勾股定理单元检测试题

1、勾股定理单元检测试题邮编：518052 地址：深圳市南山区常兴南路荔香中学数学组作者：钟国雄(中国数学奥林匹克一级教练，中学高级教师)一、选择题(每题3分，共18分)1 .下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是( )(A) 1,2,3(B) 2,3,4(C) 3,4,5(D) 4,5,6 解：因为32 +42 =52 ,故选(C)2 .在一个直角三角形中，若斜边的长是13, 一条直角边的长为12,那么这个 直角三角形的面积是()(A) 30(B) 40(C) 50(D) 60解：由勾股定理知，另一条直角边的长为J132 122 = 5,所以这个直角三角形的1面积为12

2、 5-30. 23 .如图1,一架2.5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移()(A)0.6 米 (B)0.7 米 (C)0.8 米 (D)0.9 米解:依题设AB = AB =2.5, BC =0.7 .在RtABC中，由勾股定理，得AC= AB- B2C=2. 52 -0. 7 = 2. 4由 AC 2.4, AA1 4 ,得 AC =AC - AA1 =2.4 -0.4 =2.在RtM1B1C中，由勾股定理，得B C = , A B - A2C= 2. 52 -22 =1.5所以 BB1 = B1C -

3、BC =1.5-0.7 =0.8故选(C)4 .直角三角形有一条直角边的长是11,另外两边的长都是自然数，那么它的周长是()(A) 132(B) 121(C) 120(D)以上答案都不对解：设直角三角形的斜边长为x,另外一条直角边长为y,则xAy.由勾股定理，得x2 =y2 112.因为x,y都是自然数,则有(x + y Xx y ) = 121 = 121x1.所以 x + y =121,x_y =1.因此直角三角形的周长为121+11=132.故选(A)5 .直角三角形的面积为S,斜边上的中线长为d,则这个三角形周长为(A)而。S+2d(B) Vd2-S -d(C) 2jd2 +S +2d

4、(D) 2jd2 +S+d1解:设两直角边分别为a,b,斜边为c,则c = 2d ,S=ab.2由勾股定理，得a2 b2 = c2.所以(a +b )2 =a2 +2ab +b2 =c2 +4s =4d2 +4S.所以a +b = 2&2 +S .所以 a + b+ c= 2,d2 + S + 2d .故选(C)6 .直角三角形的三边是a-b,a,a+b ,并且a, b都是正整数，则三角形其中一边的长可能是()(A) 61(B) 71(C) 81(D) 91解:因为 a+baa-b .根据题意，有(a +b )2 = (a-b )2 +a2.整理，得a2 =4ab .所以a =4b.所以 a

5、-b = 3b, a b = 5b .即该直角三角形的三边长是3b,4b,5 b.因为只有81是3的倍数.故选(C)、填空题(每题3分，共24分)7 .如图2,以三角形AABC的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半 圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为 .解:根据题意，有S, +S2 =S3 ,即二色1二c 2整理，得 a2 +b2=c2.故此三角形为直角三角形8 .在RtAABC中,a =3,c = 5,则边b的长为.解：本题在RtAABC中，没有指明哪一个角为直角，故分情况讨论: 当/C为直角时，c为斜边，由勾股定理，得a2+b2=c2,b = Jc2 a2 =J52

6、 32 =4 ;当/C不为直角时，c是直角边，b为斜边，由勾股定理，得a2+c2=b2,b =、a2 c2 = . 32 52 =、34.因此，本题答案为4或庖.9 .如图3,有两棵树,一棵高8米，另一棵高2米, 两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞 到另一棵树的树梢，则它至少要飞行 米.解：由勾股定理，知最短距离为BD = Jac2 +(AB -CD j = ,82 +(8-2 j = 10 .10 .如图4,已知 MBC中，ZACB=90,以AABC的各边为边在AABC外作三个正方形，Si,S2,S3分别表示这三个正方形的面积，Si = 81,S2 = 225 ,则S3 =.解：由勾股定

7、理，知 AC2+BC2=AB2,即Si+S2=S3,所以 S3 =114 .11.如图5,已知，RtAABC中，/ACB = 90,从直角三角 形两个锐角顶点所引的中线的长 AD=5,BE=2ji0,则斜 边AB之长为.解： AD、 BE是中线，设BC = x, AC = y ,由已知，AD=5, BE= 215所以x2十:y =40,y2+了 =25.两式相加，22得5(x2+y2 )=65,所以 AB = Jx2 + y2 =底=2而412 .如图6,在长方形 ABCD中，DC=5cm,在DC上存在一点E ,沿直线AE把 MED折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F ,若AABF的面积为

8、30cm2, 那么折叠MED的面积为.D解:由折叠的对称性，得AD = AF ,DE = DF .1 _ _由 S逸BF =-BF，AB=30,AB = 5,得 BF =12.在 RUABF 中，由勾股定理，AF =JAB2 +BF2 =13.所以 AD =13.设 DE =x则 EC =5x,EF =x, FC =1 .在 RtAECF 中，EC2 + FC2 =EF2,即(5 x)212x2 .解得 x = 135一_ 1 _ _ 113_2故 S aDE = AD DE = 1316.9 cm .22513 .如图7,已知：AABC中，BC=2,这边上的中线长 AD=1, AB+AC=1

9、+J3, 则AB AC为.解:因为AD为中线，所以BD =DC =AD=1,于是/1=/C,/2=/B.但 N1 +NC +N2+/B =180口，故 2(N1+N2 )= 180：21 十N2 = 901即 /BAC = 90.又 AB AC =1 、, 3，两边平方，得AB2 AC2 2AB AC=4 2,3.而由勾股定理得AB22AC2 =4.所以 2AB AC =4 .故 AB AC = 2. 即 AB AC = 2.14.在 AABC 中，AB = AC=1,BC 边上有 2006 个不同的点 Pi,PJHP2006,记 mi =AP2 BP PC i =1,2,1112006，则

10、n m2 山 m2006解:如图 8,作 AD_LBC 于 D，因为 AB=AC=1,则 BD=CD.由勾股定理，得 AB2 = AD2 +BD2, AP2 = AD2 +PD2.所以AB2 - AP2 = BD2 -PD2=BD -PD BD PD = BP PC所以 AP2 BP PC = AB2 =12.因止匕 m1m21H m2006 = 12 2006 = 2006 .三、解答题（每题10分，共40分）15 .如图9, 一块长方体砖宽 AN=5cm,长ND=10cm, CD上的点B距地面 的高BD=8cm,地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是多 少？【解】如图9,在砖

11、的侧面展开图10上，连结AB ,则AB的长即为A处到B处 的最短路程.在 RtAABD 中，因为 AD =AN+ND =5+10 = 15, BD=8,所以 AB2 =AD2 +BD2 =152 +82 =289 = 172 .所以 AB =17（cm因此蚂蚁爬行的最短路径为17cm.图1016 .如图 11 所示的一块地，/ADC=90*, AD=12m, CD = 9m , AB=39m, BC=36m,求这块地的面积S.解：连结AC ,在RtMCD中，由勾股定理，得AC2 =AD2 +DC2 ,即 AC2 =122 +92 ,所以 AC =15.在 AABC 中，由 AC2+BC2 =1

12、52 +362 =392 ,即 AC2 + BC2 = AB2 .所以AABC为直角三角形，/ACB = 901112所以 S = S戊BC S&DC =3 黑 15M36M12M9=216(m2 ).所以这块地的面积为216m2.图1117.如图12所示，在Rt ABC中，/BAC = 90, AC =AB,NDAE =45。,且 BD =3,CE =4,求DE的长.解:如图13,因为AABC为等腰直角三角形，所以/ABD=/C=45, 所以把AAEC绕点A旋转到AAFB，则 MFB三AAEC.所以 BF =EC =4, AF = AE,/ABF =/C =45,连结 DF .所以ADBF为直角三角形.由勾股定理，得 DF2 =BF2 , BD2 = 42 32 =52 .所以 DF =5.因为/DAE =45 所以/DAF =/DAB+/EAC = 45.所以 ADE 三 ADF SAS .所以 DE = DF =5.18. AABC 中，BC =a, AC =b,AB =c,若/C=90% 如图 14,根据勾股定理，则a2 +b2 =c2,若AABC不是直角三角形，如图15和图16,请你类比勾股定理,图14试猜想a2 +b2与c2的关系，并证明你的结论 解：若AABC是锐角三角形，则有a2+b2Ac2.若AABC是钝角三角形，/C为