线代讲义和习题

1、1、 求过点（1，1，0）且与直线平行的直线方程。2、 求过点（1，2，1）且与平面垂直的直线方程。3、 计算行列式4、 计算行列式5、 计算行列式6、 设矩阵，表示它的转置，且33矩阵满足, 求矩阵。7、 设方阵满足，证明可逆，并求。8、 已知向量组： 求出该向量组的一个极大线性无关组，并把其余的向量表示为这个极大线性无关组的线性组合。9、 已知向量组，求出该向量组的一个极大线性无关组，并把其余的向量表示为这个极大线性无关组的线性组合。10、 已知向量组求出该向量组的一个极大线性无关组，并把其余的向量表示为这个极大线性无关组的线性组合。11、 设矩阵，求正交矩阵使为对角矩阵。（要求写出正交矩

2、阵和相应的对角矩阵）。12、 设矩阵. 求正交矩阵使为对角矩阵。（要求写出正交矩阵和相应的对角矩阵）。13、 设向量组线性无关。证明：向量组也线性无关。14、 证明实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是它的特征值都是正数。15、 证明如果一个正交矩阵是正定矩阵，那么它必为单位矩阵。16、 求参数t取什么值时，下面的线性方程组有解，并在方程组有解时求出它的通解。（要求把解写成向量的形式）17、 求参数t取什么值时，下面的线性方程组有解，并在方程组有解时求出他的通解。（要求把解写成向量的形式）。作者：王长群第一章 向量代数（一）本章学习目标了解空间直角坐标系、向量的概念；理解向量的线性运算和数量积、向量

3、积、混合积；熟练掌握向量的坐标运算，会用向量的坐标计算向量的线性运算、向量的数量积、向量积、混合积等；理解平面的法向量、直线的方向向量，会求平面的方程（包括点法式方程），直线的点向式方程；会求点到平面的距离。（二）本章重点、要点1 了解空间直角坐标系、向量的概念，把握自由向量的概念；2 理解向量的线性运算（加法、数乘）及其运算规律；3 理解向量的数量积、向量积、混合积的定义、几何意义和性质；掌握两个向量共线、三个向量共面的充要条件；4熟练掌握向量的坐标运算公式，会用向量的坐标计算向量的线性运算、向量的数量积、向量积、混合积等；5 理解平面的法向量，会求平面的方程（包括点法式方程），会利用平面的

4、法向量判断空间中两个平面平行、垂直等的位置关系，会求点到平面的距离；6 理解直线的方向向量、直线的点向式方程。（三）本章练习题或思考题：1 求一个单位向量，使它与向量（1，2，3）和（1，1，1）都垂直。2 求一个单位向量，使它与向量（1，2，2）平行。3 求过点（1，1，1）平面x + 2y + 3z + 4 = 0的垂线方程。4 求过点（1，1，0）且与平面x + 2y + 3z + 4 = 0平行的平面方程。5 求过点（1，1，0）且与直线平行的直线方程。6 求过点（1，-1，2）且与两个平面x + y + z +8 = 0和x + 2y + 3z + 4 = 0都垂直的平面方程。第二章

5、 行列式（一）本章学习目标理解行列式、余子式、代数余子式的概念；熟练掌握行列式的性质与行列式按行（列）展开定理，会用行列式的性质与行列式按行（列）展开定理计算行列式。（二）本章重点、要点1行列式的定义：1）余子式：原来行列式中划去一个元素所在的行和列所得到的低一级的行列式叫该元素在原行列式中的余子式。2）代数余子式：（i，j）-元素的代数余子式等于（-1）i+jM，其中M为（i，j）-元素的余子式。注：（1）注意代数余子式与余子式可能会差一个符号；具体地说，是否会差一个符号取决于该元素在行列式中的位置。（2）行列式一个元素的（代数）余子式与该元素没有关系，但与该元素所在的行列以外的元素有关。3

6、）行列式的定义：n阶行列式的值定义为第一列的元素分别与它们的代数余子式的乘积之和。2行列式的性质：1）行列式与它转置行列式相等，即D = D. 所以行列式中行、列的位置是对等的。2）互换行列式的两行（列）的位置，行列式反号。3）行列式的两行（列）相同，行列式为0.4）用数k乘以一个行列式，等于用数k乘以该行列式的一行（列），即行列式一行（列）的所有元素的公因数可以提到行列式符号外面。5）两行成比例，行列式为0.6）如果行列式的某一行（一列）的元素可以拆分为两行（两列）的和，那么该行列式也可以拆分为两行列式的和。7）行列式的一行（一列）加上另一行(另一列)的任意常数倍，行列式值不变。3 按行、列

7、展开定理（1） n阶行列式的值等于任意一行（列）的元素分别与它们的代数余子式的乘积之和；（2） n阶行列式的一行（列）的元素分别与另一行（列）的元素的代数余子式的乘积之和等于0.4. 克拉默法则对于方程个数与未知量个数相等的线性方程组，如果它的系数行列式d不为0，那么它有唯一解，并且, 其中是把系数行列式d的第j列换为常数项列所得到的行列式。5行列式的计算主要是利用行列式的性质、按行（列）展开定理去：（1） 化成三角形行列式（2） 降阶，即，把一个高阶行列式的计算问题转化为一个底阶行列式的计算。（三）本章练习题或思考题：1 计算行列式（1）；(2)；（3）；（4）；（5）；（6）第三章矩阵（一

8、）本章学习目标1理解矩阵、同型矩阵、矩阵的相等、零矩阵、方阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、上（下）三角形矩阵、负矩阵、阶梯形矩阵的概念；2 掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置、幂及其运算规律；3 理解对称矩阵、反对称矩阵的概念，会进行分块矩阵的运算；4 理解可逆矩阵、逆矩阵、矩阵的行列式、伴随矩阵，会用伴随矩阵求逆矩阵的方法；5 熟练掌握矩阵的初等变换、初等矩阵的概念以及它们的联系，理解矩阵的等价和等价标准形，会用初等变换法求逆矩阵。（二）本章重点、要点1 矩阵的概念与行列式的区别：(1) 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，它的行数和列数必须相同.

9、而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.(2) 从相等的定义上看，两个矩阵相等要求它们的行数、列数分别都相等，并且对应元素也相等，而两个行列式相等只要求它们通过计算所得的值相同，对它们的行数、列数没有要求.几个概念：（1）n 级矩阵（方阵），方阵的主对角线；（2）上（下）三角矩阵；（3）对角矩阵；（4）数量矩阵；（5）单位矩阵；（6）零矩阵；（7）负矩阵；（8）阶梯形矩阵：每一行从第一个元素到第一个不为零的元素的下方全为零，并且，全为零的行位于非零行的下方.2 矩阵的运算（I）矩阵的加法 设有两个mn 矩阵，则定义矩阵和的和为 矩阵加法满足如下法则：（1） ；（2）；（3） ；（4） （

10、II）数量乘法（数与矩阵相乘）一个数与一个矩阵的乘积记作，定义为数乘矩阵满足下列运算法则：(1) ；(2) ； (3) ；（4）.（III）矩阵的乘法 给定矩阵， ，矩阵A和B的乘积C是一个阶矩阵，其-元素为矩阵A的第i行元素和矩阵B的第k列对应元素乘积的和，即=矩阵的乘法满足下列运算法则：（1） 结合律 ； （2） 分配律 ；.（3） 对任一数 ，有 .注1：矩阵乘法一般不满足交换律.有意义，未必有意义；即使都是n级方阵，和也未必相等.注2：推不出. 例如 满足矩阵乘法一般不满足消去律，即，推不出.方阵的幂、多项式（IV）矩阵的转置 矩阵的转置就是行、列互换.即 对称矩阵： 对称矩阵具有形式

11、 反对称矩阵： 反对称矩阵具有形式对称矩阵、反对称矩阵必定是方阵.矩阵的转置具有下列性质：1. ；2. ； 3. ； 4. . 3 逆矩阵对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B，使 ，则说方阵A是可逆的，并把方阵B称为A的一个逆矩阵，这里，E为n阶单位方阵.如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，记为命题 设方阵，令，其中 为行列式中元素的代数余子式.验证.定理 方阵A是可逆的充分必要条件是A是非奇异的,即，矩阵A对应的行列式.且在A可逆时有. 这里，为A的伴随矩阵， 为行列式中元素的代数余子式.推论 若（或 ），E是单位方阵，则A可逆,且 .逆矩阵的性质 （1）若A可逆，则 亦可逆，且 .（2）

12、 若A可逆， ，则 可逆，且 .（3） 若A，B为同阶方阵且均可逆，则AB亦可逆，且 .（4） 若A可逆，则亦可逆，且 . 4 矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的初等变换包括初等行变换和初等列变换.三种类型：（1） 互换两行（列）的位置；（2） 用非零的常数去乘某一行（列）；（3） 把一行（列）的倍数加到另一行（列）.初等变换是可逆的.矩阵的等价：矩阵的等价指它们可以通过一系列初等变换互变.初等矩阵：单位矩阵E通过一次初等变换所得到的矩阵.三类初等矩阵：；定理 设A是sn矩阵.对A作一次初等行变换，相当于在A的左边乘以一个相应的初等矩阵；对A作一次初等列变换，相当于在A的右边乘以一个相应的初等矩阵

13、.定理 设A是sn矩阵.则A可以通过一系列初等行变换化为阶梯形矩阵.特别，A可以通过一系列初等变换化为如下的标准形（等价标准形）推论 设A是n级可逆矩阵，则它的等价标准形是单位矩阵En, 即A可以写成一系列初等矩阵的乘积.因此，A可以仅通过一系列初等行变换化为标准形En. 用初等变换方法求逆矩阵 ：给定n级矩阵A，构造n2n矩阵，并对作一系列初等行变换，把化成，即注意：（1）用初等变换方法求逆矩阵时，只能对作初等行变换，而不能对作初等列变换.（2）设A是n级可逆矩阵，如果求解，可以；如果求解，可以.（三）本章练习题或思考题：1 下面的矩阵哪些是阶梯形矩阵？，2若A可逆，且A对称，证明亦对称.3

14、若可逆，证明伴随矩阵亦可逆.4设矩阵，（1）如果33矩阵满足, 求矩阵.（2）如果33矩阵满足, 求矩阵.5设方阵满足，证明和都可逆，并求和.6（1）设，求.（2），求.第四章 线性方程组（一）本章学习目标1 理解线性方程组的解、系数矩阵、增广矩阵的概念，熟悉线性方程组的矩阵形式；2 掌握 n维向量、向量相等及向量的运算、n维向量空间、内积、欧氏空间；3 理解 Pn中向量组的线性表出与线性组合、线性相关、线性无关的定义，及判断、添加向量（向量的分量）对原向量组线性相关性的影响、两个向量组的线性表出与它们各自的线性相关性的联系。4 理解极大线性无关组的概念及性质、向量组的秩、矩阵的秩，熟练掌握求

15、一个向量组的极大线性无关组，会求矩阵的秩、向量组的秩。5 掌握矩阵可逆的几个充要条件；6 掌握线性方程组有解的判定定理；7 掌握齐次（非齐次）线性方程组解的结构，熟练求齐次线性方程组的基础解系，会用导出组的基础解系和一个特解表示非齐次线性方程组通解（一般解）。（二）本章重点、要点1 向量空间n个有顺序的数所组成的有序数组（）或者分别称为一个n维行向量、列向量，记作（）或者 其中数 叫做向量 的分量（或坐标）.称第i个数为向量 的第i个分量（或坐标）. 分量是实数的向量称为实向量；分量是复数的向量称为复向量（我们仅对实向量进行讨论）. 我们一般用 来表示向量，也可用 来表示向量. 注：一个n维行

16、向量就是一个1n 矩阵，称为行矩阵；一个n维列向量就是一个n1 矩阵，称为列矩阵. 它们是不同的.2. 向量相等：(与矩阵类似)如果两个n维向量 （），（） 的对应分量分别相等，即，则称向量与相等，记为=.3. 零向量 （对比零矩阵）n个分量都是零的向量，叫做零向量，记作0，即0=（0，0， ，0）4. 负向量 （对比负矩阵）设向量 （），则称向量（） 为向量 的负向量，记作 . 显然向量 也可是向量 的负向量. 向量的运算:加法、数乘都与矩阵类似设（），（）,则（）, （）2 线性相关性(I) 线性方程组的向量形式：(II)线性组合、线性表出设是n维向量.如果存在一组数使则称是的一个线性组合

17、，或称可以由线性表出，称为表出系数.注：（1）如果 或，则称成比例.（2）任意n维向量可以由单位向量组线性表出.(3) 零向量可以由任意向量组线性表出.(4) 向量组中任意一个向量可以由向量组线性表出.(5) 线性方程组 有解的充要条件是可以由线性表出.(III) 向量组的等价向量组可以由向量组线性表出是指每个向量可以由向量组线性表出. 向量组与向量组等价是指它们可以互相线性表出.注:向量组的任意一个部分组可以由原向量组线性表出. 向量组等价的性质: (1)反身性;(2)对称性;(3)传递性.(IV)线性相关与线性无关定义:设向量组. 如果存在某个向量可以由向量组剩余的个向量线性表出,则称向量

18、组是线性相关的. 如果向量组中任意一个向量都不能由向量组剩余的向量线性表出,则称向量组是线性无关的.对于单个向量构成的向量组,我们规定:当时它是线性相关的, 当时它是线性无关的.注: (1)含有零向量的向量组是线性相关的. 反之不真.(2)如果向量组的一个部分组线性相关,则整个向量组也线性相关;如果一个向量组线性无关,则它的任意一个部分组也线性无关. 反之不真.（3）两个向量线性相关当且仅当它们成比例.（4）在几何空间R3中两个向量线性相关当且仅当它们平行; 三个向量线性相关当且仅当它们共面.定理1 (1) 向量组是线性相关的当且仅当存在不全为0的数使.(2) 向量组是线性无关的当且仅当从可以

19、推出.例 单位向量组是线性无关的.定理1 (1) 向量组是线性相关的当且仅当齐次线性方程组 有非零解.(2) 向量组是线性无关的当且仅当齐次线性方程组 仅有零解.说明: 如果向量组是列向量组,则 的系数矩阵就是; 如果向量组是行向量组,则 的系数矩阵就是.注:线性无关的向量组添加若干个分量所得到的延长向量组也是线性无关的; 线性相关的向量组去掉若干个分量所得到的缩短向量组也是线性相关的.定理2 设向量组(): 可以由向量组():线性表出,且向量组()比向量组()中的向量个数多(即),那么向量组(): 是线性相关的.推论1 设向量组(): 可以由向量组():线性表出, 且():线性无关,则.推论

20、2 任意n+1个n维向量必定线性相关.推论3 两个线性无关的等价向量组所含向量个数相同.注: 两个等价向量组所含向量个数未必相同.定理3 设向量组是线性无关的,添上向量所得到的新向量组是线性相关的,则向量可以由向量组线性表出,且表示法唯一.5 极大线性无关组定义1 设是的一个部分组，并且线性无关.如果再添上向量组中的任意一个向量，那么都是线性相关的，则称是的一个极大线性无关组（极大无关组）.定义1 设是的一个部分组，并且线性无关.如果对向量组中的任意一个向量，向量可以由向量组线性表出，则称是的一个极大线性无关组（极大无关组）.定义1设是的一个部分组，并且线性无关.如果部分组与向量组等价，则称是

21、的一个极大线性无关组（极大无关组）.定理 （1）一个向量组的任意一个极大线性无关组与原向量组等价；（2）一个向量组的任意两个极大线性无关组等价；（3）一个向量组的任意两个极大线性无关组都含有相同个数的向量.6 向量组的秩定义 一个向量组的极大线性无关组含有的向量个数叫做原向量组的秩，记.注：（1）当且仅当向量组是零向量组（即）；（2）当且仅当向量组是线性无关的.定理 等价的向量组的秩相等.注：（1）等价的向量组的向量个数未必相同；（2）两个秩相等的向量组未必等价；（3）如果一个向量组可以由另一个向量组线性表出，那么这两个向量组等价的充要条件是它们的秩相等.命题 设是矩阵的列向量组，矩阵通过一系

22、列初等行变换变成，那么中向量的线性关系与中向量的线性关系相同，即方程组与同解.因此，是的一个极大线性无关组当且仅当是的一个极大线性无关组，且中其余向量用线性表出的表出系数与中对应的其余向量用线性表出的表出系数相同.7 矩阵的秩定义 一个矩阵的行、列向量组的秩分别叫做它的行秩、列秩。定理 任意矩阵的行秩与列秩相等，叫做矩阵的秩，记做.注：(1)初等变换不改变矩阵的秩。(2)；。定义 设，。任取的行列所得到的个元素按原来的次序所排列成的阶行列式叫做的一个级子式。定理 一个矩阵的秩为的充要条件是它有一个非零级子式并且它的所有级子式（如果存在的话）全为零。注：（1）阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的行数。

23、（2）n级矩阵A可逆的充要条件是它的秩等于n.（3）n级矩阵A = 0指它的秩为0；n级矩阵A的行列式为 0指它的秩小于n. 如何求矩阵的秩：（1） 用初等变换把矩阵化成标准形。那么的秩就等于标准形中1的个数（即左上角分块单位矩阵的级数）。（2） 用初等变换把矩阵化成阶梯形矩阵。那么的秩=，等于阶梯形矩阵非零行的行数。 8 消元法求线性方程组的解 （1） 线性方程组的系数矩阵、增广矩阵、解（向量）；（2） 用消元法求线性方程组的解相当于对线性方程组增广矩阵作初等行变换；（3） 定理 设线性方程组的未知量个数为n，系数矩阵的秩为r. 那么 当 时，方程组有解： 时有唯一解； 时有无穷多解，且含有

24、个自由未知量。当时，方程组没有解。线性方程组有解的判定定理： 线性方程组有解当且仅当它的系数矩阵与增广矩阵的秩相等；（4） 齐次线性方程组的解命题 齐次线性方程组的解的倍数仍然是解；齐次线性方程组的两个解的和仍然是解。所以齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是解。齐次线性方程组的基础解系：解向量组；线性无关；可以线性表出齐次线性方程组的任意一个解。定理 设齐次线性方程组的系数矩阵的秩为r，未知量个数为n。如果，则齐次线性方程组有基础解系，且任意一个基础解系含有n-r个解向量；如果，则它没有基础解系。注1：齐次线性方程组的基础解系就是解集合的极大线性无关组。所以基础解系如果存在的话，一定是不唯一

25、的。注2：设是齐次线性方程组的基础解系，那么齐次线性方程组的通解可以写成，其中是任意常数。注3：设是齐次线性方程组的任意n-r个线性无关的解向量，那么是齐次线性方程组的基础解系。（5） 非齐次线性方程组的解齐次线性方程组叫做非齐次线性方程组的导出组。命题 设是非齐次线性方程组的任意一个解，是导出组的任意一个解。那么也是非齐次线性方程组的一个解；设是非齐次线性方程组的任意两个解，那么是导出组的一个解。定理 设是非齐次线性方程组的导出组的基础解系，是任意取定的一个特解，那么非齐次线性方程组的通解可以写成，其中是任意常数。 （三）本章练习题或思考题：1 判断下列向量组的线性相关性：（1），（2）2求

26、,的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出.（1）（2）.（3）.3求矩阵的秩：（1）；（2）.4求 的基础解系和通解。5求参数取什么值时，下面的线性方程组有解，并在方程组有解时求出它的通解。（要求把解写成向量的形式）（1）； （2）；(3) .第五章 特征值（一）本章学习目标1 掌握矩阵的特征值、特征向量的定义及计算计算方法，了解特征子空间的概念；2 掌握相似矩阵的概念及性质，掌握矩阵相似于对角阵的充要条件，会求逆矩阵T，使得T1AT为对角形矩阵；3 理解正交向量组、正交基、标准正交基、正交矩阵的概念，会施密特正交化；4 熟练掌握对于实对称矩阵求正交阵T，使得T1AT使得T

27、AT为对角阵.（二）本章重点、要点1 矩阵的特征值与特征向量（1） 定义 设A为n级矩阵。如果存在数和n维列向量，使得 ，则称为A的一个特征值，叫做A属于特征值的特征向量。（2） 方阵的特征多项式=。特征方程=0（3） 计算矩阵的特征值与特征向量求出特征方程=0的所有根（特征根），它们就是所有的特征值。 对每个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，它就是矩阵A属于特征值线性无关的特征向量。注1：n级复矩阵必有n个复特征值，而n级实矩阵未必有n个实特征值。例如有复特征值，但是它没有实特征值。注2：如果是的一个基础解系，那么，并且就是A属于特征值的全部特征向量。注3：设是n级矩阵的n个特征值（

28、重根按重数计算），那么（1）=；（2）=。2 相似矩阵（1） 定义 设A, B为n级矩阵。如果存在n级矩阵C可逆,使得 B=C-1AC，则称A与 B相似，记为A B.（2） 性质 相似必等价，所以相似矩阵的秩相等； 自反性； 对称性； 传递性；定理 相似矩阵的特征多项式相同； 相似矩阵的行列式相同； 相似矩阵的特征值相同； 相似矩阵的迹（即主对角线上所有的元素之和相等）。注：反之不成立。例与的特征多项式、特征值、行列式、迹都分别相同，但是它们不相似。（3） 对角化问题定理 设A为n级矩阵，那么A相似于一个对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。注：设A相似于一个对角矩阵，是A的n个线性

29、无关的特征向量，相应的特征值分别为，（这里中允许某些相等）。令，则可逆，并且。定理 设A为n级矩阵，那么A相似于一个对角矩阵的充要条件是 A有n个特征值（重根按重数计算）； 对每个特征值，它的重数等于。定理 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。注1：设A为n级矩阵，A有s个互不相同的特征值。对于每个特征值，A有个线性无关的特征向量。那么，把这个特征向量合起来仍然是线性无关的。注2：设A为n级矩阵，A有n个互不相同的特征值，则A相似于一个对角矩阵。反之不然。3 殴氏空间（1） 内积在殴氏空间Rn中，,我们规定这两个向量的内积。性质：内积是一个非负的对称双线性函数。向量的长度：设，则。单位向量：

30、向量的长度为1。向量的正交：如果，则称这两个向量正交。（2） 正交矩阵 正交向量组：向量组中的向量两两正交，并且不包含零向量。命题 正交向量组必是线性无关的。 正交矩阵：设A为n级实矩阵，如果（或者说），则称A为一个正交矩阵。命题 设A为n级实矩阵，则A为一个正交矩阵的充要条件是下列都成立：（）矩阵A的行（列）向量组是一个正交向量组；（）矩阵A的行（列）向量组是单位向量组。（3） Schmidt正交化设向量组线性无关，那么向量组为正交向量组，并且与等价。4 实对称矩阵的对角化命题 （1）实对称矩阵的特征值都是实数。（2） 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的。定理 对任意一个n级实对称

31、矩阵A，总存在一个正交矩阵T，使得 注1：对角矩阵的主对角线上的元素恰好是实对称矩阵A的全部特征值。注2：正交矩阵T的列向量组恰好是实对称矩阵A的特征向量组，并且排列的次序与对角矩阵特征值的排列次序一致。（三）本章练习题或思考题：1 求下列矩阵的特征值和特征向量，并判断下列矩阵是否与对角矩阵相似。如果矩阵相似于对角矩阵，写出可逆矩阵T，使得为对角矩阵。（1）； (2) ；（3）.2 求一个正交矩阵T，使得为对角矩阵。（1）；（2）；（3）；（4）.第六章 二次型（一）本章学习目标1 理解二次型的矩阵的概念；2 理解二次型的标准形、线性替换、正交替换、矩阵的合同、对称矩阵的合同标准形的概念，会用

32、非退化线性替换化二次型为标准形，熟练掌握用正交替换化二次型为标准形；3 理解二次型的规范形，理解复二次型的规范形、实二次型的规范形、正惯性指数、负惯性指数、符号差，会求复、实二次型的规范形；4 掌握正定二次型、正定矩阵的概念、判断实二次型的有定性（或实对称矩阵的有定性）、顺序主子式、矩阵正定的充要条件。（二）本章重点、要点1 二次型的矩阵（1） 二次型：（2） 二次型的矩阵：设二次型= （）=，其中，。对称矩阵叫做二次型的矩阵。注1：通过二次型的矩阵，二次型与它的矩阵互相唯一确定。所以我们可以通过二次型的矩阵去研究二次型。注2：设，不对称，那么仍然是一个二次型，它的矩阵不是而是。（3） 标准二

33、次型：二次型显然，一个二次型是标准二次型的充要条件是它的矩阵是对角矩阵。2 二次型的标准形（1） 线性替换：，或写成。 非退化线性替换：，C可逆。正交替换：，C正交。（2） 矩阵的合同：设A, B是n级矩阵。如果存在n级可逆矩阵C使得，则称A与B合同。矩阵合同的性质：自反性；对称性；传递性；合同的矩阵必等价，因此合同矩阵的秩相等。命题 通过非退化线性替换，C可逆，二次型，的矩阵A变成以为矩阵的二次型。（3） 用非退化线性替换化二次型为标准形（配方法）；（4） 用正交替换化二次型为标准形（通过特征值理论）3 实二次型的规范形 惯性定理 任意一个实二次型都可以通过非退化线性替换化成如下标准形： =

34、，其中，。并且，规范形是由原二次型唯一确定的。我们称k为的正惯性指数，为二次型的负惯性指数，正惯性指数与负惯性指数的差叫的符号差。4 正定二次型与正定矩阵 定义 设实二次型的矩阵是A。如果对于任意一组不全为零的实数，都有，则称二次型是正定二次型，也称实对称矩阵A是正定矩阵。定理 设实二次型的矩阵是实对称矩阵。那么下列条件彼此等价：（1）A是正定矩阵。（2）A与单位矩阵E合同，即存在可逆矩阵C，使得。（3）A的所有特征值都是正数。（4）A的所有顺序主子式都是正数，即对于，A的k级顺序主子式。正定矩阵的性质：1 设A, B都是n级正定矩阵，那么A+B也是正定矩阵。2 设A是n级正定矩阵，那么A-1也是正定矩阵。3 设A是n级正定矩阵，那么|A|0.4 设A是n级正定矩阵，那么与A合同的矩阵也是正定矩阵.（三）本章练习题或思考题：1写出下列二次型的矩阵。（1）；（2）2设A, B都是n级正定矩阵，证明：（1）A+B也是正定矩阵；（2）A-1也是正定矩阵.（3）|A|0.3求一个正交替换，使得下列二次型为标准形。（1）；（2）.4证明实对称矩阵正定的充要条件是它的特征值都是正数。附：章节练习题答案第一章1 （1，2，3）（1，1，1）=（-1，2，-1），所求的单位向量为