大学物理质点动力学0001

1、第2章质点动力学2. 1 牛顿运动定律一、牛顿第一定律任何物体都保持静止或匀速直线运动状态, 直到其他物体所作用的力迫使它 改变这种状态为止.二、牛顿第二定律物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比,与物体的质量成反比, 方向与合外力的方向相同.表示为 * f ma说明： 物体同时受几个力fi , f 2 fn的作用时,合力f等于这些力的矢量和.nf erefn力的叠加原理i 1 在直角坐标系中,牛顿方程可写成分量式fx max, fy may, fz maz0 在圆周运动中,牛顿方程沿切向和法向的分量式ft matfn man 动量：物体质量m与运动速度v的乘积,用p表示.p mv动量是

2、矢量,方向与速度方向相同.d pdt由于质量是衡量,引入动量后,牛顿方程可写成- d vf ma m一 出当吊0时,dp 0, dP 常量,即物体的动量大小和方向均不改变. dt此结论成为质点动量守恒定律三、牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等,方向相反,且在 同一直线上.说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力.四、国际单位制量纲根本量与根本单位导出量与导出单位五、常见的力力是物体之间的相互作用.力的根本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用.接力的性质来分,常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力.六、牛顿运动定律的应用用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：(1)隔离物体

3、,受力分析.(2)建立坐标,列方程.(3)求解方程.(4)当力是变力时,用牛顿第二定律得微分方程形式求解.例题例2-1如下列图所示,在倾角为30°的光滑斜面固定于水平面上有两物体 通过滑轮相连,mi 3 kg, m? 2 kg,且滑轮和绳子的质量可忽略,试求每 一物体的加速度a及绳子的张力Ft 重力加速度g取9.80m s2.解 分别取mi和m2为研究对象,受力分析如上图.利用牛顿第二定律列方程:m2 g Ft m2aYFt m1g sin 30o m1a绳子张力Ft Ft代入数据解方程组得加速度a 0.98m s 2,张力Ft 17.64N.例2-2如下图,长度为l的柔软细纯一端固

4、定于天花板上的 0点,另一端 拴一个质量为m的小球.先使纯保持水平,小球静止,然后小球自由下落.求小 球的速率和纯的张力.mg解：v l 出牛顿方程的切向和法向分量式dvv2mg cosmat m切向 T mg sinman m一法向dtl把牛顿方程的切向分量式两边分别乘以l d /dt和v,即gcos ld dtdv, v dt约去 dt 得 gl cos d vdv对上式积分,注意角度从0增大到 的同时,速率从0增大到v,有vgl 0 cos d 0vdv , gl sin得小球的速率为v ,2glsin代入牛顿方程的法向分量式,得纯的张力2vT m 一 mg sin 3mgsin可看出,

5、当/2时,即小球运动到最低点时绳子的张力最大.例2-3质量为m的小球在水中由静止开始下沉,设水对小球的粘滞阻力与其 运动速率成正比,即f kv,其中k为比例常数,水对小球的浮力为 B,求小球 在水中任一时刻的沉降速度设 t =0时,v=0o解、小球受重力P、粘滞力f及水的浮力B的作用,取竖直向下为坐标轴正 方向.如下图,根据牛顿第二定律得P f B ma即 mg kv B ma mdv 或 dtdv 出mg kv B m两边取定积分vdvtdi 得0 mg kv B 0 m11ln( mg kv B) ln( mg B) km由此求得：v mU(ikem)当t时,v汽史小球的终极速度,匀速下降

6、.2. 2 动量和动量守恒定律一、质点和质点系的动量定理1 .冲量和质点动量变化定理冲量：力的时间累积,即力对时间的积分,称为力的 冲量t2fdtt1质点动量变化定理根据牛顿第二定律,上式可写为d I fdt d p说明,在dt时间内质点所受合力的冲量,等于在这段时间内质点动量的增 量.将上式从L到t2对时间积分,得- t2 p2 I t fdt dpp2 PiL1p1说明,质点在一段时间内所受合力的冲量,等于在这段时间内质点动量的增量.称为质点动量变化定理应用质点动量变化定理的实例在一些过程中如碰撞,作用力随时间急剧变化,引入平均力的概念t2 -fdtt1t2t1It2t1P2 Pt2t1例

7、 质量为m 3000kg的重锤,从高度加 1.5m处自由落下,打击被锻压的工件后弹起的高度h2 0.1m.设作用时间t 0.01s,求重锤对工件的平 均冲击力解：设竖直向上为正方向.重锤与工件刚接触时的速度,等于从 h1 1.5m处自由落下的末速度.%. 2gh1重锤与工件作用t 0.01s后,弹起的速度等于竖直上抛h2 0.1m高度的初速度.V22gA以f代表在t时间内工件对重锤的平均反冲力,按动量变化定重锤0;(fmg) t mv2 mv12 hl,/h2mg(.1)mg工件重锤对工件的平均冲力3f f 3 109.81.5(928. 0.10.011)2.1 106N2.质点系的动量定理

8、由假设干个相互作用的质点组成的系统,称为质点系内力与外力内力：质点系内各质点之间的作用力叫内力.图中不和f ji就是一对内力.根据牛顿第三定律,由于它们大小相等方向相反,所以fij fji 0.由于内力总是成对出现,所以质点系内所有内力的矢量和一定等于零.即fijf12f21i,j(i j)f23f320 这是内力一个重要性质.外力：质点系以外的物体或场如重力场对系统内质点的作用力,叫做外 力.iiIIhF 外=f f1f2 质点系的动量质点系内所有质点的动量的矢量和称为该质点系的动量,用来表示.IIpPi甲Vi质点系中外力与动量的关系根据牛顿第二定律Tdvd pf ma m一 p mv f

9、dtdt又: F 外=f f1 f2-hd p - F 外=一dt质点系动量变化定理 把上式写成 F外dt dP并从L到t2对时间积分,得Pit2 .p2F 外 dt = d pPitip1系统所受合外力的冲量等于系统动量的增量-质点系动量变化定理说明：内力可以改变质点系内各质点的动量,但对系统的总动量没有影响.厢与轨道之间的摩擦力例2-6如图,一辆拉煤车以速率v 3m - s 1从煤斗下面通过,每秒钟落入 车厢内的煤为500k4假设使车厢的速率不变,应用多大的牵引力拉车厢忽略车解：用m代表在t时刻已落入车厢内的煤和车厢的总质量.经过dt时间又有质量为dm的煤落入车厢中取m和dm作为质点系.取

10、车厢行驶的方向作为正方向系统在t时刻的动量为 mv系统在t dt时刻的动量为 m dmv在dt时间内系统动量的增量dP m dmv mv根据质点系动量变化定理,注意到车厢速率不变,有dP dmF v一 dt dt把v 3m s 1和dm/dt 500kg - s 1代入上式得:3 一F 3 500 1.5 10 N、动量守恒定律假设质点系所受外力为零,F外=0,那么 0 , P 常矢量dt说明在惯性系中,当质点系不受外力作用或所受外力合力等于零时,质点系 的动量大小和方向都保持不变一一动量守恒定律.应用动量守恒定律时要注意：(1)合外力是指系统所受外力的矢量和.(2)假设合外力的矢量和不为零,

11、但外力沿某一方向的分量为零,那么该方向 上质点系的动量守恒.(3)在诸如碰撞、爆炸等问题中,由于冲击力很大、作用时间很短,此时 一般的外力(如重力)可以忽略.(4)动量守恒定律是自然界最重要、最普遍的定律之一,不仅适用于宏观物体,也适用于原子、分子、光子等微观粒子间的相互作用.例 如图,一颗质量为m的子弹以速度v沿水平方向射入一个用细绳悬挂的 质量为M的物体,并留在物体中.设子弹从射入物体到停在其中的时间极短, 求子弹刚停在物体中时的速度./a/解：取子弹和物体为质点系.系统不受外力作用,系统在水平方向上动量守恒.n v v M V设子弹刚停在物体内时的速 X 度为V.水平向右为坐标轴正向mv

12、 (m M )V , V时,V 02. 3功、机械能和机械能守恒定律一、功和功率1 .功初中时功的计算：W FS 恒力的方向与物体运动方向相同高中时功的计算：W FScos恒力与物体运动方向成 夹角.(1)功的定义：作用于物体的力在物体位移方向上的分量与该位移的乘积称为功(2)元功：作用在质点上的力一般与质点的位置有关(如抛体运动中,质点所受的重力与质点的位置)在质点作无穷小位移dr (元位移) 的过程中,可以认为力f的大小和方向 都不发生变化.把f,和dr的标量积称为力f对质点 做的元功,用dW表示dW f ?drf dr cos(3)功的计算:ba(L)f?drbtf cos dr a(L

13、)ba(L)ftds式中ft为切向分量,ds是与dl对应的路程2 .功率力在单位时间内所做的功,称为功率平均功率：P - t瞬时功率：当t 0时,平均功率的极限值即为t时刻的瞬时功率,简称功dW出由于dW f ?dr 0上式可写为f ?drf ?v fvcos瞬时功率等于力在速度方向的投影和速度大小的乘积,或说瞬时功率等于力矢量与速度矢量的标积.3.常见力的功重力的功质量为m的物体在地球 外表附近重力加速度g不 变从a经c运动到b,重 力对物体所做的元功dW F ?d s mg j ?(dxidyj) mgdy物体从cc-b,重力的功ybW mgdy (mg% mgya) ya假设物体从 cd

14、-b,重力的功仍然是上述结果.可见,重力的功与路径无关只与始末位置有关.弹力的功?"?Oab弹性系数为k的轻质弹簧水平放置, 一端固定,一端系一小球,以平衡位置为 原点.小球在任一位置受到弹力F kxi对位移dx的元功为dW F ? d x kxi ? dxi kxdx小球从位置a运动到b,弹力的功为b12 12W dW kxdx( kxb - kxa)a22结论：弹力的功只与始末位置有关,与路径无关.保守力某些力(重力、弹力、万有引力、静电力、分子力等),他们对物体做的功与路径无关,只由物体的始末位置所决定. 假设物体沿任一闭合路径运动一周, 这 些力做功为零,这类力称为 保守力.

15、摩擦力等做的功与路径有关,称为 非保守力或耗散力.二、动能和质点的动能定理1.动能和质点动能定理质点的动能表达式：Ek 1 mv22质点的动能定理ft所以有假设把f看成是作用在质点上的合力,那么牛顿方程的切向分量式为b“、ftdsb dv . m dsbm vdv1 2-mvb12一 mvaa(L)a(L)出a(L)22dvm一 出ds dtW用Ek2mv2代表动能,那么有W Ekb Eka即合力对质点所做的功等于质点动能的增量,称为质点动能变化定理 说明：(1)功与动能增量密切相关.外力对物体做正功,物体动能增大；外力对 物体做负功,物体动能减小；外力对物体不做功,物体动能不变.(2)功是过

16、程量,动能是状态量.无论通过什么过程做功,只要始末两状 态一定,动能增量与该过程的功一定相等.(3)动能与功有相同的单位,即焦耳(J)o但这是两个不同的物理量.(4)但凡用动能变化定理能解决的问题, 原那么上用牛顿第二定律也能解决, 但涉及位置与速率关系方面的问题,通常用动能变化定理比拟简便.例2-12用动能变化定理解例题2-2中小球的速率.解：小球下落过程中,绳子的张力垂直于小球的运动方向,因此不做功. 而重力做功.卜 * *W mg ? d l mg dl cos mgl 0 cos d mgl sin根据动能变化定理W Ekb Eka有12mgl sin mv的小球的速率 v 2glsi

17、n三、质点系动能变化定理对第i各质点应用动能变化定理Wi Eik Eiko式中Eik和Eik0分别代表质点的末状态和初状态的动能.Wi是合力做的功,它等于外力和内力对质点做功之和.即Wi Wi外W内对质点编号i并求和,得W 外 W 内EikEik0iiii所有外力和所有内力对整个质点系所做的功之和,等于系统总动能的增量.称为质点系动能变化定理.说明：在质点系中,内力的矢量和等于零,但它们作用在不同的质点上,各 质点的位移可能不同,因此内力做功之和可以不为零.四、势能保守力做的功与路径无关,意味着保守力的功只由系统的始、 末状态决 定.引入势能Ep的概念,系统在始、末状态的势能的差值表达了保守力

18、所 做的功.并定义：保守力所做的功,等于系统势能的减少.W保内Ep0 Ep1 .引力和引力势能质量分别为m1和m2的两个质点,n作用在m2上的引力为fGmm2? 式中r?为到m2的单位矢量.rm1rm2?*-x引力做功与路径无关,只与质点的始末位置有关.因此引力是保守力.与引力对应的势能是引力势能,引力势能为Gm1m2Ep r引力势能属于质点n和皿所组成的系统.两质点相距无限远处为零势能点.2 .重力和重力势能重力是物体在地面附近受到地球的引力.重力是保守力.与重力对应的势能是重力势能,重力势能就是地面附近的物体和地球的引力势能Ep mgh重力势能属于物体和地球组成的系统所有.通常取地面为零势

19、能点.3 .弹性力和弹性势能f0XaXb上图所示,小球由Xa移动到Xb的过程中,弹性力对它做了功.设弹簧的劲度系数为k,小球在任一位置X时,弹性力为f kX.小球由Xa移动到“的过程中,弹性力对它做的功Xb -Xb1212W x fdx* kxdx kxa - kxb可见,弹性力的功与弹簧伸长的路径无关,只决定于弹簧的始、末伸长量, 因此弹性力是保守力.与弹性力对应的势能是弹性势能.12Ep 2kx把弹簧处于自然长度定为零势能点.五、功能原理机械能守恒定律假设质点系在运动过程中只有保守内力做功,而外力和非保守内力的功等于零.那么有E E0常量说明：在只有保守内力做功的过程中,质点系的机械能保持

20、不变.这就是机 械能守恒定律.例用机械能守恒定律重解例2-2.解：在小球下落过程中,纯的张力不做功,只有重力做功.重力是保守力,因此机械能守恒.取O点为零势能点.根据机械能守恒定律,有0 mv2 mgl sin小球的速率 v 2glsin2. 4质点的角动量和角动量守恒定律矢量乘法：1 .点乘：乘号用一个点表示,两个矢量点乘结果为一个标量,称为标量积 如：A?b c A和B为矢量,c为标量.C的量值：C ABcos为A方向与B方向之间的夹角.在点乘中,有乘法交换率,如 A?B B?A C2.叉乘：乘号用积.如： ABCA、B和C均为矢量.C的量值：CABsin为用方向与B方向之间的夹角.C的方

21、向：按右螺旋法那么判定.在叉乘中,没有乘法交换率；Abba而有：A B B ( A) ( B) A假设B kE那么有 A B A kE=kA E、质点的角动量“X来表示,两个矢量叉乘结果为一个矢量,称为矢量如上图,某质点质量为m ,相对于0点的位置矢量为r ,动量为mv.将质点的位置矢量r和动量p矢量积,定义为质点对于0点的角动量l* I* *l r p r mv角动量的大小为 l rpsin mrvsin角动量的方向：当 <180°时,按右螺旋法那么判定.角动量又叫动量矩.如果质点绕0点做圆周运动, 按角动量定义,质点对0点的角 动量方向垂直于圆周平面,大小 为：I 2l m

22、rv mr其中 v r为圆周运动的角速度.注意：在定义一个质点的角动量时,必须明确指出是对哪个点而言惯性系中,牛顿第二定律:fd Pdt二、质点角动量变化定理用质点对于0点的位置矢量r叉乘上式两边得:g|v与p mv同方向,所以v p 0,上式可写成 -b- -trf -b-d p - - - d p d r r d (r p) d lr f r v p rp dtdt dtdt dt矢量积r f称为力f对0点的力矩,用M表小,有dlM dt力矩M的方向用右螺旋法那么判定,其大小为M rf sin为r与f小于180°的夹角.l =常矢量说明：在惯性系中当质点不受力,或对某一固定点所受合力矩为零时,这个质点对该固定点的角动量的大小和方向都保持不变一一叫 角动量守恒定理.例2-17证实关于行星运动的开普勒第二定律：行星相对太阳的位置矢量在相等时间内扫过相等的面积.积为dS.由于太阳作用在行星上的引力对太阳的力矩为零,所以行星对太阳的角动量的大小和方向都不变.角动量的方向不变行星沿平面运动轨道运动, 而且轨道平面的方位不变；角动量的大小不变是指l r