对两个重要极限的重要性的认识

1、对两个重要极限的重要性的熟悉之老阳三干创作摘要：通过对两个重要极限重要性的理解和熟悉,总结有关两个重要极限的论文成果,指出两个重要极限在微积分的计算过程中 起到了重要的桥梁纽带作用,主张学习数学知识不但局限于课本, 要培养提升探究问题的水平,系统全面的看待问题,深刻细致的体 会微积分思想的严谨性.关键词：重要极限；重要性；证实；应用1 .绪论两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着举足轻重 的作用,目前,关于这方面的分析已经很成熟,有关于它们的来 源,证实,应用和深入扩展,本文系统的总结了局部具有代表性的 成果,从而可以直观全面的熟悉和体会两个重要极限的重要性,对 刚接触极限理论,没有

2、深入熟悉两个重要极限的学生来说,具有指 导意义.?数学分析?课程在讲述关于两个重要极限和时,着重强调了它在整个极限计算中有重要地位.它能将许多复杂的极限计算迅速简化,应用非常灵活.因此,这两个重要的极限可以说是全部微积分学计算的根底,其重要性就不难理解了.试想,假设没有它们,那么只要遇见微积分相关的计算题 ,必须用最根本的方法,有些还纷歧定求得出来,更不必说由它们推广出的更复杂的应用了.2 .两个重要极限的证实两个重要极限是极限理论的重要内容,也是解决极限问题的一种有效方法,在学生的学习中,起着重要作用,了解它们的证实方lim snx1 lim (1 -)x ex 0 xxx法对充分理解和熟悉

3、它们是十分需要的,它的证实过程 也是对两边夹定理及单调有界数列必有极限这一准那么的 恰当应用.sin x lim, 12. 1第一个重要极限：x 0 x证实：作单位圆,如图 1:设X为圆心角aob ,并设0 x2见图不难发现：S AOBS扇形 AOBS aod二1sin x - x 即：221tanx2 ,即 sin x x tan x,0 x(由于2 ,所以上不等式不改变方向xcosx,- 的值均不变,故对满足当x改变符号时,s1nx及1sin x ,cosx 1x o一 ,cosx 1又由于(12 X.cosx) 1 2sin (-) 22x1 cosx 所以 2lim cosx 1 x

4、0lim cosx lim 1 1.sin xlim 1x 0 x ,证毕. 人 一,- lim 1 第二个重要极限：x1、x一e x先考虑x取正整数时的情形:lim (1 n1)n n对于b.,有不等式:bn 1b(n 1)bn即:1 (n 1)bn (ba)即:(n1)anb(n 1)anb-,b1(n1)1将其代入,所以(1(1 -)n(1所以1) n为单调数列,记作x(ii )又令12n(n 1)anb(n-)-221 (1所以(14 (1即对n,X2n4,又对(12n 1)2n 1(12n 2)2n 2(1所以1)n弗n,是有界的.由单调有界定理知存在,并使用来暗木,1 nlim (

5、1 -)n e 2.7182818284 59045即x n,在函数的学习中,我们熟悉的根本初等函数有以下五类:哥函数y指数函数对数函数三角函数R),(a 0,a 1),y logaX( a 0,a 1),y=sin x, y=cos x , y=tan x, y=cot x,反三 角函数 y=arc sinx, y=arc cosx, y=arc tanx, y=arc cotx.,就是计算极限(3.1 )但这仅仅是停留在导数3.1的话,显然是非 事实上,在求函数由根本初等函数经过有限次四那么混合运算与符合运算所得到 的函数,统称为初等函数,微积分中我们经常需要计算初等函数 的导数,微分学的

6、根本概念一一导数是建立在极限概念根底上f1(x) 的.即求一个函数f ( xf)(4点xx f明导数当这一极限存在时,其值就昌x)定义上的,如果求函数的导数都要计算极限 常复杂和繁琐的,势必限制导数的广泛应用的导数时,其实不都需要计算极限3.1 ,而只需根据根本初等函数的求导公式及求导法那么就可以很方便地求得任何一个初等函数 的导数.因此,两个重要极限对于以上六类根本初等函数的求导 起到了至关重要的作用.关于根本初等函数的求导,我们可以大致分为三类函数：第 一类是哥岬鳄多五类是三角函数和反三角函数,第三类是指数 函数和对数函数.对于第一类函数的求导,要利用二项式定理和 导数定义便求得.对于第二

7、类函数的求导,需要利用到 这个重要极限.对于第三牺徵南求导,需要利用到1 7lim (1 一) e lim (1 -)x e 这个极限. xxx x下面来看一看根本求导公式是如何得来的.1.1 重要极限在三角函数求导过程中的作用以正弦函数sin x_一 x sin2 sint limJ lim 1m 小 1?0 t其中应用了第一个重要极限X.0 x ,即 2求得(sin x) ' =c0sx后,其余的三角函数和反三角函数的导 数公式就可以利用多个求导法那么得到了.1.2 重要极限在指数函数和募函数求导过程中的作用其次,再看看对数函数10g ax的求导公式的推导过程.由导数定义其中应用了

8、第二个重要极限lim(1 X)xx 二1 ulim loga(1 一)x lim(1 )u ex0x L u (令 x/ x u ) o求得了(logax)以后,指数函数和募函数的求导公式就容易得 出了.可见,两个重要极限在导出根本初等函数的求导公式的过程中, 特别是涉及三角函数的过程中起到了关键性的作用,没有这两个 重要极限,两类函数的求导公式就不成能得出.两个重要极限在 初等函数求导过程中起到了重要的纽带作用,由于推倒正弦函数 和指数函数的导数公式的过程中要用到这两个极限,而所有的初 等函数都可以从这两类函数以及它们的反函数出发,经过有限的 四那么运算复合得到.因此,从这两类函数的导数出发

9、,利用函数 的四那么运算、复合和反函数求导法那么,就能求得全部初等函数的 导数.再由于积分是微分的逆运算,可以得到根本积分表,依靠 他们能算出大量初等函数的积分.可以说,两个重要极限可以说 是全部微分积分学的根底,在微积分的计算过程中起到了重要的 桥梁纽带作用,所以这两个重要极限极其重要.第一个重要极限实际上是两个无穷小之比的极限.假设分子分母分别求极限便得 这一不定的结果,因此称这一类型的极限为型未定式.类似地,第二个重要极限是属于 1型未定式.综上所述,可以得出这样的结论,但凡含有三角函数的型未定式和1型未定式,我们都可无妨用两个重要极限来试试,看能否求出它 的结果,以下举例来说明如何应用

10、这两个重要极限于极限运算中 的.1 cosx,lim 2例1求x 0 x .解:lim解：呵tanx解:于是解:lim1 cosx x 0sin x-3 x,lim (1求x2 x 2sin 22x. 2 x sin 一 lim22(2)21 lim x 0 2_ xsin-2x2_ xsin 一2x2tanxsin x-3 xxm02)x xsin x .sin x cosxsin xcosxlim令一x =t ,贝U x= t .时t 0,lim (1x2) xx二网(1 t)lim (求x2x)令 2 x=1+u,那么 x=2-时u 0,于是limx(产)x2 x二呵12u)lim(1u

11、 01u)u2lim(1 u)2u 0-1=ecotx网(1 tan x)xim0sinxlim呵(11解：设 t =tan x,那么 t = cot x.当x 0时t 0,阿(1cosx-3 xcosx1 cosx2x1t)2=e(1 u)21于是网(1 tanx)8tL t)t=e.sin x1、E的应用lim SlnUX,y 1极限ux,y 0 ux,y是一元函数第一个重要极限的推广,其中,x,y%,yo时,ux,y0,把ux,y看作新变量t ,考虑极限过程t 0.sinx3 y3 lim 22-例 1 求极限x,y 0,0 x ysinx y .sinx3 y3 x3y3lim 22l

12、im解：x,y0,.x yx,yn0,0x3 y3x2y2极限运算过程中第一个等号是一个恒等变形sin(x3 y3)我们设 f(x,y)x2 y2,定义域是 D (x,y)(x,y) (0,0)33、33f1(x, y) 再设定义域D1sin(x y ) x y3322x y x y x, y (x, y) (0,0)且y x,显然有 D1 D o可以看到,从函数 “丫到"%丫定义域变小了,但fx,y, f1x,y分别在各自的定义域 d与D1内,当x,y 0,0时,可以证实极限都是存在的,证实如下：33.十日“x,y sM（1） 以下是对xy 在定义域D22 y,yx,y0,0内极限

13、的证实.由于当x,y.,.时,有：,33、lim sinx y 所以由夹逼准那么得x,y 0,0 x2 y2=033、33sinx y x y fi x, y3一322（2） 对x y x y 在 定 义 域Di x,yx,y 0,0且y x,内极限的存在性,由极限的四那么运算法那么容易知道,而且其值易算得为0.D x,yx,yQ0内极限存在,33、sin(x y )f (x, y) 2既然x y在定义域那么极限必唯一.我们可以在d内任找x,y9.的方式来计算出极限值.由 D与Di的关系Di D),知道在DiD Di中两函数相等,所以在求极限找x,y0.的方式时,我们可以在D1 (DD中找,显

14、然,两函数的极限是相等的.f(x,y)sin(x3 y3)22fi(x,y)x y3333sin(x y ) x y3 y_2 y3 x 2 xlim吗3)(x,y) (0,0)x3y3,33、lim吗爱(x,y) (0,0) x2 y2(x,yl)m：0,0)fix, y是成立的.所以在(x,y)0,0时,两函数的极限是相等的.同理可以计算下面例子.例2求极限sin xy lim -(x,y)(0,0) ysin xysin xy sin xylim lim x lim lim解 (x,y) (0,0) y (x,y) (0,0)xyxy 0xy(x,y) (0,0)在一元函数中由第一个重要

15、极限可以得到几个经常使用的等i 2 ,、sin u(x, y) u(x, y);i cosu(x,y) u (x, y); 2ln i u(x, y) u(x, y); tan u(x, y) u(x, y);u(x,y)e i u(x, y)价无穷小,推广到二元函数中得到：同一元函数一样,等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用lim例3求极限x,y 0 ,°sin xy)tan(x y)解:sin xyxylim lim (x,y)(0 ,0 ) tan(x y) =(x,y)(.,.)x y =0lim求极限(x,y) (0,0)22、1 cos(x y )/ 22 2 2-(x

16、y )x y解:x,ymo,o21 cos(x(x* 24.2.2重要极限y2)2、 2 2 y )x ylim1 / 2 2(x_ (x,y) (0.0)(x!2、2y)1y2)x2y22lim (1 1)x elim (1 -)u(x,y) 极限 u(x,y) u(x,y)e是一元函数中第二个重要极限的推广.下面举例说明它的应用.x21 lim 1x例5求极限x,yx,x21 lim (1)x y lim解：(x,y) ( ,1)( x =(x,y)(.1)(1x y x-)x x. x lim 1(x,y) ( ,1)x y极限问题.5.总结关于两个重要极限的公式自己十分简单,但由它们上

17、面却引出许多的话题.关于它的证实方法还有很多,本文选取了最能表达数学思想 的证法,还谈及了它们的一些应用,这些话题都反映一个共同思想 在研究函数在一点的无穷小领域内的变更性态时,用某个与自变量增量成比例的量即微分,替代函数的增量,经常是简化并解决问题 的法子.这就是微分学的根本思想,对于微积分,只有深入理解和掌 握了这一思想,才会深刻理解和学习.著名日本科学家米山国藏指出：作为知识的数学,出校门不到年 可能就忘了,唯有深深铭记在头脑中的数学的精髓、数学的思想研究 方法和着眼点等,这些都随时随地发生作用,使人们终身受益.这句话 揭示了数学的精髓不在于知识自己 ,而在于数学知识中所蕴含的数学思 想方法,因此,我们在平时的学习中要注意知识间的思维关系,从而 更好的掌握知