用二分法求方程的近似解经典例题及答案

1、例1：利用计算器，求方程 x2 2x 1 0的一个近似解(精确到0.1).【解】设f (x) x22x1,卜I先画出函数图象的简图V(如右图所示)因为f(2)10, f (3)2°入所以在区间(2,3)内，方程X2叫f(2.5)0.25所以2x12.5.0 ,丁 10有一解，记为3斗x,.取2与3的平均数2.5，因为再取所以如此继续下去，得f(2)0, f(3)0f(2.25) f (2.375)近似值都为0, f (2.5)00, f (2.4375)2.4，所以此方程的近似解为(2,3)f(2)0, f(2.5)0x1(2.25, 2.5) f (2.375)0, f (2.5)

2、00x.(2,2.5)(2.375, 2.5) 人(2.375, 2.4375)，因为 2.375与 2.4375精确到 0.1 的Xi2 与 2.5 的平均数 2.25，因为 f(2.25)0.43752.25 x,2.5.x-i2.4.利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解点评：第一步确定零点所在的大致区间(a, b)，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器,但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；建议列表样式如下：零点所在 区间区间中点函数值区间长度10.50.250.125如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步.分析

3、：分别画函数y的图象，在两个函点的横坐标就是方y 3 x的图象可lg x 和 y 3 x例2：利用计算器，求方程Igx 3 x的近似解(精确到0.1).数图象的交点处，函数值相等因此，这个程lg x 3 x的解.由函数y lg x与以发现，方程Igx 3 x有惟一解，记为为,并且这个解在区间(2,3)内.【解】设f(x) Igx x 3，利用计算器计算得因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以此方程的近似解为x-i 2.6.思考：发现计算的结果约稳定在2.58717.这实际上是求方程近似解的另一种方法一一迭代法.除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切

4、法等.例3:利用计算器，求方程 2x x 4的近似解(精确到0.1).【解】方程2x x可以化为2x 4 x与y 4 x的图象，由图象可以知道，方程2x x 4的解在区间(1,2)内，那么对于区间分别画函数y 2x(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解为 x 1.4.追踪训练一1.设Xo是方程In x x 4的解，贝U Xo所在的区间为(B )A. (3,4)B. (2,3)C.(1,2)D. (0,1)2.估算方程5x27x10的正根所在的区间是A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)3.计算器求得方程5x27x 10的负根所在的区间是A.(1, 0)B.2, 1C.2.

5、5, 2D.3, 2.54.利用计算器，求下列方程的近似解(精确到0.1)(1) lg2x x 1(2)3x x 4答案：(1) 0.8(2) x13.9 , x2 1.6一、含字母系数的二次函数问题例4：二次函数f(x)px2 qx r中实数p、q、r满足 一Pq 0，其中m 2 m 1 mm 0,求证：(1) pf (旦)0)；m 1(2)方程f(x) 0在(0,1)内恒有解.分析：本题的巧妙之处在于，第一小题提供了有益的依据：m是区间(0,1)内的数，且m 1pf( m ) 0，这就启发我们把区间(0,1)戈怆为(0 , m )和(m , 1)来处理. m 1m 1 m 1【解】(1)2

6、p m2 ，(m 1)2(m 2)由于f (x)是二次函数，故p 0,又m 0，所以，pf() 0 .m 1由题意，得f (0) r , f (1) p q r .当p 0时，由(1 )知f() 0m 1若 r 0，则 f(0)0，又 f (旦)0,m m 1所以f(x)在(0 ,)内有解.m 1若 r 0，贝U f (1) p q r p (m 1)(L) r -0，又 f (旦)0，所以 f(x) 0 在(, 1 )内m 2 m m 2 mm 1m 1有解.点评：(1)题目点明是“二次函数”当p 0时同理可证.，这就暗示着二次项系数 p 0 若将题中的“二次” 两个字去掉，所证结论相应更改.(2)对字母p、r分类时先对哪个分类是有一定讲究的，本题的证明中，先对p分类，然后对r分类显然是比较好.追踪训练二1若方程2ax2 x 1 0在(0,1)内恰有一则实数a的取值范围是(B )1A. ) B. (1,)81C. (,1)D. ；,1)82.方程x2 2x 2k 1 0的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内，贝U k的取值范围是3已知函数f(x) 2mx 4，在2,1上存在X。，使f(x。) 0 ,则实数m的取值范围是m 1或 m 2.34.已知函数f X XX试求函数y f x的零点；是否存在自然数 n，使f n