工作空间中机械手的神经网络自适应控制要点

1、工作空间中机械手的神经网络自适应控制通过对文1的控制方法进行详细推导及仿真分析，研究一类机器人力臂在工作空间内神经网络自适应控制的设计方法。针对工作空间中机械手的神经网络自适应控制，采用神经网络在线建模技术，既不需要逆动态模型的估计值，又不需要耗时的训练过程。通过引入GL矩阵及其乘法算子”二通过采用直接辨识的参数得到控制律，不需要雅可比矩阵的逆，通过鲁棒控制项来抑制神经网络建模误差和有界扰动。1工作空间直角坐标与关节角位置的转换根据著作2,将工作空间中的关节末端直角坐标(x1,x2联为二关节关节角位置(q1,q2 )的转换公式如下：22. 2.2X1 X2 - l 1 - l 2q2 = ar

2、ccos (1)2l1l2x211 sin2 q2q1 = arctan arctan (2)x111 12 cosq22机械手的神经网络建模考虑一个刚性n关节机械手，其动态特性为：D(q q + C(q,q 七 + G(q )=t(3)其中，q亡Rn是表示关节变量的向量，T乏Rn是执行机构施加的关节扭矩向量，D(qgRnXn为对称正定惯性矩阵，C(q,q>Rnn为哥氏力和离心力向量，G(q乒Rn为重力向量。假定机械手的工作性质与末端执行器的空间位置有关，因此，需要直接在工作空间中设计控制算法。用xW Rn表示末端执行器在工作空间中的位置和方位，则机械手在工作空间的动态特性可表示为：Dx

3、(q x + Cx(q,q 乂 + Gx(q )= Fx(4)其中 Dx(q ”JqD(q J/(q), Cx(q,q)=J(q(C(q,q )D(q J _1 (q Jq J ,(q ) , Gx(q)=J(q G(q ),Fx =J(q %。J (q产胪功是由结构决定的雅可比矩阵，假定它在有界的工作空间中是非奇异的。机械手动态方程具有下面特性：特性1：惯性矩阵Dx(q2称正定；特性2：矩阵Dx(q )-2Cx(q,q )是斜对称的。由于Dx(q )和Gx(q )仅仅是q的函数，因此，可采用静态神经网络对它们进行建模。Dx(q )和Gx(q )的神经网络模型为：dxkj (q)=2 .-kj

4、l (q)+ %kj (q)=耳 , <q)+ %kj (q)lgxkq 八& kl q；gkqk q gk q其中备l，pkl w R为神经网络的权值，%1 (q )Jki (q产R是输入为向量q的径向基函数。%kj (q ), ggk (q产R分别是dxjq )和gxk(q)的建模误差，并假定它们是有界的。对于C(q,q'),用输入为q和q的动态神经网络进行建模，Cxkj(q，q )的神经网络模型为：cxkj q，q 二 kji kji z ；ckj z =： kj 对 z ；ckjz i其中，2 =可qTjwR2' WjlWR是权值，4ji (z)w R是输

5、入为向量z的径向基函数。8ckj(z)是 cxkj (q，q)的建模误差，并假定它也是有界的。采用神经网络建模，则机械手在工作空间中的动态方程可写为：Dx(q x+Cx(q，q x + Gx(q 户 Fx(5)其中dxkj q - T kj q ；dkj qcxkj q，.q = ： T kj z ；ckj z gxk q，T k q e q 采用GL阵及其乘法操作，Dx(q )可以写成：Dx(q)= bF 匕(q+ED(q)(6)其中七和。9是GL阵，其元素分别为 %和(q )。ED(q乒Rnn是元素为建模误差 名dkj(q)的矩 阵。同样，对C(q，q )和Gx(q ),有：Cx(q，q)

6、=MF z(zN*Ec(z)Gx(q )=。丁(q N+ Eg (q)(8)其中a,z(z*也和J(qy为GL阵和G晌量，其元素分别为«kj, -kj(z), Pk。EC(z产R*n和eg (q户Rn是元素分别为建模误差 %kj (z )和名gk (q )的矩阵。3控制器的设计设xd (t)是在工作空间中的理想轨迹，则xd (t )和xd (t )分别是理想的速度和加速度。定义et =xd t)-xtxt = xd t上e tr t =Xr t -x t =et 卜 Aet其中A是一个正定矩阵。引理1：设e(t )=h(t户r(t)，其中，*代表卷积，h(t)=L1(H(s胆 H(s

7、 )是一个nxn阶的严格按指数稳定的传递函数。如果r w L，则ew L，口Ln.,e*Lg ,e是连续白t,当tT g时，e-,0 , j 0 ,ej 0。其中能量有限定义为：L，! |f|2 = f 2dt<°°,finite energy,有界定义为：l:L |f|:z=sup f(bounded signa卜。采用？/弋表(叩估计值，定义 GK)-R),则炭，豺和例分别代表式to), a和b的估计值。 控制器设计为：Fx 二眄T aq；加+ 悭.Hg + Kr+kssgn(r )(9)其中 KWRn 如 >0, ks|E|, E=ED(q Xr +EcQ

8、X； +EG(q )。控制器前三项是基于模型的控制，Kr项相当于比例微分(PD控制，控制律的最后一项为抑制神经网络建模误差的鲁棒项。将(6)、和(8)代入(5)得 hF ,三(q 严+ ED(q »X+"aT Xz(z 严+Ec(z)X+ST <H (qjJJ+EG(q)= Fx将控制律(4)代入上式得GF 三(q)l + ED(q )X+ aT，z(z" + Ec(z，X+ -bTH (q»+EG(q)-1? q ) Xr'A:,；Z z / Xr滔)*H q ) Kr kssgn r将X = Xr r , X =Xr -r代入上式得T

9、8T 三(q"+ED(q，(丸H)+< aF 4z(z "+Ec (z(Xr) +Bl7 h (q 田 +Eg( q)Kr kssgn r= ? 三(q j 4 + 俨z(z pXr +Bh (q将上式化简得: a T 三(q)+ ED (q 四 + MIT *Z ( z »+ EC ( z，r + Kr + ks sgn( r )U q)XrA)TE+TwrrqJtxH把(4)、(5)和(6)代入上式得Dx q r Cx q,q r Kr k$sgn r=尸也q&r +AT小&+悭(10)系统(10)的稳定性由下面定理给出。定理 对闭环系统

10、(8),如果K >0 , ks >|E| ,且自适应律设计为4 =k k q ：' Xrrk保=Q k ，k ( z ) xr rk(11)?k = Nk k q 鼠其中Ik=JT >0,Qk=QT>0, Nk=NT>0且t?k和c?k是元素分别为 %和c?kj的向量，则1?k,潢k ,良w L笛且e w Lg 口 Ln) , e是连续的，当tT, 37 0和j0。 证明：考虑如下Lyapunov函数nnn1 T1%. T 1 x.Tc-11%T 1V -r Dx q r -" k "1kQk kk Nk kk Tk =1k =1其中R

11、, Qk , Nk为正定对称矩阵。则 nnnT 1 Tt _1、T-1T 1V=Dr arDr MkK 二kQk：k -kNk " k Tk 1由于矩阵 Dx(q 2Cx(q,q)是斜对称的，则 rT(D2C)=0，即 g rTDr rTCr =0 , ：rTDr=rTCr, 代入上式得n- nnV=rTDr rTCr、J ： ”k 八 TQ”k、小"kTkTk=1n- nn=rT Dr Cr 八 Uk %TQJ-1k xT N；1 kk k kk k kk k kk4k4将(10)式代入，得n.t .n.nV = -rTKr -ksrTsgn rk q 双醍，'.

12、娟k z .'.，*： k q 4k 1k 1k 1n inn ,"rTE人整1aJTTQk' 'TnJT k k kkkkk k kk 1k 1kd考虑rT，ATZz：，Xrn=£0/, &(qRrk 二1nrk(r =一:k：T一rkk=11阿胡9犷=£ 加也耳 一k 一 1并将自适应律(11)代入(12)式，并考虑到ks >|E| ,V < -rT Kr得:(13)(a)由(13)及 K >0 ,得 r w Ln ,由引理得 e w L，ClLn),ew L2 , e是连续的,则当tT g时，e-j 0 ；(

13、b)由 V EtTK<0 ,得到 0EV AV(0), Vt 至0。因此,当 V(t户 L0c时，有 r,ek,gk,BkWJc ,即注意到 r w l，xd , xd , xd w Lnc 且 也q», D,h (q1是有界基函数，则r'w Li。因此，r是致连续的。r是一致连续的，且当tTm时，rWL2二r 0如果k和Qk定义为rk10k2 kn0Qk2其中kj , Qkj (1Wj <n)是多维相容的矩阵块，则自适应律可表示为元素的形式:与二：kj ' kj q.x rj rk?kj = Qkj kj z xrj rk4仿真实例考虑平面两关节机械手，

14、机器人的动力学方程为收敛性分析:其中Dqq Cq,qq Gq =ml m2 2m3 cosq2Dq = m2 m3 cosq2m2 m3 cosq2 Im2m3q2sin q2-m3 qi q2 sinq2C(q,q)=.m3qi sin q20.0G(qjm4gcosq +m5gcos(qim5gcosqi q2q2mi由式M =P+plL给出的参数，有M = m1m2m3m4m5 TP - 3lP2P3P4P5 TL J；I2l1l2l1l2Pl是有效载荷，l1和l2分别是关节1和关节2的长度。p是机器人自身的参数向量。雅可比矩阵J（q ）为：.I-1i sin q1 -l2sinq1q2

15、）一bsin q q2J q =|Jicos q1l2cos q1q212 cos q1q2机器人力臂实际参数为P= 1.66 0.42 0.63 3.75 1.25 T kg m2每个关节的长度为1s假定不知道系统的任何先验知识，而且没有有效载荷，即8 = 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 T kg m2 pl = 0.0kg,在笛卡尔空间中，理想跟踪轨迹取xd1(t )=1.0 +0.2 cosnt ), xd2(t A1.0+0.2sin(;rt )该轨迹为一个半径为 0.2m圆心在 x1,x2 ）=（1.0,1.0 m勺圆。初始条件时，机器人静止，其末端执行器在圆的中心，即x（0

16、 ）=1.0 1.0卜，x.（0）=b.0 0.0ml/s由于要跟踪的轨迹是工作空间中的直角坐标，而不是关节空间中的角位置，且控制律也是在工作空间中推导得到的，按（1）和（2）式，将工作空间中的关节末端直角坐标（x1,x2 ）转为二关节关节角位置（q1,q2）。在仿真中使用工作空间中的动态方程：Dx q x Cx q,q x Gx q = Fx其中Dx q ' Jq D q JqCxq,q =J 口 q C q,q 一 D q Jq J q JqGx q = JqGq=里.1 q J xr” 1Z z / xr屋H q) Kr kssgn rIfsinqi -Lsinqiq2-I2 s

17、in qi q2J q = |l li cosqi12cosqi q212 cos qi q2111cos(% )-12 cos(qi + q2 ) bcosqi +q2 )1-工;一Scos% +q2 ) bcosjqi +q? ) J,:. . ; .:qi 十，.：，：，：q2-li sin(q1)-12 sin(q1+q2)2sin(qi+q2 "-I2 sin(q1+q2) -12sin(q1+q2)J(q*,一lisin(q1 J-l2Sin(q1 +q2 ) -sinQ +q2 )Jq =ili cosqi q21112sin q2 ILli cosqi -I2 cos

18、qi q212sin(qi+q2)-lisinqi )-12sin(qi +q?)角速度为:ili cos qi q21112 sin q2 11Tle0 sqi -12 cosqi q212sin qi q2fsin qi)-12 sin qiq2对Dx（q ）和Gx（q ）的每一个元素，使用i0个节点的静态RBFW经网络，而对C（q，q ）中的每一个元素，使用i0个节点的动态RBR中经网络。高斯参数分别取 0.0和i0.0。控制器的增益选为K=diag10.0，A=diag5.01为了测试控制器对载荷扰动的抑制能力，在t=4.0s时加入一个P1=0.5kg的载荷。23456time(s)7

19、891029oepxa ¥f o ngukcorl nurhsop2345678910time(s)29osxa >M-O naukcpl nMrk.sop图1末关节节点的位置跟踪23456time(s)789102opxa xfb nHnkrxflt yep eV2345678910time(s)5o5 cpxa vf o nankcFl VFrxuLev图2末关节节点的速度跟踪12345678910time(s)图3末关节节点的控制输入信号12345678.time(s)9101234567891011t1time(s)(Tt12345678910time(s)q,q |和

20、1Gx (q J的逼近仿真程序:Simulink 主程序：rbf_ge_sim.mdl控制器S函数：rbf_ge_s.mfunction sys,x0,str,ts = spacemodel(t,x,u,flag) switch flag, case 0,sys,x0,str,ts=mdlInitializeSizes;case 1,sys=mdlDerivatives(t,x,u);case 3,sys=mdlOutputs(t,x,u);case 2,4,9 sys=;otherwiseerror('Unhandled flag = ',num2str(flag);endf

21、unction sys,x0,str,ts=mdlInitializeSizes global node c_D c_C c_G b ce node=100;c_D=zeros(2,node);c_G=zeros(2,node);c_C=zeros(4,node);b=10;ce=15.0;sizes = simsizes;sizes.NumContStates = 10*node;sizes.NumDiscStates = 0;sizes.NumOutputs = 5;sizes.NumInputs = 10;sizes.DirFeedthrough = 1;sizes.NumSampleT

22、imes = 0;sys = simsizes(sizes);x0 = zeros(1,10*node);str = ;ts = ;function sys=mdlDerivatives(t,x,u)global node c_D c_C c_G b cexd1=u(1);d_xd1=u(2);dd_xd1=u(3);xd2=u(4);d_xd2=u(5);dd_xd2=u(6);x1=u(7);d_x1=u(8);x2=u(9);d_x2=u(10);xx=x1;x2;for j=1:1:nodeh_D110)=exp(-norm(xx-c_D(:,j)F2/(b*b);h_D12(j)=e

23、xp(-norm(xx-c_D(:,j)A2/(b*b);h_D21(j)=exp(-norm(xx-c_D(:,j)A2/(b*b);h_D22(j)=exp(-norm(xx-c_D(:,j)A2/(b*b); endfor j=1:1:nodeh_G1(j)=exp(-norm(xx-c_G(:,j)A2/(b*b);h_G2(j)=exp(-norm(xx-c_G(:,j)A2/(b*b);endz=x1;x2;d_x1;d_x2;for j=1:1:nodeh_C11(j)=exp(-norm(z-c_C(:,j)A2/(b*b);h_C12(j)=exp(-norm(z-c_C(:

24、,j)A2/(b*b);h_C21(j)=exp(-norm(z-c_C(:,j)A2/(b*b);h_C22(j)=exp(-norm(z-c_C(:,j)A2/(b*b);endW_D11=x(1:node)'W_D12=x(node+1:node*2)'W_D21=x(node*2+1:node*3)'W_D22=x(node*3+1:node*4)'T_D11=0.02*eye(node);T_D12=0.02*eye(node);T_D21=0.02*eye(node);T_D22=0.02*eye(node);e1=xd1-x1;e2=xd2-x2;

25、de1=d_xd1-d_x1;de2=d_xd2-d_x2;e=e1;e2;de=de1;de2;Hur=ce*eye(2);r=de+Hur*e;dxd=d_xd1;d_xd2;dxr=dxd+Hur*e;ddxd=dd_xd1;dd_xd2;ddxr=ddxd+Hur*de;for i=1:1:nodesys(i)=T_D11(i,i)*h_D11(i)*ddxr(1)*r(1);sys(i+node)=T_D12(i,i)*h_D12(i)*ddxr(2)*r(1);sys(i+node*2)=T_D21(i,i)*h_D21(i)*ddxr(1)*r(2);sys(i+node*3)=

26、T_D22(i,i)*h_D22(i)*ddxr(2)*r(2); endW_G1=x(node*4+1:node*5)'W_G2=x(node*5+1:node*6)'T_G1=5*eye(node);T_G2=5*eye(node);for i=1:1:nodesys(i+node*4)=T_G1(i,i)*h_G1(i)*r(1);sys(i+node*5)=T_G2(i,i)*h_G2(i)*r(2);endW_C11=x(node*6+1:node*7)'W_C12=x(node*7+1:node*8)'W_C21=x(node*8+1:node*9)

27、'W_C22=x(node*9+1:node*10)'T_C11=0.1*eye(node);T_C12=0.1*eye(node);T_C21=0.1*eye(node);T_C22=0.1*eye(node);for i=1:1:nodesys(i+node*6)=T_C11(i,i)*h_C11(i)*dxr(1)*r(1);sys(i+node*7)=T_C12(i,i)*h_C12(i)*ddxr(2)*r(1);sys(i+node*8)=T_C21(i,i)*h_C21(i)*dxr(1)*r(2);sys(i+node*9)=T_C22(i,i)*h_C22(i

28、)*ddxr(2)*r(2);endfunction sys=mdlOutputs(t,x,u) global node c_D c_C c_G b ce xd1=u(1);d_xd1=u(2);dd_xd1=u(3);xd2=u(4);d_xd2=u(5);dd_xd2=u(6);x1=u(7);d_x1=u(8);x2=u(9);d_x2=u(10);xx=x1;x2;for j=1:1:nodeh_D110)=exp(-norm(xx-c_D(:,j)F2/(b*b);h_D12(j)=exp(-norm(xx-c_D(:,j)A2/(b*b);h_D21(j)=exp(-norm(xx

29、-c_D(:,j)A2/(b*b);h_D22(j)=exp(-norm(xx-c_D(:,j)A2/(b*b); endfor j=1:1:nodeh_G1(j)=exp(-norm(xx-c_G(:,j)A2/(b*b);h_G2(j)=exp(-norm(xx-c_G(:,j)A2/(b*b); endz=x1;x2;d_x1;d_x2;for j=1:1:nodeh_C11(j)=exp(-norm(z-c_C(:,j)A2/(b*b);h_C12(j)=exp(-norm(z-c_C(:,j)A2/(b*b);h_C21(j)=exp(-norm(z-c_C(:,j)A2/(b*b)

30、;h_C22(j)=exp(-norm(z-c_C(:,j)A2/(b*b); endW_D11=x(1:node)'W_D12=x(node+1:node*2)'W_D21=x(node*2+1:node*3)'W_D22=x(node*3+1:node*4)'DSNN_g=W_D11*h_D11' W_D12*h_D12'W_D21*h_D21' W_D22*h_D22'Dm_g=norm(DSNN_g);W_G1=x(node*4+1:node*5)'W_G2=x(node*5+1:node*6)'GSNN_

31、g=W_G1*h_G1'W_G2*h_G2'Gm_g=norm(GSNN_g);W_C11=x(node*6+1:node*7)'W_C12=x(node*7+1:node*8)'W_C21=x(node*8+1:node*9)'W_C22=x(node*9+1:node*10)'CDNN_g=W_C11*h_C11' W_C12*h_C12'W_C21*h_C21' W_C22*h_C22'Cm_g=norm(CDNN_g);e1=xd1-x1;e2=xd2-x2;de1=d_xd1-d_x1;de2=d_xd2

32、-d_x2;e=e1;e2;de=de1;de2;Hur=ce*eye(2);r=de+Hur*e;dxd=d_xd1;d_xd2;dxr=dxd+Hur*e;ddxd=dd_xd1;dd_xd2;ddxr=ddxd+Hur*de;Ks=0;Kp=20*eye(2);Fx=DSNN_g*ddxr+CDNN_g*dxr+GSNN_g+Kp*r+Ks*sign(r);sys(1)=Fx(1);sys(2)=Fx(2);sys(3)=Dm_g;sys(4)=Cm_g;sys(5)=Gm_g;输入指令 S 函数： rbf_ge_input .mfunction sys,x0,str,ts = spac

33、emodel(t,x,u,flag)switch flag,case 0,sys,x0,str,ts=mdlInitializeSizes;case 1,sys=mdlDerivatives(t,x,u);case 3,sys=mdlOutputs(t,x,u);case 2,4,9sys=;otherwiseerror('Unhandled flag = ',num2str(flag);endfunction sys,x0,str,ts=mdlInitializeSizessizes = simsizes;sizes.NumContStates = 0;sizes.NumDi

34、scStates = 0;sizes.NumOutputs = 6;sizes.NumInputs = 0;sizes.DirFeedthrough = 0;sizes.NumSampleTimes = 1;sys = simsizes(sizes);x0 = ;str = ;ts = 0 0;function sys=mdlOutputs(t,x,u)xd1=1+0.2*cos(pi*t);d_xd1=-0.2*pi*sin(pi*t);dd_xd1=-0.2*pi*pi*cos(pi*t);xd2=1+0.2*sin(pi*t);d_xd2=0.2*pi*cos(pi*t);dd_xd2=

35、-0.2*pi*pi*sin(pi*t);sys(1)=xd1;sys(2)=d_xd1;sys(3)=dd_xd1;sys(4)=xd2;sys(5)=d_xd2;sys(6)=dd_xd2;被控对象 S 函数： rbf_ge_plant .mfunction sys,x0,str,ts=s_function(t,x,u,flag)switch flag,case 0,sys,x0,str,ts=mdlInitializeSizes;case 1,sys=mdlDerivatives(t,x,u);case 3,sys=mdlOutputs(t,x,u);case 2, 4, 9 sys =

36、 ;otherwiseerror('Unhandled flag = ',num2str(flag);endfunction sys,x0,str,ts=mdlInitializeSizesglobal J Dx Cx Gx l1 l2l1=1;l2=1;sizes = simsizes;sizes.NumContStates = 4;sizes.NumDiscStates = 0;sizes.NumOutputs = 10;sizes.NumInputs = 3;sizes.DirFeedthrough = 1;sizes.NumSampleTimes = 0;sys=sim

37、sizes(sizes);x0=1 0 1 0;str=;ts=;J=0;Dx=0;Cx=0;Gx=0;function sys=mdlDerivatives(t,x,u)global J Dx Cx Gx l1 l2P=1.66 0.42 0.63 3.75 1.25;g=9.8;L=l1A2 12A2 11*12 11 12;if t<4.0p1=0;e1sep1=0.5;endM=P+p1*L;q2=acos(x(1)A2+x(3)A2-11A2-12A2)/(2*11*12);dq2=-(x(1)*x(2)+x(3)*x(4)/sqrt(1-(x(1)A2+x(3)A2-2)A2

38、/4);a1fa=atan(x(3)/x(1);beta=acos(sqrt(x(1)A2+x(3)A2+11A2-12A2)/(2*11*sqrt(x(1)A2+x(2)A2);d_beta=u(3);if q2>0q1=a1fa-beta;dq1=(x(4)*x(1)-x(3)*x(2)/(x(1)A2+x(3)A2)+d_beta;e1seq1=a1fa+beta;dq1=(x(4)*x(1)-x(3)*x(2)/(x(1)A2+x(3)A2)-d_beta;endJ=-sin(q1)-sin(q1+q2) -sin(q1+q2);cos(q1)+cos(q1+q2) cos(q1

39、+q2);d_J=-dq1*cos(q1)-(dq1+dq2)*cos(q1+q2) -(dq1+dq2)*cos(q1+q2);-dq1*sin(q1)-(dq1+dq2)*sin(q1+q2) -(dq1+dq2)*sin(q1+q2);D=M(1)+M(2)+2*M(3)*cos(q2) M(2)+M(3)*cos(q2);M(2)+M(3)*cos(q2) M(2);C=-M(3)*dq2*sin(q2) -M(3)*(dq1+dq2)*sin(q2);M(3)*dq1*sin(q2)0;G=M(4)*g*cos(q1)+M(5)*g*cos(q1+q2);M(5)*g*cos(q1+

40、q2);Dx=(inv(J)'*D*inv(J);Cx=(inv(J)'*(C-D*inv(J)*d_J)*inv(J);Gx=(inv(J)'*G;Fx=u(1:2);dx=x(2);x(4);S=inv(Dx)*(Fx-Cx*dx-Gx);sys(1)=x(2);sys(2)=S(1);sys(3)=x(4);sys(4)=S(2);function sys=mdlOutputs(t,x,u)global J Dx Cx Gx l1 l2beta=acos(sqrt(x(1)A2+x(3)A2+l1A2-l2A2)/(2*l1*sqrt(x(1)A2+x(2)A2);Gm=norm(Gx);Cm=norm(Cx);Dm=norm(Dx);Fx=u(1:2);sys(1)=x(1);sys(2)=x(2);sys(3)=x(3);sys(4)=x(4);sys(5)=Dm