数学建模论文(1)

1、车道被占用对城市道路通行能力的影响摘要本文通过对某路段的两次发生的交通事故占道对交通能力的影响进行了分析，探究了在同一路段所占车道不同对交通通行能力的影响，得出了交通事故所影响的排队长度对事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。最后估算出了从事故发生开始，车辆排队长度将到达上游路口的时间。针对问题一：通过观测视频1采集了交通流的数据，结合通行能力与车道占用率之间的函数关系分析了通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。针对问题二，通过对视频1和视频2中提取的数据，借助Excel对数据进行标准车当量数换算，再利用SPSS软件的T检验方法得出t值处于置信区间

2、内，从而得到车道占用不同对实际通行能力的结果无显著性差异。针对问题三，对于不同路段来说，均存在一个最大通行能力，本文引用时空消耗的概念，通过计算视频1事故发生前的路段通行能力和事故发生后路段时空容量损失，从而得出事故后的车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。针对问题四，通过问题三的模型中得出排队长度与到达上游路口时间之间的关系，并通过观测视频1，某时间交通事故所处横断面距离上游路口变为120米处的标准车当量数取样，引用最大限度法和平均法，得出排队车辆平均占有道路长度和交通事故发生后的交通量，再根据题中已知数据，计算出时间为0.14h。关键词： 通行能力 S

3、PSS T检验 时空消耗一、 问题重述车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。视频1（附件1）和视频2（附件2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用

4、两条车道。本文尝试解决以下问题：1. 根据视频1（附件1），描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。2. 根据问题1所得结论，结合视频2（附件2），分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。3. 构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。4. 假如视频1（附件1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开始，经过

5、多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。二、 问题分析车道被占用后，路段的通行能力减小，如果此时交通流量大于占用点的通行能力，就会产生排队，延长占用行程时间，基于正常情况下的诱导信息不再适用。如何正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，为交通管理部门提供一些理论依据。针对于问题一，我们根据视频中提取的数据可知车道占有率、车流密度。观察得到该路段的车类型主要是以小车为主，所以我们将小车作为标准车当量。题目要求描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。对于实际通行能力我们可借助道路占有率与通行能力之间的函数关系来分析。针对于问题二，根据问题一所得结论通行能力的变

6、化过程，然后结合视频2（附件2），整理观测视频数据事故发生之后标准车当量数/min样本数据，然后采用多重填补法将视频数据补充完整，与视频2的数据配对，然后可根据配对样品T检验分析同一横断面交通事故所占车道1、2和2、3对该横断面实际通行能力影响有无显著性差异。针对于问题三，由于事故发生后，事故路段的通行能力减小，如果此时交通流量大于事故点通行能力，就会产生排队的现象，延长事故路段行程时间，又因为基于正常情况下，车辆仍会按原路行驶，因而在事故地点上游发生阻塞现象，造成行车延误。在处理发生交通事故路段的排队长度、实际通行能力、持续时间以及上游车流量间的关系的时候，我们可以引用时空消耗的概念，定义广

7、义城市道路基本的路段的通行能力，在分析事故路段时空容量损失的基础上，并给出城市道路事故路段最大服务交通量的计算公式。针对于问题四，由问题三得出排队长度与到达上游路口时间之间的公式，再由已知条件解出时间。三、模型假设1、假设排队车辆的车头间距是相等的；2、假设所有车辆在事故发生后仍按原路行驶；3、假设每辆车速度都相等，那么所有经过该路段的车辆的时空消耗都是相等的；4、假设车辆通过交通事故发生的横切面的速度是相等的；5、假设四轮以下机动车、电瓶车的交通流量对本文实际通行能力影响为零；6、假设两次交通事故都发生在同一横断面；四、符号说明符号说明按标准车当量数计算的每辆车的车道占有率按标准车当量数计算

8、的每辆车的平均长度(m)按标准车当量数计算的车流量按标准车当量数计算的的车辆的速度车流密度(辆/km)阻塞密度流畅且未发生事故时候的车速临界速度单方向行车道宽度事故路段的长度按标准车当量数计算的单位车经过该路段的时空消耗事故发生路段的最大实际通行能力正常情况下单方向的道路的最大通行能力的交通量下降过后的最大通行能力交通量时间内道路的总体时空容量产生的损失单车道的宽度(m)单方向的车道数目同级服务水平上事故发生断面的最大通行能力时空容量损失（）排队车辆平均占有道路长度(m)t车辆占用道路宽度为，长度为，在道路上停留时间(h)五、模型的建立与求解5.1问题一的模型建立与求解 描述视频1中交通事故发

9、生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程，我们通过建立车道占有率与道路上的车流量之间的函数关系，再结合视频1中提取的数据来说明。 5.1.1交通状态分析随机对某城市道路的交通状态进行分析，把城市快速路交通流状态分为4个相位：（1）自由流：流量- 密度关系为一条近似线性的曲线 自由流状态下的速度分布很不稳定，有比较大的波动性，这是城市道路交通流特有的性质。 密度范围（）（2）谐动流：流量- 密度关系不再是线性关系，而是分布在一个二维区域中，谐动流的速度分布稳定性增强时，车辆换道较少发生，各车道的车辆几乎以相同的速度高速行驶，可以认为这时的交通流处于和谐状态。 密度范围（）（3）同步流：

10、车辆间的相互作用增大，车辆行驶的速度降低，车流量在达到峰值以后开始逐渐减少，速度分布的稳定性进一步增强，各车道的车辆以相同的速度低速运行 密度范围（）（4）阻塞流：车辆处于时走时停的状态中，认为其流量在理论上接近于0 密度范围() 拥挤即为谐动流和同步流状态，其流-密关系表现为一个二维区域。其密度范围为。 速度为20到45千米每小时。5.1.2三参数模型交通流量、车速和车流密度是表征交通流特征的3个基本参数. 此间关系如式 ( 1) . ( 1 )其中, Q为交通流量; v为行车速度; K为车流密度.通常先分析 K-v 的关系, 然后由式 ( 1 ) 分别推算出 Q-v 和 Q-K 的关系.密

11、度与速度关系模型目前, K-v 最常用的有线性关系模型、对数关系模型和密度对数模型. 其中,速度-密度线性关系模型4, 5, 即Greenshields模型 1, 是目前最常用的模型. ( 2)其中, vf为畅行车速, 此时车流密度趋于零; Kj为阻塞密度, 即车速为零时的密度.速度-密度对数关系模型 4 , 5 , 即G reenberg模型 2, 该模型通常用于交通密度较大时, ( 3 )其中, vm 为临界速度.速度-密度指数关系模型4, 5, 即Underwood 模型, 该模型通常用于交通密度较小时 ( 4 )通过对该市快速路、主干道、次干道的速度和密度调查, 数据分别采用线性模型、

12、对数模型和指数模型进行回归分析, 发现线性关系的拟合效果最好. 对于城市快速路、主干道和次干道其标定的模型分别为:城市快速路密度和速度间的关系, 如图 2 . ( 5 )相关系数 . 城市主干道密度和速度间的关系, 如图3 . ( 6 )相关系数 R2= 0.892 .城市次干道密度和速度间的关系, 如图4 . ( 7 )相关系数 R2=0.876 .主干道和次干道上的流量-密度关系分别为快速路 ( 8)主干道 ( 9)次干道 ( 10)5.1.3 车道占有率与车流量之间的函数关系车道占有率是指在某一瞬间，已知路段上所有车辆的长度总和与该路段长度之比值，或者说，观测期间所有车辆在该路段上的占用

13、时间与总观测时间的百分比率。根据车道占用率的定义知，道路空间占有率与车流密度的关系为： （11）式中，O为车道占有率；为车辆平均长度，m；k为车流密度，辆/km。 根据Greenshields速度密度线性模型可以推知，城市道路上的车流量Q、速度v及密度k存在下列关系： （12） ( 13 )将式（11）带入（13），则有： ( 14 ) 上述式中的a、b为相应变量的系数，Q、v的单位分别为辆/（h车道）和km/h。5.1.4实际通行能力的变化过程分析 由（8），（9），（10）可知不论是在快速路、主干道、次干道中的流量与密度函数中a都是负值，b是正值。利用数理统计学原理，对本视频（1）中的交通

14、状态的数据进行回归分析，可得式（12）的回归系数a的值也为负，b的值为正。车辆的平均长度为，则（14）式中a为小于零的数，b为大于零的数且为常数，由此可得其图形为经过零点开口向下的抛物线。该函数的图像大致为图四所示图4由图四可知当车道占用率为零时, 其流量也为零; 车辆可以用最高速度行驶, 随着道路上行驶的车辆数增多, 车流量增加, 车辆之间相互影响增大, 速度开始下降。当车道占用率持续增加, 达到一定值时, 车流量达到最大值, 此时交通流处于饱和状态, 也就是说, 已达到道路的最大通行能力。如果车道占用率继续增加, 则交通量将急剧下降, 从而引起交通堵塞。视频1中5.2 问题2的模型建立与求

15、解 同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异可通过SPSS软件中的T检验来解决。具体步骤如下：提出原假设两配对样本T检验的原假设为：两总体均值无显著差异，表述为：。，分别为第一个和第二个总体的均值。选择统计量用于检验的统计量为：计算检验统计量观测值和概率P-值利用SPSS软件，计算出T统计量的观测值和对应的概率P-值。给定显著水平，并作出决策。给定显著水平，与检验统计量的概率P-值作比较。如果概率P-值小于显著水平，则应拒绝原假设，认为差值样本的总体均值与0有显著不同，两总体的均值有显著差异；反之，如果概率P-值大于显著水平，则不应拒绝原假设，认为差值样本的总体均值与0无

16、显著不同，两总体的均值不存在显著差异。由视频1和视频2得出的交通事故发生至撤离期间的每一分钟通过的标准车当量数，将样本数据统计出来，然后采用spss软件中的配对T检验，计算出统计量的观测值和对应的概率P值。表格1：视频1中每分钟通过该横切面的车辆情况时间轴通过的大车（辆）通过的中型车（辆）通过的小型车（辆）标准车当量数（辆）处理后的数据(pcu)43分32秒-44分32秒4410242444分32秒-45分32秒1216212145分32秒-46分32秒1214191946分32秒-47分32秒031115.515.547分32秒-48分32秒111821.521.548分32秒-49分32秒

17、0217202049分32秒-50分32秒1010122150分32秒-51分32秒0416222251分32秒-52分32秒1215202052分32秒-53分32秒1214191953分32秒-54分32秒131319.523.554分32秒-55分32秒131420.520.555分32秒-55分52秒02692757分55秒-58分18秒1147.516.559分07秒-59分30秒125102659分43秒-00分05秒026924.5表格1数据中时间缺失如下时间轴时间缺失详细49分32秒-50分32秒测量总时间34s53分32秒-54分32秒测量总时间50s55分32秒-55分52

18、秒测量总时间20s57分55秒-58分18秒测量总时间23s59分07秒-59分30秒测量总时间23s59分43秒-00分05秒测量总时间22s注：其余测量时间均在正常时间段内表格2：视频2中每分钟通过该横切面的车辆情况时间轴通过的大车（辆）通过的中型车（辆）通过的小型车（辆）通过总数（辆）标准车当量数(pcu)34分17秒-35分17秒21172022.535分17秒-36分17秒21192224.536分17秒-37分17秒1019202137分17秒-38分17秒31172124.538分17秒-39分17秒1020212239分17秒-40分17秒31131720.540分17秒-41

19、分17秒21172022.541分17秒-42分17秒1020212242分17秒-43分17秒2023252743分17秒-44分17秒13131719.544分17秒-45分17秒1016171845分17秒-46分17秒01212222.546分17秒-47分17秒1013141547分17秒-48分17秒41131822.548分17秒-49分17秒1018192049分17秒-50分17秒1022232450分17秒-51分17秒0416202251分17秒-52分17秒11171920.552分17秒-53分17秒13162022.553分17秒-54分17秒2017192154分

20、17秒-55分17秒1218212355分17秒-56分17秒31151922.556分17秒-57分17秒3017202357分17秒-58分17秒2017192158分17秒-59分17秒4191418.559分17秒-00分17秒21161921.500分17秒-01分17秒21161921.501分17秒-02分17秒21161921.502分17秒-03分17秒21192224.5说明：假设车辆通过交通事故发生的横切面的速度是相等的，缺失时间部分则按照时间缺失比例不足一分钟补足一分钟填充。小型车与中型车大型车的标准车当量数折算系数分别为1.5和2。处理后的数据即为我们计算时所要用到的

21、标准车当量数进行T检验的结果如图5图5从图5中可看出：（1）95%（a=0.05）置信区间-3.1855，2.3105包含t值（-0.339），接受原假设； （2）0.05<0.739<0.95；由此可以得出同一横断面交通事故所占车道1、2和2、3对该横断面实际通行能力影响并无显著性差异的5.3 问题3模型的建立与求解对于不同的路段来说，均存在一个最大通行能力。针对于城市道路基本路段而言，只有当其所有横断面的道路和交通条件都相同时，最大通行能力的分析对道路服务水平的评价才有意义。我们可以从视频1中观测出，交通事故的发生改变只发生在横断面处，它对交通流的影响并没有完全涉及到整个路段。

22、这种情况下，不论用产生“瓶颈”断面处的最大通行能力，还是未受到影响处的最大通行能力，其对路段通行水平的评价结果都不能真实地反映整个路段车流的运行质量。因此，在评价发生交通事故路段的服务水平时，使用传统的道路通行能力是不合适的。于是，本文将引用时空消耗的概念，定义广义道路通行能力，并给出城市道路事故路段通行能力的计算公式。5.3.1事故发生前的通行能力对视频1中由发生交通事故路段其长度和单方向行车道宽度为，可得在时间内，它的总体时空容量为： （15） 由该路段的单车道宽度为，车辆行驶的安全距离为，车辆的实行速度为，则按照标准车当量数计算过后的单位车经过该路段的时空消耗为： （16）假设每辆车速度

23、都相等，那么所有经过该路段的车辆的时空消耗都是相等的，则即为单车道的道路交通量为： （17）由（16）式可将（17）式变为 （18）对此路段所属的通行能力，则此路段的时空消耗的极限为 即单方向的道路的通行能力道路交通量为 由于时间T，路段的总体时空容量为 由和式消元可得出事故发生前的通行能力为 当公路的道路和交通条件不同于理想条件时，在时间内，道路的总体时空容量中产生了损失，道路想要保持原来的服务水平，即要保持最小的车辆时空消耗，它的通行能力就要有所下降。则由上面和2个式子可得结论下降后的通行能力应有5.3.2 事故发生后路段时空容量损失的计算由事故路段示意图我们可以看出该道路的基本路段长度为

24、，单方向车道数为，单方向车道宽度为，在道路上发生了一起交通事故，事故车辆占用道路宽度为，长度为，在道路上停留时间为，此时的路况见图7视频1中交通事故位置示意图图6图7视频1事故路段示意图假定车辆的到达率为，在同级服务水平上事故发生断面的通行能力为，事故车辆排除后，道路的疏散服务交通量为（即为道路在正常条件下的单方向通行能力）。(1)时空容量损失时间段的确定包括事故车辆在道路上停留的时间.(2) 时空容量损失的计算事故车辆占道时间内，排队车辆引起的时空容量损失式中，k为排队车辆平均占有道路长度。疏散排队车辆时间内，排队车辆引起的时空容量损失、式适用于车辆的最大排队长度小于事故发生地点上游路段长度

25、时的情况，当不满足这一条件时，超出上游路段的排队车辆则不应列入计算范围内，上述两项时空容量损失变为事故车辆占道时间内，下游路段时空容量损失。由于事故使得，将下游路段不被充分利用的道路空间假想为一条宽度为的空白路段，其长度随时间增长，增长的速度即为车辆行驶速度；到时刻时，由于事故车辆排除，其长度达到最大值。疏散排队车辆时间内，下游路段时空容量损失。在事故车辆排除后，宽度为的整个下游路段会逐渐被车辆所占用，占满空白路段所用的时间为，则事故车辆自身占用道路空间的时空容量损失。事故车辆自身占有的道路面积会在时间内产生时空容量损失，由于与整个路段长度相比较小，故可忽略不计。综上所述，在时间内，道路总体时空容量损失为：5.3.3车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系当时：将和带入（6）式中通行能力：当时：将和带入（6）式中通行能力：5.4问题四模型的建立与求解由问题三中的模型可得车辆排队长度：其中需要从视频1中交通事故发生后的交通量中取平均值，由表3中的数据得：表3视频1中事故发生之后标准车当量数/min样本数据编号12345678Qj24211915.521.5202122编号910111213141516Qj201923.520.52716.52624.5说明：1j16在交通事故之后,观测在某时间交通事故所处横断面距