分式和分式方程题型分类讲义

1、分式方程及其应用一、基本概念1 .分式方程：分母中含有 的方程叫分式方程.2 .解分式方程的一般步骤：(1)去分母，在方程的两边都乘以 ,约去分母，化成整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根，把整式方程的根代入 ,看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根， 必须舍去.3 .用换元法解分式方程的一般步骤： 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；检验彳答.4 .分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：(1)检验所求的解是

2、否是所列 ； (2)检验所求的解是否 .二、题型分类考点一：分式方程题型(一)分式方程去分母1、解分式方程 一2+ x、=3时，去分母后变形为()。X- 1 1- xA. 2+(x+2 )=3(x1 ) B . 2x+2=3(x1) C . 2 (x + 2 )=3(1 x ) D . 2 (x+ 2 )= 3x 1)2、下列方程是分式方程的是()2A. x - 2x - 3 = 01x - 2C. 一 = xD. = 1x二21 / 17题型（二）解分式方程用常规方法解下列分式方程XX 5 d=1; （2）+=1;X32X-5 5 -2X题型（三）分式方程的解1.已知方程-a之 a 1=1的

3、解与方程X -16 一 . 一一 =3的解相同, x则a等于（、3 6x 22.方程 2x 3x 2A.无解B. 0,3C. -3D. 0,C. 2A. 32x2 6x 4-5=0的解是（）3x 1 A B3.如果+x -1 x 22X 3一一二一那么A-B的值是（）（x-1）（x 2）4A.一35 B.31C.一4D. 24 （C）关于X的方程2+ 一的两个解是cXi2= c,X2 c，、一2x的万程x +X - 1a工a -1的两个解是（2A. a, aB.a -1,二a -12C. a,a -1a 1D. a,a -1X2 -5 一 一.=y,那么原方程可化为（）X 7题型（四）用换元法

4、解分式方程»、x2 -5 10x -101 .用换元法解分式方程 + =7时，如果设x-1x -5A. y+”y1B. y+- =7y1C. 10y+ =7yD. y+10y2=7(2)“r25解万程2x2 3x 4 =与2x2 3xx q x2 .解方程 (1)()25()+6 = 0; x-2 x-2题型（五）解分式方程组111=一匕、 , x y 3i.解方程组：y1 1 2x y 9题型（六）增根2xm-1 x " 1 一.，一1 .若解分式方程= 广生增根，则m的值是（）x 1 x x xA. T或一2B. T或2C. 1或2D. 1 或2xk .2 .若方程 -

5、2 =会广生增根，试求 k的值x - 3 x - 3题型（七）求待定常数的值或取值范围1.关于x的分式方程3=1的解为正数，求 m的取值范围;x -1 1 -x- a ）2.若关于x的分式方程K-2 2的解为非负数，则 a的取值范围是（）B. a>1C. a/ JeL a 43.若分式方程 工一无解，求m的值。x-22-x a-c c b4.设a、b、c是二个互不相同的正数，如果 =一,那么().b a b aA. 3b =2cB. 3a =2bC. 2b =cD. 2a = b 143 一 23, 变式 1 ： 已知=,贝U (y -x)的值是x 2 y y-x2x 13变式2：已知a

6、、b、c、d为正整数,且 - a4d -7 b 17(d -1)皿 c“古曰,=,则一的值是c a c a；-的值是b对应练习：一、选择题,2x . a 口1、关于x的方程 =1的解是正数，则 a的取值范围是（）x - 1A.a> 1B.a> 1 且 aw0 C. av 1D. av 1 且 a卞-22x m 1 x 1 2,若解分式方程-2=产生增根，则 m的值是（）x 1 x x xA. -1 或 -2 B. -1 或 2C. 1或 2D. 1或 -2115 ib a -3、已知一十一=，则一十一的值是（）a b a b a b1A、5B、7C、3D、一36x 3 ,4、若x取

7、整数，则使分式 的值为整数的x值有（）2x-1A 3个B 4个C 6个D 8个2x _3 A B . 5、已知_=十一，其中A、B为常数，那么 A+B的值为（）x -x x-1 xA、一2、填空题B、2C、一 4D、44xm1、若分式方程 -5 =无解，那么m的值应为x-22-xB为常数），则 A=, B=;A B 2x 3 fl，右已知+=(其中A、x 1 x -1 x - 1112x 3xy-2y2、已知丁一 = 3，则分式 二27； 的值等于x yx - x xy - y，若kb - 2cac - 2aba+b+cwQ贝U k的值为3、方程一Lr二:一工的解是已知关于x的方程-总会谷tk

8、只有整数解,k _ xx _ 1 x+Z I x _ 1 ? I k+2 ）则整数a的值为4、已知a、b、c、d为正整数，且b 4d -7 b 1 _ 7(d -1)一 , 一 a c a c则-的值是a；g的值是b225、设 m>n>0,m2+ n2= 4mn,则-的值为mn41, 1 ,、，一，,，若与仅十4）互为倒数，则*=2x -13三、解答题1、解下列分式方程1(1)x -13； x(2)21-1 =0 ;x -3 x(3)x -145 xx 5F- =1 ； (4)=x2 -1x 3 4 - x2、解下列方程(1)4x 4x 7 x 9 x 10 x 6x 6 x 8

9、x 9 x 53、若关于x的分式方程 _2_=1_m_有增根，求m的值.x 3x -34、若分式方程 竺坦=_1的解是正数，求a的取值范围 x -22) c+d00.5、解关于x的方程 i=c（c+d=0）提示：（1） a,b,c,d是已知数；（ b -x d6、若分式方程=；=2mx无解，求m的值。k k2k的值。7、若关于x的方程x + k = x不会广生增根，求 x -1 x -1 x F1 k 38、若关于x分式方程 +=有增根，求k的值。 x -2 x 2 x2 -49、若关于x的方程一、+与色=与匕有增根x =1 ,求k的值。 122x x x x x -110、m为何值时，关于x

10、的方程mxx 2 x - - 4会产生增根？a为何值时，x -1x -2x -2x 12x a(x-2)(x 1)的解是负数考点二：分式方程的实际应用题型(一)行程问题(1) 一般行程问题1.某次列车平均提速20km/h ,用相同的时间， 行驶100km ,设提速前列车的平均速度为列车提速前行驶400km ,提速后比提速前多A.400如。+1Q0k+20C.400如 0+100x - 20B.D.确的是(2.从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公

11、路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。(2)水流问题1、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行 60千米所用的时间相同。已知水流的速度是 3千米/时, 求轮船在静水中的速度。2、一船自甲地顺流航行至乙地，用 2.5小时，再由乙地返航至距甲地尚差2千米处，已用了 3小时，若水流速度每小时2千米，求船在静水中的速度.题型（二）工程问题1.施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原 计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米.设原计划每天施工x米，则 根据题意所列方程正确的是（）B.D.2000=22、某 市为

12、治理污水，需要铺设一段全长 3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响,实际施工时每天的工效比原计划增加25%结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道？3、某车间加工1200个零件，采用新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前后每时分别加工多少个零件？题型（三）利润（成本、产量、价格、合格）问题例1、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括 300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括 300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用 120

13、元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，（1） 这个八年级的学生总数在什么范围内？（2） 若按批发价购买6枝与按零售价购买 5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人3） 这个八年级的学生总数在什么范围内？若按批发价购买6 枝与按零售价购买5 枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？1 . 某校为了进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵 20 元，购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2000 元要多，多出的部分能购买25 副乒乓球拍（ 1 ） 若每副乒乓球拍的价格为x 元， 请你用含x 的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和

14、羽毛球拍的总费用；（ 2）若购买的两种球拍数一样，求x2 . 某煤矿现在平均每天比原计划多采330 吨，已知现在采煤33000 吨煤所需的时间和原计划采23100 吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。3 .某商品的标价比成本高 p%当该商品降价出售，为了不亏本，降价幅度不得超过d%请用p表示do4 .一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300 枝以上，（不包括300 枝），可以按批发价付款，购买 300 枝以下，（包括300 枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120 元，如果购买60 枝，那么可以按批发价付款，同样需要

15、120 元，（ 1 ）这个八年级的学生总数在什么范围内？（ 2） 若按批发价购买6 枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？题型四：其他类型1、 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800 元，第二次捐款为5000 元，第二次捐款人数比第一次多20 人，而且两次人均捐款额相等，如果设第一次捐款人数 X 人，那么X 应满足怎样的方程？48 件合格产品，乙厂有45 件合格2、 某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检查，结果甲厂有产品，甲厂的合格率乙厂高5%，求甲厂的合格率？3、 对甲乙两班学生进行体育达标检查，结果甲班

16、有48 人合格， 乙班有 45 人合格， 甲班的合格率比乙班高5%，求甲班的合格率？4、 重量相同的两种商品，分别价值900 元和 1500 元 ,已知第一种商品每千克的价值比第二种少300 元 ,分别求这两种商品每千克的价值。5、 某甲有 25 元，这些钱是甲、乙两人总数的20%。乙有多少钱？对应练习：1、走完全长3000 米的道路，如果速度增加25%，可提前30 分到达，那么速度应达到多少？2、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km 的普通公路，另一条是全长480Km 的告诉公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km,由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从

17、甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。3、从甲地到乙地的路程是15 千米， A 骑自行车从甲地到乙地先走，40 分钟后，B 骑自行车从甲地出发，结果同时到达。已知B 的速度是A 的速度的3 倍，求两车的速度。4、假日工人到离厂25 千米的浏览区去旅游；一部分人骑自行车，出发1 小时 20 分钟后，其余的人乘汽车出发，结果两部分人同时到达，已知汽车速度是自行车的3 倍，求汽车和自行车速度5、我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌人离桥头24 千米，我部队离桥头30 千米，我部队急行军速度是敌人的 1.5 倍，结果比敌人提前48 分钟到达，求我部队的速度。6、甲乙两地相距

18、360 千米，新修的高叔公路开通后，在甲乙两地间行驶的长途客运车平均车速提高了50%，而从甲到乙的时间缩短了 2 小时，求原来的平均速度7、一船自甲地顺流航行至乙地，用 2.5小时，再由乙地返航至距甲地尚差2千米处，已用了 3小时，若水流速度每小时2千米，求船在静水中的速度.8、一个两位数，个位上的数比十位上的数大4,用个位上的数去除这个两位数商是3,求这个两位数.9、大小两部抽水机给一块地浇水，两部合浇块地所需时间等于大抽水机独浇这块地所需时间的2小时后，由小抽水机继续工作 1小时完成.已知小抽水机独浇这,1一.一1一倍，求单独浇这块地各需多少时间？ 210、某水泵厂在一定天数内生产4000

19、台水泵，工人为支援建设，每天比原计划增产 25%,可提前10天完成任务，问原计划日产多少台？11、现要装配30台机器，在装配好 6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。求原来每天装配的机器数.12、某车间需加工1500个螺丝，改进操作方法后工作效率是原计划的2倍，所以加工完比原计划少用9小2时，求原计划和改进操作方法后每小时各加工多少个螺丝？13、打字员甲的工作效率比乙高25% ,甲打2000字所用时间比乙打 1800字的时间少5分钟，求甲乙二人每分钟各打多少字？14、块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000Kg和15000Kg，已知第一块试验田的每公顷的产量比第二块少3000Kg，分别求这块试验田每公顷的产量。15、某农场原有水田 400公顷，旱田150公顷，为了提高单位面积产量，准备把部分旱田