2017-2018学年高中数学第三章导数应用1.2函数的极值教学案北师大版选修2-2

1、1. 2函数的极值对应学生用书P29 用象问题情通但,辅知无师自通极值点与极值入门各理1.在你们学习小组10人中，李阳最高，张红最矮.问题1：李阳最高说明了什么?提示：李阳是这10人中最高的.问题2:在你们班中，李阳一定还最高吗?提示：不一定.提示：f(xo)在(a, b)内最大.问题2：函数值f(xo)在定义域内还是最大吗?提示：不一定.问题3：对于f(x)在(a, xo) , (xo, b)上，其单调性与导函数的符号有何特点?提示：f(x)在(a, xo)上增加，导数大于零，在 (xo, b)上减少，导数小于零.问题4：函数y= g(x)在(a, b)上，结论如何? 提示：与y = f(x

2、)在(a, b)上结论相反.1.函数极值的概念(1)极大值：在包含£xo点的函数值，称点(2)极小值：在包含xo的一个区间(a, b)内，函数y=f(x)在任何一点的函数值都不大 xo为函数y = f(x)的极大值点，其函数值 f(xo)为函数的极大值.xo的一个区间(a, b)内，函数y=f(x)在任何一点的函数值都不小于xo点的函数值,称点xo为函数y = f(x)的极小值点，其函数值 f(xo)为函数的极小值.(3)极值：极大值与极小值统称为极用大值点与极小值点统称为极值点.2.函数的单调性与极值(1)如果函数y=f(x)在区间(a, xo)上是增加的,在区间(xo, b)上是

3、减少的,则X0是极 大值点，f(Xo)是极大值.(2)如果函数y=f(x)在区间(a, xo)上是减少的,在区间(xo, b)上是增加的,则xo是极 小值点，f(xo)是极小值.求函数极值点的步骤崩& q部求函数极值点的步骤(1)求出导数f' (x)；(2)解方程f' (xi;(3)对于方程f' (x)=0的每一个解xo,分析f ' (x)在xo左、右两侧的符号(即f(x)的 单调性)，确定极值点.若f' (x)在xo两侧的符号“左正右负”，则xo为极大值点.若f' (x)在xo两侧的符号“左负右正”，则xo为极小值点.若f '

4、( x)在xo两侧的符号相同，则 xo不是极值点.归纳升华领悟(1)按定义，极值点 xo是区间a, b内部的点，不会是端点 a, b.(2)极值是一个局部性概念，只要在一个小邻域内成立即可.(3)极大值与极小值没有必然的大小关系，也不唯一.(4)在区间上单调的函数没有极值.对应学生用书P30 高频者点髓组生.名腼一点就通求函数的极值例1求下列函数的极值:(1) f (x) = x3 3x2 9x+ 5;In x(2) f(x)=- x思路点拨 首先确定函数的定义域， 然后求出函数的导数， 利用函数极值的定义求出函数的极值点，进而求出极值.精解t¥析函数f(x)=x33x29x+5的定

5、义域为R,且f ' (x)=3x26x 9.解2方程 3x - 6x 9= 0,得 xi = 1, x2= 3.当x变化时，f' ( x)与f (x)的变化情况如下表:x(8, 1)-1(-1,3)3(3 , +8)f' (x)十0一0十f (x)增加极大值减少极小值增加因此，x= 1是函数的极大值点，极大值为f(1) = 10; x= 3是函数的极小值点，极小值为f (3) =- 22.In x(2)函数f(x)=3的定义域为(0 , +8),x1 In(x) 二 F令 f ' (x) = 0,得 x= e.当x变化时，f' ( x)与f (x)的变化

6、情况如下表:x(0，e)e(e , +°°)f' (x)十0一f (x)增加极大值减少1因此，x=e是函数的极大值点，极大值为f(e)=-,没有极小值点.e一点通求函数的极值必须严格按照求函数极值的步骤进行，其关键是列表检查导数值为0的点的左、右两侧的导数值是否异号， 若异号，则该点是极值点；否则，不是极值点.卜."食工.1 .(陕西高考)设函数f(x)=xex,则()A. x = 1为f (x)的极大值点B. x=1为f (x)的极小值点C. x= 1为f(x)的极大值点D. x= 1为f(x)的极小值点解析：求导得 f' (x) = ex+xe

7、x= ex(x+ 1),令 f' (x) = ex(x+1) = 0,解得 x = - 1,易 知x = 1是函数f (x)的极小值点.答案：D2 .已知f(x) =ax3+bx f ' (x) =2xe x x2e x,令 f ' (x) =0,得 x = 0 或 x=2,当 x 变化时，f ' (x), f (x)+c,其导函数f' (x)的图像如图所示，则函数f (x)的极大值是()h 1 :A. 2a+cB. 4a+ cC. 3aD. c解析：由导函数 f' (x)的图像知当0<x<2时，f' (x)>0;当x&

8、gt;2时，f' (x)<0;当x =2 时，f' (x) = 0.又 f' ( x) =3ax2+2bx,所以 b= 3a, f (x) = ax的变化情况如下表:3ax2+c,所以函数 f(x)的极大值为f(2) =- 4a+c,故选B.答案：B3 .求下列函数的极值：(1) f (x) = sin xcos x+x+1(0<x<2ti );(2) f (x) = x2e x.解：(1)由 f (x) = sin x cos x + x+ 1,0< x<2tt ,乙L兀知 f' (x) = cos x+sin x+1=1+q2s

9、in x+ , 0<x<2兀.令 f ' (x) = 0,从而 sin x+-4 =-乎，又 0<x<2ti ,所以 x=兀 或 x=32二当x变化时，f' ( x) , f (x)的变化情况如下表:x(0,兀)兀3兀兀，3兀得,2兀f' (x)十0一0十f(x)兀+ 23兀2因此，当x=32L时，f(x)有极小值3;当x=Tt时，f(x)有极大值 兀+ 2.x(°°, 0)0(0,2)2(2 , +00)f' (x)一0十0一f(x)04-2 e4所以f(x)的极小值是f(0) =0,极大值是f(2) =-2. e1

10、1 已知函数极值求参数的值例2 已知函数f(x) =ax3+ bx2,当x= 1时，有极大值 3.(1)求a, b的值；(2)求函数y = f(x)的极小值.思路点拨利用函数在x=1处取得极大值3建立关于a, b的方程组即可求解.精解t析(1)二.当x=1时，函数有极大值 3,f' ( x) = 3ax2+ 2bx,f'1=0,f 1=3.3a+ 2b=0,a+ b= 3.解之得a=6, b= 9.(2) f ' (x) =18x2+18x=18x(x1).当 f' (x) = 0 时，x= 0 或 x= 1.当 f ' (x)>0 时，0<

11、x<1;当 f ' (x)<0 时，x<0 或 x>1.函数 f(x) = 6x3+9x2 的极小值为 f(0) =0.一点通解决这类问题的方法是根据求函数极值的步骤，利用极值点与导数的关系， 建立字母系数的方程，通过解方程或方程组确定字母系数，从而解决问题.卜一星第利二彳4.已知函数f (x) = x3+ ax2+ 3x- 9在x=3处取得极值，则 a=()A. 2B. 3C. 4D.5解析：f ' (x) =3x2+2ax+3,由题意得 f' ( 3)=0,解得 a= 5.答案：D5 .已知函数y=3x x3+m的极大值为10,则m的值为.解

12、析：y' = 3 3x2= 3(1 + x)(1 x),令 y' =0 得 xi= - 1, X2= 1,经判断知 x= 1 是 极大值点，故f(1)=2+m 10, f8.答案：86 .(重庆高考)已知函数f (x) = ae2xbe-2xcx(a, b, cCR)的导函数f' (x)为偶函数， 且曲线y = f(x)在点(0, f(0)处的切线的斜率为 4 c.(1)确定a, b的值；(2)若c=3,判断f(x)的单调性；(3)若f (x)有极值，求c的取值范围.解：(1)对 f(x)求导得 f' (x)=2ae2x+2be2xc,由 f ' (x)

13、为偶函数，知 f' ( x) = f' (x),即 2(ab)(e 2xe-2x) = 0,所以 a=b.又 f ' (0) = 2a+ 2b c=4 c,故 a= 1, b= 1.(2)当 c=3 时，f(x) = e2xe-2x3x,那么 f ' ( x) = 2e2x+2e 2x-3“ Ze" 2e 2x-3 = 1>0,故f (x)在R上为增函数.(3)由(1)知 f' (x) =2e2x+2e2xc,而 2e2x+2e_2x>22ex_2e_2( =4,当x = 0时等号成立.下面分三种情况进行讨论.当 c<4 时，

14、对任意 xCR, f' (x) =2e2x+2e 2x-c>0,此时 f(x)无极值；当 c = 4 时，对任意 xw0, f z (x) = 2e2x+ 2e 2x-4>0,此时 f(x)无极值；当c>4时，令e2x=t,注意到方程 2t+：c=0有两根11,2 = C->0,t411即 f' (x) = 0 有两个根 x1 = 2ln t1 或 x2=2ln 12.当xwx<x2时f ' (x)<0 ;又当x>x2时，f' (x)>0,从而f (x)在x=x2处取得极小值.综上，若f(x)有极值，则c的取值范围

15、为(4, +oo).与函数极值有美的综合问题例 3设函数 f (x) =x3-3x+ 1.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x) = a有三个不同实根，求实数 a的取值范围.思路点拨第(1)问利用导数求单调区间和极值，第 (2)问可由(1)的结论，把问题转化为函数y=f(x)与y=a的图像有3个不同的交点，利用数形结合的方法来求解.精解t析(1)' (x) =3x23,令 f ' (x) = 0,解得 xi=- 1 , x2= 1,，当 x<1 或 x>1 时，f' (x)>0 ,当一1<x<1 时，f '

16、; (x)<0.，f (x)的单调递增区间为(一8, 1)和(1, +°°);f(x)的单调递减区间为(一1,1).当x=- 1时，f(x)有极大值3;当x=1时，f(x)有极小值一1.(2)由(1)得函数y=f(x)的图像大致形状如右图所示，当一1<a<3 时，直线y= a与y=f (x)的图像有三个不同交点，即方程f (x) =2有三个不同的实根时，a的取值范围为(一1,3).一点通极值问题的综合应用主要是利用函数的单调性和极值确定函数图像的大致 形状和位置.题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想、 数形结合思想在解题中的应

17、用， 熟练掌握单调性问题以及极值问题的基本解题策略是解决综 合问题的关键.鱼一4制7 .函数f(x) =x3 3x+2的零点个数为 .2解析：f (x) = 3x 3= 3(x1)( x+1),可知 f(x)在(一8, 1) 及(1 , +8)上是增加的，在(一1,1)上是减少的，故f(x)的极大值为f( 1) = 4,极小值为f(1) =0,其大致图像如图所示，零点个数为 2.答案：28 .已知函数 f(x) = x3+3ax2+(3 6a)x+12a4(aC R). 证明：曲线y = f(x)在x=0处的切线过点(2,2)；(2)若f(x)在x= x0处取得极小值，x0C (1,3),求a

18、的取值范围.解：(1)证明：f' (x) = 3x2+6ax+36a.易知 f(0) = 12a 4, f ' (0) = 36a,故曲线y=f (x)在x= 0处的切线方程为y=(3 6a)x+12a4,令 x = 2,得 y = 2,所以曲线y=f(x)在x = 0处的切线过点(2,2).(2)由 f' (x)=0 得 x2+2ax+ 1-2a=0.当 = (2 a)24(1 2a) wo,即一十一iw aw，21 时，f(x)没有极小值.当 = (2 a)2-4(1 2a)>0 ,即 a>/2 1 或 a<，2 1 时，由 f ' (x)

19、 = 0 得 xi = a.'a+2a 1, x2= a+ ：a+2a 1,显然 x0=x2,则由题设知 1<a+a2 + 2a1<3.当 a”21 时，不等式 1<a+a2+ 2a1<3 无解;5当 a< y21 时，解不等式 1< a + W +2a 1<3,得一2<a<小一1.5综合得a的取值范围是 2, -V2-1 .方法规律小-1(1)对于可导函数来说，y=f(x)在极值点处的导数为 0,但导数为0的点不一定是极值 点.例如，函数 y=x3在x=0处，f' (0)=0,但x=0不是函数的极值点.(2)可导函数f (

20、x)在x0取得极值的充要条件是 f ' ( x0) = 0,且在x°左侧与右侧，f ' ( x) 的符号不同.(3)若函数y=f(x)在(a, b)内有极值，则y=f(x)在(a, b)内绝不是单调函数， 即单调 函数没有极值.对应课时跟踪训练设FUI练经典化,黄在触室旁通1 .函数y= 2x33x2的极值情况为()A.在x=0处取得极大值0,但无极小值8 .在x=1处取得极小值1,但无极大值C.在x=0处取得极大值0,在x= 1处取得极小值1D.以上都不对解析：因为y= 2x3 3x2,所以 y = 6x2 6x= 6x( x 1).令y' =0,解得x=0

21、或x=1.令y = f(x),当x变化时，f ' (x) , f (x)的变化情况如下表:x(°°, 0)0(0,1)1(1 , +°°)f' (x)十0一0十f (x)极大值极小值x 0时，函数y 2x33x2取得极大值0;当x=1时，函数y= 2x3 3x2取得极小值一1.答案：C2.函数y= ax+ ln(1 -x)在x=0时取极值，则 a的值为()A. 0B. 1C. - 1D.不存在1ax a + 1解析：y' = a + 1x' = x_1 (x<1)，由题意得x=0时y' =0,即a= 1.,

22、x .检验：当a=1时y'=乏7,当x<0时y' >0,当0Vx<1时y' <0,符合题意.答案：B3.函数f(x) =x3 3bx+3b在(0,1)内有极值，则()A. 0vb<1B. b<01C. b>0D. b<2解析：f ' (x) = 3x23b.因 f(x)在(0,1)内有极值，所以 f' (x) = 0有解，x=± Jb,0< 'b<1, 0vb<1.答案：A4 .设三次函数f(x)的导函数为f' (x),函数y = xf' (x)的图像的一

23、部分如图所示， 则正确的是()A. f(x)的极大值为f(U3),极小值为f(福)B. f(x)的极大值为f(-p,极小值为f (小)C. f(x)的极大值为f(3),极小值为f (3)D. f(x)的极大值为f(3),极小值为f( 3)解析：由题图可知，当 xC(8, 3)时，xf' (x)>0,即 f ' (x)<0 ;当 xC(3,0)时，xf ' (x)<0，即 f ' (x)>0;当 xC(0,3)时，xf ' (x)>0,即 f' (x)>0;当 xC(3, 十°°)时，xf&#

24、39; (x)<0,即 f' (x)<0.故函数f (x)在x=3处取得极小值，在 x = 3处取得极大值.答案：Dx2 a .5 .右函数f (x)= 工1在x= 1处取得极值，则 a=. x i 12x x+1 x+a x + 2x_ a3 a解析：f (x)=-3一2= 丫 / i 2,由题意得 f (1)=一1=0,解x I 1x I 14得a= 3.经检验，a= 3符合题意.答案：36 .已知函数f(x) = ax3+ bx2+cx,其导函数y=f' (x)的图像经过日点(1,0) , (2,0),如图所示，则下列说法中正确的是 ./3当x= 2时函数取得

25、极小值；If(x)有两个极值点；当x= 2时函数取得极小值；当x= 1时函数取得极大值.解析：由图像可知，当xC(8, 1)时，f' (x)>0;当 xC(1,2)时，f' (x)<0;当 xC (2 , +8)时，f ' (x)>0.，f(x)有两个极值点1和2,且当x=2时函数取得极小值，当 x=1时，函数取得极大值，故只有不正确.答案：7 .求下列函数的极值.(1) f (x) =1x3-x2- 3x+ 4;3(2) f (x) = x3ex.解：(1) . f(x) = 1x3 x23x+4, 3 f ' (x) = x2 2x 3.令 f ' (x) = 0,得 xi = 3, x2= - 1.当x变化时，f' (x) , f (x)的变化，如表所示:x(8, 1)-1(-1,3)3(3 , +8)f' (x)十0一0十f(x)极大值极小值1 . x= - 1是f (x)的极大值点，x = 3是f (x)的极小值点.1- f (x)极大值= f( 1)=, f (x)极小值=f (3