均匀带电球面内的电势相等

1、引言均匀带电球面内的电势,一般的论证方法是场强积分法.即先确定E分布,然后选零势点和便于计算的积分路径,选取零势点的原那么是使场中电势分布有确定值,最后由零势点uu r零势点电势定义UaEdl= Ecos dl计算Ua1.然而有些情况却并不能给出场中电势aa分布确实定值,所以我们可以试想用不同的方法,多角度的计算均匀带电球面的电势, 并证实其相等.下面就重点介绍其中的常见的计算和证实方法.第1章 利用点电荷产生的电势公式证实设带电球面的的半径为R,带电荷量为q,如图1-1所示,图1-1用点电荷产生的电势公式计算电势由题意知电荷面密度为dS R2 sin d ddq ?ds ?Rsin?Rd?d

2、在球内任一点处产生的电势1 dq4 0 r22D Rcos RsinD22R 2DRcos于是带电球面内任一点的电势为vp=R+r2 RdVP = dy=R-r 40rq4°R1 ?2 R2 sin d4 0 . D2 R2 2DRcos:R2 sin d222 D Rcos Rsin _ 2_2D R 2 DR cosd 2 R2sin d4 0 D2 R2 2DRcos通过对以上公式积分得：2 2R2sind 丁 2R2sind2 Jd2 R2 2DRcos0 一4一0一 ：d厂R12DRcos_ 0 4一0一 :dR12DRcos-2 R21 D2 R2 2DR cos-4TD

3、Rq40R第2章 利用均匀圆环在中央轴线上产生的电势公式证实如右图2-1所小,在球心内建立直角坐标系 o-xy ,在上半球出作一均匀带电圆环, 如图,在球内任取一点p, p离球心距离为D,球面边缘到p点的距离为r,球半径为R, 半径R与轴线夹角为 ,均匀带电球面的面密度为.在圆环处所产生的电荷为：dq ?ds ?2 Rcos ?Rd图2-1利用均匀圆环在中央轴线上产生的电势公式计算电势在p点处产生的电势为:r2 d22Rsin RcosD2 R2 2DRSin可得:2d 1 ?2 R cos d4 0 D2 R2 2DRsin22 Rcos dD2 R2 2DRsin同上,在球的下半面取一带电

4、圆环,那么有：dq ?ds ?2 Rcos ?Rd?2 R2 cos d222r D Rsin RcosD2 R2 2DRSin2联立方程得：d 2 R cos d4 0 . D2 R2 2DRsin通过对以上公式积分得：22.2 2 Rcos d丁 2 R cos d0 4 0 , d2 R2 2DRsin 04 ., d2 R2 2DRsin2 R214 0 DRJd2 R2 2DRsin 20D2 R2 2 DR sinq40R第3章利用电场线性质证实3如图3-1所示,我们在半径为R的圆上分别放置3, 6, 12, ?个电量相同的点电荷, 画出电力线分布的大致情况.可以看出,随着电荷数目

5、的增加,环面内的场强越来越弱.不难想象,当电荷的数目趋向无穷时即形成线电荷分布.这时环内的场强为0,因此,环内的电势应为一常量即q Q4 oR图3-1 半径F放置不同点电荷形成电场线由于电场线起于正电荷,终止于负电荷,假假设球面带正电,由于球面内部不带电, 而无穷远处电势为零,相当于存在负电荷,所以电场线设在无穷远处,不会存在于球面 内部,所以内部电场为零.因此,环内的电势应为一常量即V Q .内4 oR假假设球面带负电,由于电场线终止于负电荷,球面内部不带电,所有的电场线全部 终止于球面,球面内部也没有电场线,也即内部电场为零.环内的电势应为一常量即Q 4V V内 , c40Ro由题意5,6

6、可知,第4章利用电动力学的理论证实n1(Anrn 0Bn有限；2对于那么有Bn0,所以对于那么有A0,所以又由方程ds=q可得:cds 4q4 r2 0那么有,由于有:r R所以有:因此,2 3；4 0R21220,0(Ar01Bn)rnAnrn 0q0r&rn n 0B 10BnR第5章 利用均匀带电球面产生的电场强度公式证实设带点球面的半径为R,总电荷量为q,如图5-1 ,均匀带电球面在空间激发的场强沿半径方向,其大小为7qE= 4 0r2r>R0r<R沿半径积分,那么p点的电势为Vp= Edrr图5-1利用均匀带电球面产生的电场强度公式计算当r>R时,Vpq d

7、r _ q -224 0r24 or2当r<R时,由于球内外场强的函数关系不同,积分必须分段进行,即RVp= E drrE drRR0 drq dr q-=4 0rr24 0R第6章利用立体角概念证实设均匀带电球壳的半径为R,场点P与球心O勺距离rP点在球壳内时,r<R ,在球壳外时,r>R,如图6-1所示P点在球壳内情形以通过Q点和P点的直径为轴线,把球面分成许 多圆环带,在图中所示圆球半径与轴线夹角为处,环带宽度为Rd ,线电荷密度, dl Rd环带的半径为a Rsin .由均匀带电圆环轴线上一点的场强公式,环半径为a 时,所产生的电势为81 2 Rsin Rd10 a1

8、 2 Z2 2图6-1利用立体角概念计算电势q4 R29.9.22a2+z2= Rsinr Rcosr2 R2 2rR cos故由积分可得带电球壳在P 点处所产生的电势为140 0 r2q .sin d_22R 2rR cosq 2R= q80 Rr 40r结语一般来说,计算电势的方法有两种.第一种方法是由电势的定义式通过场强的线积 分来计算；另一种方法是的电势叠加原理.对不同的带电体系,本质上讲上述两种方法 都能够计算出电势,但是选择不同的方法计算的难易程度是大不相同的.通过我们前面 内容的学习,大家要注意对不同的带电体系选择不同的计算方法.谢辞到现在,我的论文根本成稿,回想这段时间,感慨万

9、分！从论文选题到搜集资料, 从写初稿到最后定稿,期间经历了喜悦、烦躁和痛苦,随着论文的最终定稿,我的心情 也平静了许多.首先,我要感谢我的母校,它给了我学习和成长的时机,“崇真、求实、博学、创新让我学会了追求和钻研,让我领略了做学问的真谛,正是在它的鼓励下,四年间, 我刻苦学习,博览群书,孜孜以求.其次,我要感谢,非常感谢我的指导老师贺庆泽老师.最后,我要感谢我的大学同学.每当我在彷徨、犹豫时,他们都能扶我一把,帮我 顺利度过难关.由于有他们的陪伴和支持,我的大学充实而精彩,感谢命运能让我们在 此相遇,共同度过四载春秋,成为一生知己！感谢之余,诚恳地请各位老师对我的论文多加批评指正.衷心的谢谢各位老师,你们辛苦啦！参考文献1 赵凯华,陈熙谋.电磁学M.第二版.北京：高等教育出版社,1985.p932 梁灿彬.电磁学M.北京：高等教育出版社,1980.p1143 白 静.均匀带电圆环的电场分布J.辽宁工程技术大学学报,2005.p24 徐世良.数学物理方法解题分析M.南京：江苏科学技术出版社,1983.p465 程守洙.普通物理学M.北京：人民教育出版社,1983.p876 张之翔.电磁学千题M