北京市西城区2017届高三数学二模试题理

1、北京市西城区 2017 届高三数学二模试题 理第I卷（选择题共 40 分）、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.3 28 位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有 A 股票的人中，持有 B 股票的人数是持有 C 股票的人数的 2 倍.在持有 A 股票4x2=1(a0,b 0)的离心率是3,(A)1 2i(B)1 2i(C)2 i(D)2 i2 .下列函数中，值域为0,1的是(A) y/(B)y =si nx1(3y J(D)y = 1 - x4 5 6x +13 .在极坐标系中，圆=sin v的圆心的极

2、坐标是(A)(1二)(B)(1, 0)(C)（）1(D)(-, 0)22 224 .在平面直角坐标系中，不等式组1.在复平面内，复数z对应的点是Z（1,2），则复数z的共轭复数z =3x-2y0,3x一y一302(C)x二8y =0的人中，只持有 A 股票的人数比除了持有 A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1 在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票则只持有 B 股票的股民人数是（A）7（ B）6（ C）5（ D）4第n卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9执行如图所示的程序框图，输出的S值为_ .10已知等差数列a.的公差为2，且

3、ai, a2,成等比数列,则ai =_；数列a.的前n项和S. =_11 在厶 ABC中，角A,B , C的对边分别是a,b,c若A二n,a=匸 3 ,b=1，则c =12x12函数f(x) =2,X 0则f(1)=Jog2x,XA0.4(A) 1(B)-2(C)(D)25 设双曲线笃-a则其渐近线的方程为(A)x_2.,2y=0(B)2.2x_y =06 .设a,b是平面上的两个单位向量,(A)(B)7 函数f(x) =x|x|.若存在3a b.若R，则| a mb |的最小值是545(C) -( D)554x 1, ：)，使得f (x -2k) -k : 0,则k的取值范围是(A)(B)(

4、1/:)(D)8 有三支股票 A, B,1;方程f（-x）的解是2314.在空间直角坐标系O-xyz中，四面体A - BCD在xOy, yOz, zOx坐标平面上的一组正投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示）该四面体的体积是 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15 （本小题满分 13 分）已知函数f（x）=tan（x+n）13 .大厦一层有 A, B, C, D 四部电梯,3人在一层乘坐电梯上楼，其中2 人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有种.（用数字作答）4(I)求f (x)的定义域；(n)设B乏(o,n，且f(B)=2COS

5、(B_n)，求B的值.416.(本小题满分 14 分)如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF / CD ,AD _ FC.点 M 在棱FC上，平面 ADM 与棱 FB 交于点N.(I)求证：AD/ MN;(n)求证：平面ADMN_平面CDEF;(川)若CD _EA, EF =ED ,CD =2EF,平面 ADE 门平面BCF=1，求二面角A-1 -B的大小.17.(本小题满分 13 分)某大学为调研学生在A, B 两家餐厅用餐的满意度，从在A, B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了 100 人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60 分.整理评分数据，将分数以10为组距分

6、成6组：0,10),10,20),20,30),30,40),40,50),50,60，得到 A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下:分数0,30)30,50)50,60分数区间频数0,10):210,20)320,30)530,40)1540,50)4050,6035B 餐厅分数频数分布表5满意度指数012(I)在抽样的 100 人中，求对 A 餐厅评价“满意度指数”为0的人数；(n)从该校在 A, B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1 人进行调查，试估计其对 A餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率；(川

7、)如果从 A, B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由.18.(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点P(1,2).(I)求抛物线C的方程；(n)设点 A,B 在抛物线C上，直线 PA,PB 分别与y轴交于点 M,N ,| PM|PN |.求直线AB的斜率.19.(本小题满分 13 分)已知函数f (x) =(x2 ax - a) e1亠，其中a = R.(I)求函数f (x)的零点个数；(n)证明：a 0 是函数f(x)存在最小值的充分而不必要条件.20.(本小题满分 13 分)设集合A，n二1,2,3，山,2n (nN*

8、,n2).如果对于A的每一个含有m (m4)个元素 的子集P,P中必有4个元素的和等于4n 1,称正整数 m 为集合人.的一个“相关数”.(I)当n =3时，判断 5 和 6 是否为集合A的“相关数”，说明理由；(n)若 m 为集合 An 的“相关数”，证明：m-n-30；(川)给定正整数n.求集合A，n的“相关数” m 的最小值.西城区高三模拟测试6高三数学(理科)参考答案及评分标准72017.5一、选择题： 本大题共8 小题， 每小题5 分，共 40 分.1. A2.D3.C4.B5. A6. C7. D8.A二、填空题： 本大题共6 小题， 每小题5 分，共 30 分.29710.2,n

9、 n11.212._2 ;_、2或113 .3614.-3注：第 10, 12 题第一空 2 分，第二空 3 分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分15.（本小题满分 13 分）解：(I)由x -nk，得x=kn，Z. 3分424所以函数f(x)的定义域是xlxknK Z. 4 分4(n)依题意，得tan(B +n)=2cos(B 巧.44整理得sin( P +n) 2cos( P +n)1 = 0, 8 分44所以sin(P +n) =0，或cos(P +n)=丄.442严)，11 分因为（0,n，所以10由sin(B十n)= 0,得P +n4

10、由COS(T n)4所以n,12得434，一：12121316.（本小题满分 14 分）解：（I）因为ABCD为矩形，所以AD / BC , 1 分所以 ADII平面FBC. 3 分所以= 2sin(B +n), 7 分48又因为平面ADMN门平面FBC =MN,所以 AD / MN . 4 分(H)因为ABCD为矩形，所以AD_CD. 5因为AD _FC, 6 分所以 AD _平面CDEF. 7 分所以平面ADMN_平面CDEF. 8 分(川)因为EA_CD,AD _CD,所以CD_平面 ADE ,所以CD _ DE.由(n)得 AD _平面CDEF,所以 AD _DE .所以 DA ,DC

11、, DE 两两互相垂直.9 分建立空间直角坐标系 D - xyz . 10 分不妨设 EF =ED =1，则CD=2，设 AD 二 a (a .0).由题意得， A(a,0,0) , B(a,2,0) , C(0,2,0) , D(0,0,0) , E(0,0,1) , F(0,1,1).所以CB =(a,0,0) , CF =(0,-1,1).设平面FBC的法向量为 n= (x,y,z)，则n CB = 0 ax = 0n CB 0,即ax 0,令 z=1 ,y z = 0.n CF =0,所以 n = (0,1,1). 12 分 又平面 ADE 的法向量为 DC =（0,2,0），所以-、

12、|n DC |2|cos n,DC 卜| n |D?|2因为二面角A -1 - B的平面角是锐角，所以二面角A-l -B的大小 45；. 14 分17.（本小题满分 13 分）解：（I）由对 A 餐厅评分的频率分布直方图，得9对 A 餐厅“满意度指数”为0的频率为(0.003 0.005 0.012) 10 =0.2, 2 分所以，对 A 餐厅评价“满意度指数”为0的人数为100 0.2 =20.3 分(H)设“对 A 餐厅评价满意度指数比对B 餐厅评价满意度指数高”为事件C.记“对 A 餐厅评价满意度指数为1”为事件A1； “对 A 餐厅评价满意度指数为2”为事件A2； “对 B 餐厅评价满

13、意度指数为0”为事件Bo； “对 B 餐厅评价满意度指数为1”为事件B1.所以P(A1)=(0.02 0.02) 10 = 0.4,P(A2)=0.4, 5 分2+3 + 515 + 40由用频率估计概率得：P(B0)= =0.1,P(BJ=:- =0.55. 7100 100分因为事件Ai与Bj相互独立，其中i =1,2,j =0,1.所以P(C)二卩(人占0A2B0A2BJ二P(A1)P(B。) P(A2)P(B) P(A2)P(BJ= 0.4 0.1 0.4 0.1 0.4 0.55 = 0.3.10分所以该学生对 A 餐厅评价的“满意度指数”比对B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率为0

14、.3.(川)如果从学生对 A, B 两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：A 餐厅“满意度指数”X的分布列为:X012P0.20.40.4B 餐厅“满意度指数”Y的分布列为:Y012P0.10.550.35因为E(X) =0 0.2 1 0.4 2 0.4 =1.2;E(Y) =0 0.1 1 0.55 2 0.35 =1.25,所以E(X) E(Y),会选择 B 餐厅用餐.13分注：本题答案不唯一.只要考生言之合理即可.18.(本小题满分 14 分)10解：(I)依题意，设抛物线C的方程为y2=ax (a = 0). 1 分由抛物线C且经过点P(1,2),得a =4, 3 分所以抛物线C

15、的方程为y2=4x. 4 分(n)因为|PM|=|PN|,所以.PMN二.PNM,所以.1=2,所以 直线PA与PB的倾斜角互补，所以kpA- kpB=0. 6 分依题意，直线 AP 的斜率存在，设直线 AP 的方程为：y-2=k(x-1) (k = 0), 将其代入抛物线C的方程，整理得2 2 2 2k x -2(k -2k 2)x k -4k 4 = 0. 8 分2k 4k +44设A(X1$)，则1人2, % -“人-1) 22, 10 分kk2(k - 2)4所以A(2,-2). 11 分kk2以-k 替换点A坐标中的k，得B(-冬，_4一2). 12 分kk44()所以kABLk2

16、=.AB(k 2)2(k +2)22 2所以直线 AB 的斜率为-1. 14 分19.(本小题满分 13 分)解：(I)由f (x) =(x2 ax-a) e1*,得f (x) =(2x a) e1* -(x2ax-a) e1-x2(a2)x2a e1-(x a)(x -2) e1： 2 分令f (x) =0,得x = 2，或x= -a.所以当a = -2时，函数f (x)有且只有一个零点：x = 2;当a = -2时，函数f (x)有两个相异的零点：x = 2,x = -a. 4 分(n) 当 a=-2时，f (x) 0 时，f(x)的极小值为f(_a)二-aea0是函数f (x)存在最小值

17、的充分条件.10 分当a = -5时，f (x),f (x)的变化情况如下表:x(亠,2)2(2,5)5(5,畑)f (x)0+0f(x)极小值/极大值因为当x 5时，f(x) =(x2-5x 5)0,又f(2) = -eA：0,所以，当 a=5 时，函数f(x)也存在最小值.12 分所以，a0不是函数f(x)存在最小值的必要条件.综上，a0是函数f (x)存在最小值的充分而不必要条件.13 分20.(本小题满分 13 分)解：(I)当n=3时，A二1,2,3,4,5,6,4n 1=13. 1 分对于A的含有5个元素的子集2,3,4,5,6,因为2 3 4 5 13,所以5不是集合A的“相关数” .2 分12A的含有6个元素的子集只有1,2,3,4,5,6,因为13 4 13,所以6是集合A的“相关数” 3 分(n)考察集合 An 的含有n 2个元素的子集B珂n-1,n,n -1,2n. 4 分B中任意4个元素之和一定不小于(n -1) n (n 1) (n 2) =4n 2.所以n 2一定不是集合 An 的“相关数” 6 分所以当mn.即若m为集合 An 的“相关数”，必有m-n -30. 8 分(川)由(n)得mn，3先将集合An的元素分成如下n组