢量并不 能一定在包括Si的全部元和S2的全部元的那个集合中找到,由于加法后得到的 矢量的维数可以大到 m n l维,而m n l m,且m n l n所以包括Si的全部元和S2的全部元的那个集合并不是矢量空间, 从而不是子空问.2当Si和S2其中之一只含有零矢量一个元时,它必然是另一个子空间的子空间,由此可见2只不过是i的特例,显然得证.#练习i.i3 阅读狄拉克的?量子力学原理

18、?§6,分析他建立左矢空间的方法与我们的方法有什么共同点和不同点.完成人：梁立欢 审核人：高思泽分析：本书从空间的方向入手建立左矢量.我们对现有的一个矢量空间定义了其 中矢量的加法、数乘和标量积运算,称此空间为单一空间.现在对照这个空间 再建以下两个空间.一个叫右矢空间,它的构造同单一空间完会一样,每一个 矢量即右矢都与单一空间里的矢量相对应,这些右矢有加法和数乘的运算, 其定义和规那么与单一空间相同.第二空间比照右欠空间来建立,称为左矢空间, 其实右矢空间的每一个矢量在左矢空间都有一个左矢与其相对应.,左矢空间中的事情不能随意去规定,需要同右矢空间的事情相互协调,它们通过标量积 联系起来.这样建立的左矢空间是一个完全确定的即有明确加法和数乘运算 规那么的欠量空间.狄拉克是从对偶矢量的方向入手建立左矢量.假定有一个数C.它是右矢量?的函数,就是说,对每一个右矢量| 有一个函数C与之相应,并且进一步 假定此函数是线性函数, 其意义是,相应于I I 的