初中数学专题复习111.二次函数与角度

1、二次函数与角度一、角的三角函数值二、角的度数三、存在特殊角度四、存在角之间的关系五、点运动时角度的变化六、角度的和差问题七、其他一、角的三角函数值1.【易】（奉贤区调研测试）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知点 A的坐标为（2, 2 ），点B、C在y轴上，BC=8, AB = AC ,直线AB与x轴相交于点D,求C、D的坐标； 求经过A、C、D三点的二次函数解析式；求ZCAD的正弦31 / 58【答案】解：过点 A作AH _LBC于H A 的坐标为（2,2） , AB=AC, BC=8,BH =CH =4 , B(0,6) , C(0,2) AH / OD ,BH AHBO OD2

2、ODOD =3D (3,0)2.抛物线 y=ax +bx+c(a #0)经过点 A(2,2)、C (0, 2)、D (3,0)14解得：b= 3c = 24a 2b c =2 I根据题意可得：9a 3b c = 0IJc - -24 2 14所以所求的二次函数解析式为y =-x2 14x_233过点C作CE，AB于E1 1SaabcBC AH AB CE2 2又AB= 2 j5 , BC=8 , AH=2 . CE =-85 58/5在直角三角形 CAE中，sin /CAD = CE _5 _4 CA - 2.5 "522.【难】(2011沈阳)如图，已知抛物线 y=x+bx+ c与

3、x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，与y轴交于点C(0,-3),对称轴是直线x=1 ,直线BC与抛物线的对称轴交 于点D . 求抛物线的函数表达式； 求直线BC的函数表达式；点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交 CE于点F ,交抛物线于P、Q两点， 且点P在第三象限.3当线段PQ=4AB时，求tan/CED的值；当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标.温馨提示：考生可以根据第问的题意，在图中补出图形，以便作答.【答案】二.抛物线的对称轴为直线x=1 ,b b .=12a 2 1b =2 . .抛物线与y轴交于点C(0,-3), 抛物线的函数表达式为y = x2

4、2x 3.B两点,;抛物线与x轴交于A、 当 y=0 时，x2- 2x- 3 = 0. '" x1 =- 1,x2 =3 .A点在B点左侧， .A(1,0), B (3,0)设过点B(3,0)、C (0, 3)的直线的函数表达式为 y =kx+ m ,0 =3k m 则占m ,k =1m = -3,直线BC的函数表达式为y =x 33; AB =4, PO=3AB, 4PQ =3 PQ_Ly 轴PQ / x轴，则由抛物线的对称性可得点P的横坐标为_7 F 10 一e 4/一 一 75 . FC =3-OF =3-=-44 PO垂直平分CE于点F,一 5CE =2FC =22

5、点D在直线BC上， 当 x=1 时，y = -2 ,贝U D(1, -2).过点D作DG _LCE于点G,DG =1 , CG =1 ,一 一 一 53GE =CECG =5 1 = 3.22在 RtAEGD 中，tan/CED = -=-EG 3 P(1S 一2 ' p21事，23.【难】(2010年朝阳二模)如图，边长为2的正方形abco中，点F为x轴上一点，cf =1 ,过点b作BF的垂线，交 y轴于点E -(1)求过点E、B、F的抛物线的解析式；(2)将/EBF绕点B顺时针旋转，角的一边交 y轴正半轴于点 M ,另一边交x轴于点N ,设BM与(1)中抛物线的另一个交点为点 G

6、,且点G的横坐标为6 , EM与NO5有怎样的数量关系？请说明你的结论.(3)点P在(1)中的抛物线上，且 PE与y轴所成锐角的正切值为 3 ,求点P的坐2标.【答案】解：由题意，可得点B(2, 2). CF =1，.二 F(3, 0 ).在正方形 ABCD 中，/ABC=NOAB=NBCF =90° , AB=AC , BE_LBF , NEBF =90° . . NEBF =/ABC ,即NABE+/EBC =/EBC+/CBF ./ABE =/CBF . . ABEACBF .AE =CF .E(0, 1 ).设过点E、B、F的抛物线的解析式为 y =ax2 +bx

7、+1,4a 2b 1 =2b=£9a 3b 1 =0 抛物线的解析式为 y 5x2 13 x 166.点G；6, y 在抛物线y =_%+13x+1上 5665 613 612y =黑一 + x +1 = 6 56 55,需，设过点B、G的直线解析式为y = kx b12k b =2,_ 14612 i 2,-k b-卜55b -31过点B、G的直线斛析式为 y = x+3.2，,、1直线y = x+3与y轴交于点M(0,3).EM =2.可证，ABM ACBN .CN =AM . . . N (1 , 0 ).ON =1 .5 2 13EM =2ON .二.点 P在抛物线 y=5x

8、2+区x+1上6 6' 52 13可设点P坐标为 m, - m +m+1 .66如图2过点P作PH 1 _L y轴于点Hi ,连接PE .RH i3HiE -2P2H23H2E 23 tanNH1ER =2，m5 2 13m ' m '' 1 16 6解得m =- m2 =0 (不合题意，舍去)5过点B作P2H2 _Ly轴于点H2 ,连接BE .3 tan. H2EP2 =21 一一5m2 4 16617 一斛付m3=1, m4=0 (不合题意，舍去).5业 9 15 2 1311= mi =一 时，m +m+1 =一； 5665业 1715 2 13,19当

9、mb = 一 时，一m +m+1=一-.5，6659 111719综上所述，点R，一，2.一，-一为所求.5 555求角的度数4.【易】(顺义一模)已知：如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y =ax2+(1+273)x+c经过 A(2,0) , B(1,n), C(0,2)三点.求抛物线的解析式；求线段BC的长；求ZOAB的度数.yC(0,2),4a 2(1 2 3) c =0 c =2a - - 3-1 解得一【答案】解：二抛物线y=ax2+(1+2j3)x+c经过点A(2,0),，抛物线解析式为 y =(-.3 -1)x2 (1 2,3)x 2点B(1,n)在抛物线上,n=2+d&#

10、167;过点B作BD_Ly轴，垂足为D.BD =1 , CD =氧BC =2联结OB.在 RtBCD 中，BD=1, BC=2,/BCD =30OC =BCZBOC ZOBC/BCD /BOC /OBC.BOC =15. BOA =75过点B作BE _LOA ,垂足为 E,则OE =AE .O OB =AB. OAB =/BOA =75存在特殊角度A（-1, 0）、C（。, 4）两点,与 x轴交2.5.【中】（武汉）如图，抛物线 y=ax +bx4a经过于另一点B .求抛物线的解析式;已知点D（m,m+1 ）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标;在的条件下,【答案】解：二.抛

11、物线 y =ax2+ bx -4a 经过 A(-1, 0), C(0, 4)两点,连接 BD ,点P为抛物线上一点,且 /DBP=45。，求点P的坐标.抛物线的解析式为a - b -4a 0I 4a =4a = 1 解得b2-.y =-x +3x +4 .点 D(m,m+1 )在抛物线上，m+1 =-m2+3m+4 ,即 m2 -2m -3 =0 ,m = -1 或 m =3 .点D在第一象P点 D的坐标为（3,4 ）.由知 OC =ob，.= /CBA=45*.设点D关于直线BC的对称点为点E . C(0, 4 ), CD / AB ,且 CD =3 ,NECB =/DCB =45，E点在y

12、轴上，且CE=CD =3.OE =1，.= E(0, 1 ).即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0,1).方法一：作 PF_LAB于F, DE_LBC于E. 由有：OB =OC =4 ,ZOBC =45°,./DBP=45©, /CBD=/PBA.C (0 , 4 ), D(3, 4 cd / OB 且 CD =3 ./DCE =/CBO =45。, DE =CE =3-2 .2OB =OC =4 ,BC =4j2 ,，BE = BCCE5.22DE 3 tan/PBF =tan/CBD =-.BE 5设 PF =3t ,则 BF =5t，.= OF =5t -4 ,P(

13、5 +4, 3t ).P点在抛物线上,23t =-(-5t +4 ) +3( -5t +4)+4 ,2 66P 一，一 5 25方法二：过点D作BD的垂线交直线 PB于点Q ,过点D作DH _Lx轴于H .过Q点作QG 1DH于G . NPBD =45©,，QD =DB .NQDG +ZBDH =90°,又 NDQG +ZQDG =90*, /DQG =/BDH . QDG DBH ,. QG = DH =4 , DG = BH =1 .由知 D(3, 4), . . Q(-1, 3 ). B(4, 0 ), 直线 BP的解析式为 y=-x+.5522y = -x+3x+4

14、1 产=飞解方程组y = _3x+学得。=066y 55y2W点P的坐标为,66,5 256.【中】(昌平二模)抛物线 y=ax2+bx4a经过A(1, 0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B .求抛物线的解析式； 已知点D(m,1-m/第二象限的抛物线上，求点 D关于直线BC的对称点的坐标; 在的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且ZDBP =45° ,求出点P的坐标.5【答案】解：抛物线 y =ax2+bx -4a经过A(1, 0卜C(0, 4 )两点,a b -4a =0, I 4a =4.，a = -1,解得b:-3.此抛物线的解析式为.点 D(m,1m)在抛物线 y

15、 = _x2_3x+4上,-2-m -3m +4 =1 -m ,解之，得 m, =-3, m2 =1 . 点D在第二象限，D(a 4令 y = -x2 -3x +4 = 0 ,得 X =1, x2 =T . B(4 0 ). CBO =45'.连接 DC ,易知 DC / BA , DC _LCO , DC =3 , ZDCB =/CBO =45° . . ZBCD =45° .过点D作DE _LBC于E ,延长DE交y轴于F , ND =45° . . ZCFE =45° .DE =CE =EF .，点F即为点D关于直线BC的对称点.CD =C

16、F =3 .: /CDB >90° , /BCD =45 ° , ZDBC <45° ZDBP =45° ,，点P在直线BC下方的抛物线上.在 RtDCE 中，DC =3, NDCE =45° ,=e"在 RtA BCO 中，OB =OC =4 ,BC =4 J2 .BE_5J BE23 在 RtABDE 中，tan/DBE =.5 NDBP =NCBO =45° ,ZDBC =NPBO .3 tan/DBC =tan/PBO=.5过点P作PM _Lx轴于M ,PM 3在 RtABDE 中，tanZPBO =-P

17、M-=- BM 5 ,设 PM =3t,则 BM =5t ,OM =5t -4 . P(5t -4, 3t ).2-(5t -4 ) -3(5t -4 )+4 =3t .22斛付 t1 =0 , t2 =,25_ . _一 . . .一 2. 7.【中】(2010聊城)如图，已知抛物线 y= ax + bx+Ca#0)的对称轴为x= 1 ,且抛物线经过A(-1, 0'B(0, -3)两点，与x轴交于另一点B.求这条抛物线所对应的函数关系式；在抛物线的对称轴 x=1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小, 并求出此时点M的坐标；设点P为抛物线的对称轴 x= 1上的一动点，求

18、使 NPCB=90。的点P的坐标.yA【答案】解：.抛物线的对称轴为x=1 ,且A(-1, 0 ),B(3, 0)；可设抛物线的解析式为 y =a(x+1 p-3 ),由于抛物线经过 C(0, -3),则有：a(0+1 P-3 )=3, a=1；2.y =(x+1 I x-3 )=x -2x-3；由于a、b关地抛物线的对称轴直线 x =1对称，那么M点为直线BC与x=1的交点；由于直线BC经过C(0, -3 ),可设其解析式为 y = kx-3,则有：3k3=0, k=1;直线BC的解析式为y=x-3;当 x=1 时，y=x3=-2,即 M (1, -2 )；设经过C点且与直线BC垂直的直线为

19、直线l ,作PD_Ly轴，垂足为D;OB =OC =3 ,CD =DP =1 , OD =OC +CD =4 ,. P(1, -4 )。8.【中】(2012年湖北十堰)抛物线 y = e2+bx+c 经过点 A、B、C,已知 A(-1,0), C(0,3).求抛物线的解析式；如图1, P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点 D,当ABDC的 面积最大时，求点 P的坐标；如图2,抛物线顶点为E, EF_Lx轴于F点，M ( m,0)是x轴上一动点，N是线段EF 上一点，若/MNC =90，请指出实数 m的变化范围，并说明理由.1 b c =0b =2【答案】解：由题意得：，解得：，

20、c=3I，抛物线解析式为 y = x2 +2x +3 ； 令-2+2x+3=0,xi =-1 , x2 =3 ,即 B(3,0),设直线BC的解析式为y=kx+bb =33k b =0k = T解得："L o，b =3y|直线BC的解析式为y=x+3,设 P(a3-a),则 D( a, a2 +2a +3),22- PD =(- a +2a+3) (3 a) = a +3a,=SA pdc PDB11= PD a PD 3-a22二PD2=3 -a2 3a23，3. 27a228-3 . _当a =2时，4BDC的面积最大，此时由，y =-x2+2x+3 = -(x-1) 2+4,O

21、F =1 , EF =4 , OC=3 ,过 C 作 CH _LEF 于 H 点，则 CH =EH =1 ,当M在EF左侧时， ZMNC =90°,则 MNFANCH ,MF FNNH BC '设 FN =n ,则 NH =3-n,1 - m n =-, 3 -n 1即 n2-3n -m +1 =0 ,关于n的方程有解，Ll=( 3)24(m+1)>0,得m ) 一至， 4当 M 在 EF 右侧时，RtACHE 中，CH =EH =1 , /CEH =45)即/CEF =45) 作EM _LCE交x轴于点M ,则/FEM =45 °,FM =EF =4 ,OM

22、 =5 ,即N为点E时，OM =5 ,/. m < 5 ,.、， 5综上，m的变化氾围为：-< m< 5 .49.【难】(2012抚顺)如图，抛物线的对称轴是直线 x=2，顶点A的纵坐标为1,点B(4, 0 ) 在此抛物线上。求此抛物线的解析式；若此抛物线对称轴与 x轴交点为C ,点D(x, y)为抛物线上一动点，过点 D作直线y =2的垂线，垂足为 E。用含y的代数式表示CD2,并猜想CD2与DE2之间的数量关系，请给出证明；在此抛物线上是否存在点D ,使/EDC =120 口？如果存在，请直接写出 D点坐标；如果不存在，请说明理由。./ .2一【答案】解：依题意，设抛物线

23、的解析式为：y=a(x-2) +1，代入B(4, 0),得:21a(4-2 )+1=0,解得：a =-412，抛物线的解析式：y=(x2)+1。4猜想：cd2=de2；证明：由 D(x, y )、C(2, 0)、E(x, 2 风：_22922CD2 =(x-2) +y2, DE2 =(y-2)；由知：(x-2 2 =Y(y1 )=Ty+4，代入 cd2 中，得:CD2 =y2 -4y +4=(y -2 j =DE2。由于/EDC =120+90)所以点D必在x轴上方，且抛物线对称轴左右两 侧各有一个，以左侧为例：延长ED交x轴于F ,则EF，x轴；在 RtACDF 中，/FDC =180 J1

24、20* =60。，/DCF =30。贝U:CD =2DF、CF =73DF ； 设 DF=m，则：CF=0m、CD=DE=2m； EF =ED +DF =2m+m=2 ,.,D 2 2 3= m=2 cf =J3m = 10.【中】(2011年东城区一摸)如图，已知二次函数y=ax +bx+8 (a#0)的图像与x轴交于点A(-2,0), B,与y轴交于点C, tan/ABC =2.求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；设直线CD交x轴于点E.在线段OB的垂直平分线上是否存在点 P,使得经过点P 的直线PM垂直于直线 CD,且与直线 OP的夹角为75口？若存在，求出点 P的坐标； 若不存在，请说明

25、理由；l OF =OC _CF =2_辿, 33223r2_ 2J3 2"同理，抛物线对称轴右侧有：D 2+'一，-；I 过点B作x轴的垂线，交直线 CD于点F,将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线 与线段EF总有公共点.试探究：抛物线最多可以向上平移多少个单位长度？ 372 2 点 2 1 f 2J3 2 '综上，存在符合条件的 D点，且坐标为 2工，-或2+二二，-I 33八 33J【答案】解：依题意，可知 C(0, 8),则B(4, 0)将 A(-2, 0 ), B(4,0)代入 y = ax2 +bx+8,4a -2b 8 =0, a - -1,4解得W16a

26、+4b+8=0.自 b =2.2 y - -x 2x 8配方得 y=-(x1 $ +9,顶点 D(1 , 9)(2)假设满足条件的点P存在，依题意设P(2, t ),由C(0，8), D (1,9)求得直线CD的解析式为y = x+8,它与x轴的夹角为450.过点P作PN _Ly轴于点N.依题意知，ZNPO =30或 ZNPO =60，PN =2, ON =述或 2Q.3P点的坐标为(2 , 2点)或?，3代I72个单位211.【难】(2012年辽宁宫口)在平面直角坐标系中，已知抛物线 y = ax +bx + c经过点A(3,0)、B(0,3)、C(1,0)三点.求抛物线的解析式和顶点 D的

27、坐标；图1,将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点d顺时针旋转60白，与直线y = -x交于点N.在直线DN上是否存在点 M,使得ZMON =75%若存在，求出点 M的坐标；若不 存在，请说明理由；点P、Q分别是抛物线y =ax2+bx+c和直线y=x上的点，当四边形 OBPQ是直角 梯形时，求出点Q的坐标.【答案】解：由题意把 A(3,0)、B(0,3)、C(1,0) RA y=ax2+bx + c 列方程组得9a -3b c =0a - -1«=3,解得，b=2 .1分a b c=0c=3，抛物线的解析式是 y =-x2 -2x +3 ,2分22y=x -2x+3=-(x+1) +4,，

28、抛物线的顶点 D的坐标为(-1,4).3分存在.理由：方法(一)：由旋转得 /EDF =60°,在 RtADEF 中，ZEDF =60) DE =4 ,EF =DEMtan60*=4 向.OF =OE + EF =1+4 内.，F点的坐标为(1 4质，0).设过点D、F的直线解析式是 y=Mx+b,把 D(-1, 4 ), f(-1_4G 0)代入求得 y =-x +4+史. 33分两种情况：当点M在射线ND上时， ZMON =75°, /BON =45口，/MOB =ZMON- /BON =30。.ZMOC =60 /直线OM的解析式为y=J3x.点M的坐标为方程组.的解

29、，解方程组得,y - 3xx = 2 . 3 - .2 3y=6万，点M的坐标为当点M在射线理由：. . MON14(2 J3, 6 +).22NF上时，不存在点 M使得/MON =75°=75口，/FON =45°,ZFOM =ZMON-ZFON =300. /DFE =30*,ZFOM =/DFE ,OM / FN . . .不存在综上所述，存在点 M,且点M的坐标为'2, 6+I 22 ）方法（二）M在射线ND上，过点M作MP _Lx轴于点P,MEP x图2由旋转得 ZEDF =60，在 RtADEF 中，: NEDF =60©, DE =4. EF

30、 =DE xtan60 =4 4.OF =OE+ EF =1+4 73. /MON =75。，/BON =45°, /MOB =/MON /BON =30 上 /MOC =60 s.在 RtA MOP 中,MP =73op .在 RtAMPF 中， tan/MFP = MP , PF130P 二. 1 OP 4-3 一型3OP =243 1 1 MP =6+M在射线NF上，不存在点 M使得ZMON =75*理由：. NMON =75°, ZFON =45) /. ZFOM =NMON NFON =30+. ZDFE =30，ZFOM =/DFE .OM / DN .，不存在

31、. 5 分综上所述，存在点M ,且点M的坐标为'2J3+- , 6+ I 2 2有两种情况直角梯形 OBPQ中，PQ / OB , ZOBP =90©.如图 3, . /OBP =/AOB =90。PB/OA.所以点P、B的纵坐标相同都是 3.因为点P在抛物线y=x2-2x+3上， 把y =3代入抛物线的解析式中得 X =0 (舍去)，X2 =一2 ,由PQ / OB得到点P、Q的横坐标相同，都等于-2 .把X =二代入y =-X得y =2 .所以Q点的坐标为(-2, 2).在直角梯形OBPQ中，PB / OQ , ZBPQ =90* .如图 4, . ID(-1,4) ,

32、B(0, 3)，.二 DB / OQ .点P在抛物线上，点 P、D重合. ./EDF =/EFD=45,EF=ED=4. OF =OE +EF =5 .作 QH _Lx轴于 H, ZQOF =/QFO=45*,1 5OQ =FQ . OH =-OF =-2 2 ,551.q点的横坐标一5 . q点在y=x上，把x=©代入y=-x得 22y = 5 .q点的坐标为'-5,-(.22 2综上，符合条件的点 Q有两个，坐标分别为：(2,2),(-,刍).22四、12.存在角之间的关系【易】(2013年一模)如图，已知抛物线y =ax2+bx+3与y轴交于点 A,且经过B (1,0)

33、、C (5,8)两点，点D是抛物线顶点，E是对称轴与直线 AC的交点，F与E关于 点D对称.求抛物线的解析式；求证：ZAFE =/CFE ;在抛物线的对称轴上是否存在点P,使4AFP与4FDC相似.若有，请求出所有符合条件的点P的坐标；若没有，请说明理由.【答案】解：将点 B(1,0)、C(5,8)代入y=ax2+bx+3得la b 3=025a 5b 3=8a =1解之得b7所以抛物线的解析式为2y =x -4x 3由可得抛物线顶点D(2, -1)直线AC的解析式为y =x +3由E是对称轴与直线 AC的交点，则E(2,5)由F与E关于点D对称 证法一：从点A,C分别向对称轴作垂线在 RtA

34、FAM 和 RtFCN 中AMZAMF =NCNF =90% MF所以 Rt FAM s RtAFCN所以.AFE /CFE证法二：直线AF的解析式为,则 F (2, -7)AM,CN ,交对称轴于 M,N2 1io -5_3_ CN15 一 NFy = 5x 3点C(5,8)关于对称轴的对称点是 Q(1,8)将点Q(1,8)代入y =5x+3可知点Q在直线AF所以,AFE ZCFE在4FDC中，三内角不等，且 ZCDF为钝角10 若点P在点F下方时，在 AFP中，ZAFP为钝角因为 ZAFE =/CFE , /AFE +/AFP =180/CFE +/CDF <180*所以/AFP和/

35、CDF不相等所以，点P在点F下方时，两三角形不能相似20 若点P在点F上方时，由ZAFE =/CFE ,要使 4AFP与 FDC相似(点P在FD的延长线上)只需 处=里(点p在df之间)或 处=生CF DFDF CF解得点P的坐标为(2,3)或(2,19)点M在二次函数y =a(x +1) 2 4图象的对称轴上，且/AMC =/BDO ,求点 M的坐标.2将一次函数y =a(x+1) 4的图象向下平移k(k>0)个单位，平移后的图象与直线 CD分别交于E、F两点(点F在点E左侧)，设平移后的二次函数的图象的顶点为G,与y轴的交点为Di ,是否存在实数k,使得CF _LFCi ,若存在，求

36、出k的值；若不存在，D (0, 3). a = 12''' y =(x 1) -42即 y =x 2x - 3 M( -16)或(-1, -6)Ci存在由 CC1 =DD1 =k , CC1 / DD1 , 四边形CC1D1D为平行四边形, . C1D1 / CD ,/D1cle =/DCN =45", CF -LFC1 , . /CCF =45 即CFCi为等腰直角三角形，且 CCi =k ,11F I k -1, k 4 f,22由点F在新抛物线y =x2+2x3k上,1211-1+2.k -1 -3-k = -k -4,.2. 22解得k =2或k =0

37、 (舍)，k=2 .当 k=2 时，CF _LFC1214.【易】(朝阳)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax +bx+3经过点N(2,-5),过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M , MN =6.求此抛物线的解析式；点P(x, y)为此抛物线上一动点， 连接MP交此抛物线的对称轴于点 D,当DN 为 直角三角形时，求点 P的坐标；设此抛物线与y轴交于点C,在此抛物线上是否存在点 Q,使/QMN VCNM ?若 存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.8 .7 .6 .5 -4 -3 r-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1O12345678 x-2-3-4-5-6-7-8-

38、9-10【答案】解：y2一,=ax +bx +3 过点M、 N(2, -5) , MN =6 ,由题意，得M (4 -5)4a 2b 3 - -5, 16a -4b 3 = -5.解得la - -1,b 二一2.此抛物线的解析式为y =-x2 -2x 3.设抛物线的对称轴 x =_1交MN于点G ,1若 DMN为直角二角形，则 GDi =GD2 =MN =3.2Di(-1, -2 ), D2(-1, 一8).y直线 MD1 为 y=x1 ,直线 MD2为 y = x9.将P (x, _x2-2x+3)分别代入直线 MD1,MD2的解析式,得 T2-2x +3 =x-1 ，-x2-2x+3 =-

39、x-9解得 x1 1 , x2 4 (舍)， P (1 , 0 ).解得x3 =3 , x4 =Y (舍)，H(3, -12 ).设存在点 Q(x, -x2-2x+3 ),使得. QMN =/CNM若点Q在MN上方，过点Q作QH _LMN ,交 MN 于点 H ,则 QH- =tan/CNM =4 MH-即一x22x+3+5 =4(x+4).解得 x1 =-2 , x2 =T (舍)若点Q在MN下方, 同理可得Q2 （6, -45）215.【中】（2012石景山）已知：抛物线 y= -x +2x+m 2交y轴于点A（0,2m7）.与直线y=2x交于点B、C（B在右、C在左）.求抛物线的解析式；

40、设抛物线的顶点为 E,在抛物线的对称轴上是否存在一点F,使得NBFE =/CFE ,若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由；射线OC上有两个动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒75个单位长度、每秒2 J5个单位长度的速度沿射线 OC运动，以PQ为斜边在直线 BC的上方作直角三角形 PMQ （直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t秒，若4PMQ与抛物线2y= x+2x+ m -2有公共点，求t的取值氾围.y*【答案】解：点 A(0,2m7)代入y= - x2+2x+ m-2 ,得m=5，抛物线的解析式为y= - xy = x 2x 3 由,y =2x+ 2x+ 360 / 58得卜依卜=一

41、禽y =2.3 y=2 3B （辰氏），C （-技-2向）B （ 73,2 73）关于抛物线对称轴x = 1的对称点为B（2 - , 3,2 3）可得直线B'C的解析式为y =28x+6-2战，-j-X =1y =6,y =2 3x 6-2.3 /日由 <,可得V =1 F(1,6)当M(-2t,-2t)在抛物线上时，可得4t2+2t-3=0, t公”13 ,4当P（-t,2t）在抛物线上时，可得t2=3, t=±J3,舍去负值，所以t的取值范围是 士或3w t< 73 .416.【中】（湘西自治州中考）在直角坐标系2、xOy中，抛物线y=x +bx+c与x轴交于

42、两点A、B,与y轴交于点C,其中A在B的左侧，B的坐标是（3,0）.将直线y=kx沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过点 B、C.求k的值；求直线BC和抛物线的解析式；求4ABC的面积；（4）设抛物线顶点为 D,点P在抛物线的对称轴上，且 /APD=/ACB ,求点P的坐 标.yA4 -3- 21 11111BI-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x-1 -2-3-4【答案】解：（1）直线y=kx沿y轴向上平移3个单位后，过两点 B, C从而可设直线 BC的方程为y=kx+3令 x=0 ,得 C(0, 3)又B(3, 0)在直线上，. 0 =3k 3k "由，直线BC的

43、方程为y=_x+3又抛物线y2=x +bx +c 过点 B , Cc = 39 3b c =0b = -4c 二 3.抛物线方程为y=x2 - 4x 43由，令x2 -4x »3 =0得 x1 1 , X2 3即 A(1, 0) , B(3, 0),而 C(0,31 ABC 的面积 Saabc =-(3-1 )3=3 平万单位(4)由，D(2, -1 )，设对称轴与x轴交于点F,与BC交于E,可得E(2,1),连结AE.AF =FB =FE =1AE _LCE ，且 AE = J2 ， CE =22(或先作垂线AE _L BC ,再计算也可)在 RtA AFP 与 Rt AEC 中,

44、. NACE =/APE (已知).AF PF-AE CEPF =21 PF即.2 :2,2点P的坐标为(2, 2)或(2, -2)(x轴上、下方各一个)（注：只有一个点扣 1分）217.【中】（2012西城一模）平面直角坐标系 xOy中，抛物线y=ax 4ax+4a+c与x轴交于点A、点B,与y轴的正半轴交于点 C,点A的坐标为（1，。），OB =OC ,抛物线 的顶点为D.求此抛物线的解析式；若此抛物线的对称轴上的点P满足/APB=/ACB ,求点P的坐标；Q为线段BD上一点，点A关于/AQB的平分线的对称点为 A,若QA-QB = J2 , 求点Q的坐标和此时 QAA'的面积.y

45、*4 -32-1 1Hli-4 -3 -2 -1 O-1-2-3-4y八4 -32- 1 - I I IIII/APB =/ACB ,且射线FE上的其它点P都不满足/APB =/ACB .由可知 NOBC=45, AB =2, OF =2 .可得圆心e也在bc边的垂直平分线即直线y=x上.点E的坐标为E(2 , 2).由勾股定理得ea=T5.EP =EA=75.，点P的坐标为P(2 , 2+J5).由对称性得点P2的坐标为P2(2, -2 -V5).，符合题意的点P的坐标为P(2 , 2 +75)、P2(2 , -2 -J5).点B、D的坐标分别为 B(3,0)、D(2, 一1),可得直线BD

46、的解析式为y=x-3,直线BD与x轴所夹的锐角为45°. 点A关于ZAQB的平分线的对称点为 A',(如图11)若设AA与/AQB的平分线的交点为 M ,则有 QA=QA，AM =AM , AA'_LQM , Q, B, A三点在一条直线上. QA -QB =夜,BA：=QA QB =QAQB = 2.作AN _Lx轴于点N . 点Q在线段BD上，Q, B, A'三点在一条直线上，AN =BA' sin45 °=1 , BN =BA' cos45 °=1 . 点A，的坐标为A'(4,1). 点Q在线段BD上，设点Q的

47、坐标为Q(x,x -3),其中2<x<3. QA=QA'，由勾股定理得 (x -1)2 +(x -3)2 =(x4)2 +(x -3-1)2.一 111解得x =U .411经检验，x= 在2 <x <3的范围内.4111，点Q的坐标为Q ,.,44此时 SkQAAr = SAaAb+Srb=； AB 川人|+。)=£2个+：15.1 218.【中】（2012顺义二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x +bx + c的图象经过点A（-3,6）,并与x轴交于点B（ -1, 0）和点C,顶点为P.求二次函数的解析式；设D为线段OC上的一点，

48、若 NDPC =NBAC ,求点D的坐标；1 9在的条件下） 育点M在抛物线y x +bx+c上，点N在y轴上，要使以M、N、B、D为顶点的四边形是平行四边形，这样的点M、N是否存在，若存在，求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，说明理由.yA 4 - 32-【答案】解：将点b - -1,1过点A作AE_Lx轴，过点P作PF_Lx轴，垂足分别为E, F.易得 /ACB =/PCD =45 ° .ac = Jae2令 y =0 ,得 * 1 2 x2 -x-3 =0 , 22.点C的坐标为（3,0）.1 23 12- y=-x x=-(x-1) -2,22 2顶点P的坐标为（1, -

49、2 ）. +ce2 =6短，PC =JPF2 +CF2 =2金又 NDPC =NBAC , ACBAPCD .BC AC 一=一 .CD PCBC =3(1)=4,CDBC PC 4AC 3一 八45一 OD =OC CD =3=.3 3 5.点D的坐标为一，0 .3当BD为一边时，由于 BD=8 ,3.点M的坐标为往，竺k 2I 3 ' 18 rxi3,当BD为对角线时，点M的坐标为118 ,_35)3'1819.【中】（2011 遂宁）如图：抛物线 y=ax2 4ax+m与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（1, 0）,与y轴交于点C。求抛物线的对称轴和点 B的坐标；过点C作

50、CP _L对称轴于点P ,连接BC交对称轴于点 D ,连接AC、BP ,且/BPD =/BCP ,求抛物线的解析式；在的条件下，设抛物线的顶点为G ,连接BG、CG ,求4BCG的面积。V*【答案】解：对称轴是 x=一> =-Ta =2 2a 2a点A(1, 0洱点A、B关于x=2对称点 B(3, 0 )点 A(1, 0), B(3, 0)AB =2CP 对称轴于PCP / AB.对称轴是x =2AB / CP 且 AB =CP四边形ABPC是平行四边形设点 C(0 , x )x <0在 RtAOC 中，ac=J771BP = x2 1在 RtA BOC 中，BC =Jx2 +9BD BE 1=一=一BC BO 3vkBD =1