大学物理电场和电势几个典型模型

1、.积分法一.电场强度1.带电圆环例 电荷q均匀分布在半径为R的圆环上.计算通过环心点O并垂直圆环平面的轴线上任一点解 dE 一dl 24 %r24 %电(RdlE Ex dE cos 9dl24 兀©(Rxx2) , R2 x2qx2_2 324 兀o(xR )方向沿中轴线.q>0时,沿中轴线背离环心;q<0时,沿中轴线指向环心.qx22X324 %(x R )il讨论:qx24兀虱R0,R, E24九0xp处的电场强度. dlrx2)0 P dExdE各dq在P点的场强分布oX dE (材料15)思考：中轴线上场强在何处取得极大值Emah?入dE 八令 0dx即4&qu

2、ot;Emaxc 33x2R2)2.x2 R2) 0、2q27 0R22.带电圆盘及无限大带电平面例3有一半径为R,电荷均匀分布的薄圆盘,其电荷面密度为.求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点处的电场强度解：dExdqx 2 兀rdrE dE122x rx* x2r2)32 rdr22X3 2r )R0R2)4 兀%(x2 r2)322 % (xE方向沿中轴线0, E 0,E沿中轴线背离盘,0, E 0,E沿中轴线指向盘,dE方向沿中轴线rdr22X3 2r )E (12旬xR,2)R2 xR2沿中轴线无限大均匀带电平面的电场场强大小：E 92 0方向：垂直于带电平面材料16矢量式：E n2 0

3、n为带电平面的外法向单位矢量0() x限大均匀带电平面的电场为均匀电场.9xE (122)(沿中轴线)2 屯 x2R21xR29(2) xR,21 2、x2R2xf(n)(0)n公式：f (u)f(0) f (O)unn i n!m(1 u)m(m 1) 2 m( m 1)(m 2) 31 mu uu2!3!当 u 1 时,(1 u)m 1 muTV2 x1x R, (R/x)21,/1 (一)2 22x2 R2xe R q4 Ox4冗电x二高斯定理求电场1.无限长带电线例 设有一无限长均匀带电直线,单位长度上的电(rR)荷为.求距直线为r处的电场强度. 解对称性：轴对称°sE?dS

4、上E?dS 早dS 根 E?dS高斯面：闭合圆柱面c cc c入 10 0根EdS E2<l -解得 E (E r0)2兀6r2兀&r思考1：求：无限长均匀带电圆柱面在空间中的场强分0 (r布(带电柱面的半径 匚为R,电荷面密度为(T,或 E R 单位长度柱面电量为 “)0r 20r思考2:两个共轴的无限长均匀带电圆柱面,半径分别为RPR2 ;单位长度电量分别为 刀1、n 2求空间中的场强分布.(rRi)20r(RiR2)一r°0r2 0r(rR2)2or".(r R)(R r R2)(r R2)如果要使r>R2的空间内无电场,对刀1、刀2有什么要求?1

5、.无限大均匀带电平面例 设有一无限大均匀带电平面,电荷面密度为,求距平面为r处某点的电场强度.教材P344例10.4.2 解对称性：轴对称高斯面：闭合圆柱面E?dSE?dSSE S E SE 2 多矢量式 E n2 0 A|川阖例 设有一半径为R,均匀带电Q的球面.求球面内外任意点的电场强度.解 对称性：球对称高斯面:r>R,据高斯定理,有_ _2E?dS EdS E4 rSS解得 E Q 40rr<R,据高斯定理,有c c20 E?dS E4 r2 一S0解得 E 04qiq220r(rR2)4均匀带电球体Qr 4 0R3 E Q 4 °r2【矢量式：r R, Er R

6、, E思考：内半径为R,(r R)(rQr3104 oRQ 2J4 or外半径为0 (r R)电量为q的均匀带电球壳内外的场强分布?E33q r R2334 or R2Ri(R rR2)q4 or2(r R2)I4|<| 川邪5.无限长均匀带电柱体例：有一无限长均匀带电圆柱体,电荷体密度为prrE,写出柱体内外的场强表达式?E?dSS解得EE2 rlr2lR,sE?dSE2 rl解得R2R2l02 oR2(rR)2 or(rR)R2 ro 2 or(r(r R)R)思考1:如果单位长度柱体的电量为入,写出柱体 内外的场强表达式R2 1r2 oR2(r R)2or(r R)思考2:内外半径

7、分别为R1, R2的无限长均匀带电厚圆筒,电 荷体密度为p ,求空间中的场强分布.o(r R)22、E (； Rl)(R r R)2 or22(R2-(r R)2 0r.电势例1正电荷q均匀分布在半径为 郎勺州g圆环 上.求环 轴线上距环心为x处的点P的电势.教材P356例10.5.5解 dUdqdl_dU2xdq , U dU4兀电r.R24兀,4兀0例2求均匀带电圆平面薄圆盘中轴线上任意点的电势.电荷面密度为T.dU2 Tirdr22x rrdrrdr2 0 x2 r2讨论:x0, UoR22rR2 o(R)2x2xxP x22x rR2x)q2 %R_RR2R24兀ox例3真空中有一电荷

8、为Q,半径为R的均匀带电球面.试求：球面内外的电势分布.解法一：UE?dlp由高斯定理可得(教材 P355例 10.5.4)0E Q4 02(rE?drR)R)2r 4 0rdr等效于全部电荷集中于球心的点电荷产生的电势.r R,U .E?drQ dr _Q_ (等势区)R4 0r24 0RQ4 oRREdr 0drPr(r R)(r R)Q 4 0r注:电势的分布总是连续的!A|>l|到R R R2 r2 2Rr cos 2 0r0解法二：dU dq ,U dU 40rdSR4 ° Jr2 r2 2Rr cos2 ,R2sin d d ：00 4 0 . R2 r2 2Rrc

9、os 22 R2 1d(R2 r2 2Rr cos ) 0 2Rr 0 r2 r2 2 Rr cos sin d ddqdSR2 sin d ddudq40rR2 sin d dA|川邰RU-(R r) (R2 0rr R, RU (R r) (R 2 0rr)r)R c R Q 2r2 0r04 0RRR2Q2R 2 0r0r4 0rU JRI22Rr cos2 0r0R 、(R r)2(R r)22 0rr R,思考：r R1, Uq1q21 (q140R140R240 RiRi r R2, U q1q2 1 (q140r 40R240 rq1q2q1 q2r 2,40r 40r 40r假设 q q2 u 0q2R2q2R2A|>l哪例4求：电荷线密度为 的无限长均匀带电直导线