高中数学基本不等式的解法十例

1、高中数学基本不等式的解法十例高中数学基本不等式问题求解十例、基本不等式的基础形式1. a2 b2 2ab,其中a,b R,当且仅当a b时等号成立。2. a b 2病,其中a,b 0,当且仅当a b时等号成立。a2 b2a b 23 .常考不等式：ab ab -221J a二、常见问题及其处理办法问题1：基本不等式与最值解题思路：(1)积定和最小：若 ab是定值，那么当且仅当(2)和定积最大：若 a b是定值，那么当且仅当，其中a,b 0, ，当且仅当a b时等号成立。1,ba b 时，a b min 2 . ab。其中 a,b 0,2a b时，ab max b ，其中 a,b R。 max2

2、 / 6例题1 ：若实数a, b满足2a2b1 ,则a b的最大值是 解析：很明显，和为定，根据和定积最大法则可得:a b 222 a b 2,当且仅当a b1时取等号。1上，则mn的最大值为。变式：函数y ax1(a 0,a 1)的图象恒过定点 A,若点在直线 mx ny解析：由题意可得函数图像恒过定点A 1,1，将点A 1,1代入直线方程 mx ny 1中可得m n 1,明2显，和为定，根据和定积最大法则可得：mn m-,当且仅当m n 1时取等号。242x 1例题2：已知函数f x 2 FT,则f x取最小值时对应的 x的值为.21 ； V 1解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得

3、：22.2 -2 1 ,当且仅当2x 工 x 1时取等号。ex1变式：已知x 2 ,则x 的取小值为 。x 2解析：由题意可得x 2 0, x 21,明显，积为定，根据和定积最大法则可得：高中数学基本不等式的解法十例11 / 6x 2 1 2x 22,当且仅当x 2x1时取等号，此时可/曰1得x x 20。例题3:若对任意x0,Q恒成立，则a的取值范围是.解析：分式形式的不等式，可以考虑采用常数分离的方法。解法1：将x2x 3x 1化简可得x2x2 3x 111 xx根据积定和最小的法则可得:x 1 2 x当且仅当a 3x 1，观察分母,1分母x 3 5xx2x 1 3xmax解法2:将 x3

4、x 1化简可得xx2 3x 1xa 2x 3x 1 max很明显可以得到积为定值,x 1时取等号。故而可得分式的,因此可得:，令f x是一个对1_ .勾函数，故而可得 f x x f 1 x2。故而分母1x 3 f x 3 5, x代入分式函数取倒数可得0xx2x 1 3x max因此可得:问题2: “1”的代换解题思路：根据f xf xm 0 ,对所求内容进行乘除化简即可。 m1 4例题4:若两个正实数x、y满足一 一 x y1，且不等式x -0, b0,解析：由题意可知参数为m,min5,化简可得a2 c2 1信 m 8ma b2a4 一一，一x ,观察等式右侧,x 12ax 14,当且仅

5、x对于任意的x 12a b8m恒成立，则m的取值范围是将双自变量a、b移项可得：m28m2ab恒成立，故而可,将不等式右侧化简可得2a2bmin2a2a ,很明显积b为定值，根据积定和最小法则可得:2b2a 2 2b2ab4,当且仅当2b2abb 1时取等1-2a b bmin9，代入不等式中可得8m9化简为0解不等式可得1 m9。问题5:不等式与其他问题结合（向量与不等式）例题7:已知oA aOBa 0,b 0）,且A,B,C三点在同一条直线上,的最小值为.解析：由三点共线可得a b 1,观察形式采用 “1的代换，故而11.a b11 a ba b1等式右侧积为定值,故而利用积定和最小法则可

6、得:2bab a时取等号。故而可得3。（不等式与解析几何）例题8：若直线ax by0,0)被圆x2y22x4y ,1得的弦长为4,则1a1 ，一，一1的最小值为b解析：将圆化为标准方程可得4,根据弦长为可得直线经过圆心。将圆心1,2代入直线方程可得a 2b 2。观察求解形式可得采用 “1的代换方法,2b 1 1简可得-a2b aa-b很明显积为定，根据积定和最小法则可得: 22b2格2日当且仅当2b1时取等号，故而可得 1a3 2.23x（基本不等式与线性规划） 例题9：设x, y满足条件 x0，若目标函数z axby (a 0,b 0)0,y一 一一 3 2的最大值为12,则一 一的最小值为

7、a b解析：作出可行域如图所示：故而可得zax+by在点H 4,6取最大值，即4a6b122a 3b由题意可得采用“ 1的代换求解。2 2a3b9b 4a12 ,观察分子可得分子积为定值,根据积定和最小法则可得:9b4a2a9b12,当且仅当 a4a/2时取1.一 一 3等号，故而可得3a（不等式与解三角形）例题s 9b12 a4a7: ?角？ ？ ？酌对边分别为? ? ?且？ + ? . ?+ ? 0.(1)求角？勺大小；(2)若？?= v3,求？乐?脑最大值.(3)求 ABC周长的最值。解析：(1)由题意与余弦定理可得 a2 b2 c2 2bccosA,221b c bc ,解得 cos A 一 ,故而 A 一23(2)由余弦定理可得ab2bc 3,故而bc2 卜23 b2 c2 ,由基本不等式 ab可得2bc 3 b2 c2 2bcbc当且仅当b cJ3时取二号。故而可得角形的面积C1，.