存在性与恒成立

1、知识点梳理专题练习包成立存在性问题8、设函数 f x、g x ,存在 Xia , b ,存在 x?c, d ,使得 f xg x2,那么 fmm x g max1、恒成立问题的转化:包成立 a fxmaxf x恒成立 a f x min2、能成立问题的转化:能成立 a fx minf x能成立 a f x max3、恰成立问题的转化:在M上恰成立的解集为Mf x在M上恒成立f x在CRM上恒成立另一转化方法：假设x D, f(x)A在D上恰成立,等价于f(x)在D上的最小值fmin(x)a,假设x D, f(x) B在D上恰成立,那么等价于 “刈在口上的最大值加2*他)4、设函数f x、g x

2、,对任意的x1c, d ,使得f x1f min x g min x5、设函数f x、g x,对任意的xif x1f max x g max x 06、设函数f x、g x,对任意的x1c ,d ,使得fx2 ,那么 f在xa ,b上的值域M是g x在x2c,d上的值域N的子集.即:M No9、假设不等式f x g x在区间D上包成立,那么等价于在区间 D上函数y f x和图象在 函数y g x图象上方；10、假设不等式f x g x在区间D上包成立,那么等价于在区间 D上函数y f x和图象 在函数y g x图象下方；题型一、常见方法1、函数 f (x) x2 2ax 1, g (x)-,其

3、中 a 0 , x 0 . x1)对任意x 1,2,都有f(x) g(x)恒成立,求实数a的取值范围；2)对任意x1 1,2, x2 2,4,都有f(x. g(x2)恒成立,求实数a的取值范围；【分析：】1)思路、等价转化为函数f(x) g(x) 0包成立,在通过别离变量,创设新函数求最值解决.2)思路、对在不同区间内的两个函数 f(x)和g(x)分别求最值,即只需满足fmin(x) gmalx)即 可.7、设函数 f x、g x,存在 x a , b,存在 x2c , d,使得 f x g x2,那么 fmax x gmin x简解：(1)由 x2 2ax 1 a 0 x33金U成立,只需满

4、足(x)产的最小值大于3a即可.对(x)求导,2x 1(x)2x4 x2 1(2x2 1)20,故(x)在x 1,2是增函数,x3、两函数f(x) x2 , g(x) - m ,对任意X 0,2 ,存在x? 1,2 ,使得 2f(x1) g x2 ,那么实数m的取值范围为22min(x)(1) J所以a的取值范围是0 a -a .11 .2、设函数h(x) x b,对任意a 一,2,都有h(x) 10在x ,1恒成立,求实数b的 x24取值范围.分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数,再处理另一个参数.以此题为例, 实质还是通过函数求最值解决.x解析：对任意x10,2 ,存在x2 1,

5、2 ,使得f (x1)g x2等价于g(x) - m在1,2上2一 一 .111的取小值一 m不大于f (x) x在0,2上的取小值0,既一 m 0 , . . m 一4444.f(x) 2ax - lnx在x 1与x ,处都取得极值.函数g(x) = x2 2mx+m,假设对任 x2一,11意的X ,2,总存在x2 ,2,使得、g(x1) fG) In x2 ,求实数m的取值范围.22方法 1：化归最值,h(x) 10hmax(x) 10；解析:f (x) 2ax In x, xf (x)b1 Hb 41小2a 1一,f (x) 2 ax 一lnx在x 1 与x-处x2 x 1x2方法2:变

6、量别离,b 10 (亘x)或a x2 (10 b)x ;x11万法 3:变更王兀,(a) - a x b 10 0, a -,2x2取得极值. f (1)c10,f 0)2a b 1 02a 4b 2 01 .1 .解得：a b -当a b -时, 33简解：方法1:对h(x)aa(xa)(xa)g(x) x b-x b 求导,h(x) 17今1,xxx12112(x 1)(x -)1f (x) 1 -=22-,所以函数f(x)在x 1与x处都取得极值.3 3x2 x3x22.1_1 .由此可知,h(x)在1,1上的最大值为h(1)与h(1)中的较大者.4411h(-) 10 4a b 104

7、4h(1) 101 a b 1039b 4a .174,对于任意a -,2,得b的取值范围是b -b 9 a24121,1a b 一 又 函数 y=f(x) In x x+一在一,2上递减,333x 2f(x) lnxmin=f(2)=1又 函数g(x) = x2 2mx+m图象的对称轴是x=m0包成立的问题.(H)略解：由(I)知：f(x) x, g(x) x sinx,：g(x)在11当m<2时：g(x)mg弓尸4,依题意有47成立, 61 m< 2上单调递减,g(x)cosx 0cosx在 1 1上恒成立,1, g(x)max g( 1)sin1 ,只需 sin1 t(t 1

8、) t212(2)当一 m 2 时：g(x)min=g(m)=m m , . m26m 7 0,解得:f (t 1)t2sinl 1sin1 1 0 (其中t 1 02t 1 t2 sin1 1 01)包成立,由上述结论:t 1.22,而 t t sin1t2 t sin1 0 '可令3+ .516题型三、别离参数法(欲求某个参数的范围,就把这个参数别离出来)(3)当 m>2 时：g(x)min=g(2)=43m ,4 3m731一, m 一,6181、当x 1,2时,不等式x2 mx 4 0恒成立,那么m的取值范围是m251所以,实数m的取值范围为( 63+.51 6解析：当

9、x (1,2)时,由 x2 mx 4 0得m-一4 . . m 5.x题型二、主参换位法(某个参数的范围,整理成关于这个参数的函数题型四、数形结合(包成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法)1、对于满足p2的所有实数p,求使不等式x2px2x包成立的x的取值范围1、假设对任意x R,不等式|x| ax包成立,那么实数a的取值范围是解：不等式即x21 p x 2x1 0,设 f p2xf p在卜2,2解析：对 x R,不等式|x| ax恒成立、那么由一次函数性质及图像知1 a 1,即1 a 1.恒大于0,故有:2 x2 x4x 3 02、函数f xx2 2kx2,在x 1恒有fx k,求实数k

10、的取值范围.2、函数f(x)xln(e a)(a为吊数)是实数集R上的奇函数,函数g xf(x) sinx是区间1,1上分析：为了使f x k在x1, 包成立,构造一个新函数F x f x k,那么把原题转化成的减函数,(1)求"勺值；(H)假设g(x) t2t 1在x 1,1上恒成立,求t的取值范围;左边二次函数在区间1,时恒大于等于0的问题,再利用二次函数的图象性质进行分类讨(H)分析：在不等式中出现了两个字母:及t,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,论,使问题得到圆满解决.另一个作为常数.显然可将 视作自变量,那么上述问题即可转化为在,1内关于 的一次解：令F x f x k

11、 x22kx 2 k ,那么F x 0对x 1,恒成立,而F x是开口向上的抛物线.当图象与x轴无交点满足 0 ,即4k2 2 2 k 0 ,解得2 k 1.当图象与x轴有交点,且在x 1,时F x 0,那么由二次函数根与系数的分布知识及图象可得：2、函数f x Inx ax2 2x a 0存在单调递减区间,求a的取值范围.2解：由于函数f X存在单调递减区间,所以f' X - ax 2 *一0XX_12_ 120, 有解.即a - - x 0, 能成立,设u x -x2xx2 x0F 1 0解得3 k 2,故由知3 k 1.2k12a 0小结：右二次函数y ax bx c a 0大于

12、0包成立,那么有 0,同理,右二次函数o. a 0y ax bx ca 0小于0包成立,那么有 .假设是二次函数在指定区间上的包成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.题型五、不等式能成立问题有解、存在性的处理方法假设在区间D上存在实数x使不等式f x A成立,那么等价于在区间D上f x max A; max由u X 42 111得,umin xX2X X1.于是,a1,由题设a 0,所以a的取值范围是1,00,小结:包成立与有解的区别:假设在区间D上存在实数x使不等式f x B成立,那么等价于在区间D上的f xmin B1、存在实数x ,使得不等式a 3a有解,那么实数a的取

13、值范围为x a 3a 有解, a2 3a f x mm恒成立和后解是由明显区别的,以卜充要条件应细心思考, 化,切/、口混为一体.甄别差异,恰当使用,等价转不等式f XM对xI时恒成立fmax(X)M?, X Io即f X的上界小于或等于 M ;不等式f XM对xI时有解fmin(X)M?, x I.或fX的下界小于或等于M ;不等式f XM对xI时恒成立fmin(X) M?, X Io即f x的下界大于或等于M ;5、两函数 f x 7x2 28x c , g x2x3 4x2 40x不等式f x M对x I时有解 fmax(X)M , x I .或f X的上界大于或等于M ；题型六、等式能

14、成立问题(有解、存在性)的处理方法1.函数f (x) ax ln x, x (1,e),且f (x)有极值(2)存在x 3,3 ,使f x g x成立,求实数c的取值范围;(1)对任意x 3,3 ,都有f x g x成立,求实数c的取值范围;(I )求实数a的取值范围；(H)假设 l<m<n<e,证实 mn nm； 对任意x/3,3 ,都有f Xig x2 ,求实数c的取值范围;(4)存在Xi93,3,者降T f Xig x2 ,求实数c的取值范围；OC 0.(m)函数 g(x) x3 x 2,证实：Xi (1,e), x°(1,e),使得 g(x0)f(x1)成立

15、.课后作业：1、设a 1,假设对于任意的x a, 2a,都有y a, a2满足方程logaX log ay 3,这时a的取值集合为()(A) a|1 a 2(B) a|a 2(C) a|2 a 3(D) 2,31 Q996、设函数 f(x) - X3 2ax2 3a2x b (0 a 1, b R). 3(I)求函数f x的单调区间和极值；(II)假设对任意的x a 1,a 2,不等式f x a成立,求a的取值范围.7、A、B C是直线 上的三点,向量OAOB OCi足：oA y 2f 1 OB ln X 12、假设任意满足值是3、不等式sin2x 4sinx 1 a 0有解,那么a的取值范围是 4、不等式ax Jx 4 x在x 0,3内包成立,求实数a的取值范围m的取x y 0x y 5 0的实数x,y ,不等式a(x2 y2) (x y)2恒成立,那么实数a的最大y 3