高中数学1.4.2正弦函数、余弦函数的性质教案

1、1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质整体设计教学分析对于函数性质的研究，在高一必修中已经研究了幕函数、指数函数、对数函 数的图象与性质.因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究，学生已经 有些经验了 .其中,通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基 本方法，这也是数形结合思想方法的应用.由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型，这也是三角函数不同于 其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个 周期区间上的性质，那么就完全清楚它在整个定义域内的性质.正弦、余弦函数性质的难点，在于对函数周期性的正确理解与运用，以下的奇 偶性，无论是由图象观察，还是

2、由诱导公式进行证明，都很容易.单调性只要求由 图象观察，不要求证明，而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一 个推论，只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可.三维目标1 .通过创设情境，如单摆运动、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；理解周 期函数的概念；能熟练地求出简单三角函数的周期，并能根据周期函数的定义进 行简单的拓展运用.2 .通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有 数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观 点认识事物.重点难点教学重点：正弦、余弦、正切函数的主要性质（包括周期性、单调性、奇偶性、最 值或值域）

3、；深入研究函数性质的思想方法.教学难点：正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换，以及周期函数概念的理 解，最小正周期的意义及简单的应用.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象，在日常生活和工作中， 人们常常有这样的自我感觉，有的时候体力充沛，心情愉快，思维敏捷；有的时候 却疲倦乏力，心灰意冷，反应迟钝；也有的时候思绪不稳，喜怒无常，烦躁不安，糊 涂健忘，这些感觉呈周期性发生，贯穿人的一生，这就是人体节律.这种有规律性 的重复，我们称之为周期性现象.请同学们举出生活中存在周期现象的例子，在学 生热烈的争论中引入新课.思路2.取出一个钟表，实际操作

4、，我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经 过一周就会重复，这是一种周期现象.我们这节课要研究的主要内容就是周期现 象与周期函数.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律，在代数式上让学生思考诱导公式：sin(x+2k 冗尸sinx又是怎样反映函数值的“周而复始”的变化规律的.要求学生用日常语 言叙述这个公式，通过对图象、函数解析式的特点的描述，使学生建立在比较牢固 的理解周期性的认知基础上，来理解“周而复始”变化的代数刻画，由此引出周期 函数的概念.推进新课新知探究提出问题问题正弦函数、余弦函数是周期函数吗 ？如果是，又是怎样周期性变化的？ 问题阅读

5、教材并思考：怎样从代数的角度定义周期函数？活动：教师可先引导学生查阅思考上节学过的正弦函数图象，让学生观察正弦线的变化规律，有什么新的发现？再让学生描述这种规律是如何体现在正弦函 数的图象上的，即描述正弦函数图象是如何体现 “周而复始”的变化规律的.通过 研究图象，学生很容易看出正弦函数、余弦函数是周期函数 .怎样变化呢？从图1 中也能看出是每隔2冗就重复一次.对问题，学生对正弦函数是周期函数是没有疑问的，至于怎样描述，学生一 时很难回答.教师可引导学生思考讨论，正弦函数图象是怎样重复出现的？对于回 答对的学生给予肯定，鼓励继续探究.对于找不到思路的学生给予提示，指导其正确的探究思路.图1问题

6、，从图象上能够看出，但关键是怎样对“周而复始”的变化规律作出代 数描述，这对学生有一定的难度.在引入正式定义之前，可以引导学生先从不同角 度进行描述.例如：对于函数f(x)自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可 以有很多个),函数值就重复出现，那么这个函数就叫做周期函数.教师也可以引 导点拨学生从诱导公式进行描述.例如：sin( a+2kjt )=sin a ,cos( a+2kjt )=cos a ,k C Z.这表明,正弦函数、余弦函数在定义域内自变量每增加(k>0时)或减少(k<0时)一个定值2k冗，它的函数值就重复出现,所以正弦函数、余弦函数都是周期函 数.还可以通过类比

7、奇函数、偶函数、周期函数的研究方法来加深理解周期性概 念.如果函数f(x)对于其定义域内的每一个值，都有：f(-x)=-f(x),那么f(x)叫做奇函数；f(-x)=f(x), 那么f(x)叫做偶函数；f(x+T)=f(x),其中T是非零常数，那么f(x)叫做周期函数.从上述定义可以看到，函数的性质是对函数的一种整体考察结果，反映了同 一类函数的共同特点，它们可以从代数角度得到统一刻画.这种共同特点还可以 从函数的图象上得到反映.讨论结果：正弦函数、余弦函数是周期函数，每隔2冗就重复一次.略.定义：对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值 时，都有f(x+T尸f(

8、x), 那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数 的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就 叫做f(x)的最小正周期.正弦函数是周期函数,2k冗(k CZ且kw0)都是它的周期， 最小正周期是27t.提出问题怎样正确理解三角函数是周期函数的定义？并举例说明.通过探求思考怎样求一些简单三角函数的周期？活动：对问题，学生一时可能难于理解周期的代数刻画.教师在引导学生阅 读、讨论、思考问题时可多举些具体例子，以使抽象概念具体化.如常数函数f(x)=c(c 为常数,x R)是周期函数,所有非零实数T都是它的周期.同时应特别 强调:(1)对周期函数与

9、周期定义中的“当x取定义域内每一个值时”这句话，要 特别注意“每一个值”的要求.如果只是对某些x有f(x+T尸f(x),那么T就不是 f(x)的周期.例如，分别取x i=2k 兀 + (k C Z),x 2= '，则由 sin(2k 兀 + - + )* sin(2k 九 + ),sin( + ；)*sin ?,可知;不是正弦函数的周期.又如sin(30 ° +120° )=sin30。，但不是对所有x都有f(x+120尸f(x),所以120°不是f(x)的周期.(2)从上述定义还可以看到周期函数的周期不唯一，例如2冗,4冗，6冗，8冗，都是它的周期，有无

10、穷多个，即2k tt (k Z,k丰0)都是正弦函数的周期. 这一点可以从周期函数的图象上得到反映，也可以从代数上给以证明：设T是函 数f(x)的周期，那么对于任意的kCZ,kw0,kT也是函数f(x)的周期.(3)对于周 期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期.但 周期函数不一定存在最小正周期，例如，对于常数函数f(x)=c(c 为常数,x R), 所有非零实数T都是它的周期，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没 有最小值，即最小正数是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.(4)正弦函数 中，正周期无穷多,2冗是最小的一个，在我们学习的三角函数中，如果不

11、加特别说 明，教科书提到的周期，一般都是指最小正周期.对问题，教师要指导学生紧扣定义，可先出一些简单的求周期的例子，如: 若T是f(x)的周期，那么2T、3T、呢？怎样求？实际上，由于T是f(x)的周期， 那么2T、3T、也是它的周期.因为f(x+2T)=f(x+T+T尸f(x+T尸f(x).这样学生就会明白，数学中的周期函数，其实就是在独立变量上加上一个确定的周期之后 数值重复出现的函数.讨论结果：略.定义法、公式法和图象法.应用示例思路1例1求下列函数的周期(1)y=3cosx,x Ry=sin2x,x Ry=2sin( x- ),x R活动：教师引导学生紧扣定义，一切从定义出发来求.(1

12、)因为3cos(x+2冗)=3cosx,根据周期函数的定义可知，原函数的周期为2兀.有 的学生可能会提出冗是不是呢 ？让学生自己试一试，加深对概念的理解.因为 3cos(x+兀)=-3cosx w3cosx,所以冗不是周期.(2)教师引导学生观察2x,可把2x 看成一个新的变量u,那么cosu的最小正周期是2冗，就是说，当u增加到u+2冗 时，函数cosu的值重复出现，而u+2冗=2x+2冗=2(x+冗),所以当自变量x增加到 x+冗且必须增加到x+九时函数值重复出现.因为sin2(x+九)=sin(2x+2冗)，所以 由周期函数的定义可知，原函数的周期为九.(3)因为2sin 、(x+4冗)

13、-亳=2sin(-)+2 兀=2sin(-).2 62 6所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为4冗.解：(1)周期为2冗；周期为冗;周期为4冗.点评:通过本例我们看到函数周期的变化仅与自变量的系数有关，关键是让学生认识到,f(x+T)=f(x) 中,T是相对于自变量x而言的，让学生总结归纳一下这 些函数的周期与解析式中哪些量有关.一般地，函数y=Asin(x+小)(其中A、小为常数,A W0,>0,x R)的周 期为丁=空.可以按照如下的方法求它的周期： CO2二、y=Asin( x+(|)+2 冗尸Asin (x+)+() =Asin( x+小).于是有 f(x+ 2)=f(x),

14、CO所以其周期为 生.例如，在第(3)小题,y=2sin( - x- - ),x R , w =-,所 262 以其周期是4冗.由上述解法可以看到，思考的基本依据还是y=sinx的周期为2 冗.根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期.如例3中的第小题:T=至=4冗.这是求简单三角函数周期的最基本方法,即公式法. 变式训练已知f(x)是周期为5的周期函数，且f(1)=2 007,求f(11).解：因为5是函数f(x)在R上的周期,所以 f(11)=f(6+5) =f(6)=f(1+5)=f=2 007.2.已知奇函数f(x)是R上的函数，且f(1)=2,f(x+3)=f(x)

15、, 求f(8).解：由题意知，3是函数f(x)的周期，且f(-x)=-f(x),所以 f(8)=f(2+2 X3) =f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2.思路2例1判断函数f(x)=2sin 2x+ | cosx | ,x R的周期性.如果是周期函数，最小正 周期是多少？活动：本例的难度较大，教师可引导学生从定义出发，结合诱导公式，寻求使 f(x+T)=f(x)成立的T的值.学生可能会很容易找出4冗,2冗，这的确是原函数的 周期，但是不是最小正周期呢？教师引导学生选其他几个值试试.如果学生很快求 出，教师给予表扬鼓励；如果学生做不出，教师点拨学生的探究思路，主要让学生 自己

16、讨论解决.解：因为 f(x+ 兀)=2sin 2(x+ 兀)+ | cos(x+ 九)| =2sin 2x+ | cosx |=f(x).所以原函数是周期函数，最小正周期是冗.点评：本题能很容易判断是周期函数，但要求的是“最小正周期”，那就要多 加小心了 .虽然将4冗,2冗带入公式后也符合要求，但还必须进一步变形，即f(x) 中的x以x+冗代替后看看函数值变不变.为此需将冗,:等都代入试一试.实际 上，在f(x)=2sin 2x+ | cosx | ,x C R中，学生应看到平方与绝对值的作用是一样的与负号没有关系.因而冗肯定是原函数的一个周期.变式训练1 .求函数y=2sin -（兀-x）的

17、周期. 3解：因为y=2sin -（兀-x）=-2sin（ - x- 一）， 33所以周期T=6几.2 .证明正弦、余弦函数的最小正周期是2冗.证明：（反证法）先证正弦函数的最小正周期是 2冗.由于2冗是它的一个周期，所以只需证明任意一个小于2冗的正数都不是它的周期.假设T是正弦函数的周期，且0<T<2冗，那么根据周期函数的定义，当x取定义域内的每一个值时，都有sin（x+T尸sinx.A H令x= 1代入上式，得 sin（ ：+T）=sin -=1,但 sin（ 7T）=cosT,于是有 cosT=1.根据余弦函数的定义，当TC （0,2冗）时,8$丁<1.这说明上述cos

18、T=1是不可能的.于是T必须等于2冗，即正弦函数的最小正周期是 2冗.同理可证，余弦函数的最小正周期也是 2冗.知能训练课本本节练习解答：1.成立.但不能说12。是正弦函数的一个周期，因为此等式不是对x的一切值都成立.例如 sin（20 0 +120° ） wsin20 0 .点评：理解周期函数概念中“当x取定义域内每一个值时”的“每一个值”的含义.8 1 一2 .（1）彳；（2） -； （3）2 兀；（4）6 九.点评：利用周期函数的图象和定义求周期，体会周期与自变量x的系数有关.3 .可以先在一个周期的区间上研究函数的其他性质，再利用函数的周期性，将所研究的性质扩展到整个定义域.

19、点评：了解如何利用函数的周期性来认识周期函数的其他性质.可让学生课堂讨论，然后归纳总结.课堂小结由学生回顾本节所学的数学知识有哪些 ？周期函数的概念，最小正周期的定义， 正弦、余弦函数的周期性，y=Asin（x+（|）（>0）的周期.并思考总结本节都用 了哪些数学方法？（观察与归纳，特殊到一般，定义法，数形结合，辩证的观点） 作业1 .课本习题 A组3,B组3.2 .预习正弦函数、余弦函数的奇偶性.设计感想1 .本节课的设计思想是：在学生的探究活动中突破正弦、余弦函数的周期性这个 教学难点.因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究，不要让开始的探究 成为一种摆设.如果学生一开始没有很

20、好的理解，那么，以后有些题就会很难做. 通过探究让学生找出周期这个规律性的东西，并明确知识依附于问题而存在，方 法为解决问题的需要而产生.将周期性概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中 去，由此把学生的思维推到更高的广度.2 .本节设计的特点是从形到数、由特殊到一般、由易到难 ，这符合学生的认知规 律.让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风 有着良好的启导.但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余 力的学生继续探讨函数的周期性的规律及一般三角函数的周期的求法.3 .根据本节课的特点可考虑分层推进、照顾全体.对优等生，重在引导他们进行一 题多解，多题合

21、一，变式思考的训练，培养他们求同思维、求异思维能力，以及思维 的灵活性、深刻性与创造性，鼓励他们独立思考，勇于探索，敢于创新，对正确的要 予以肯定，对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正，使课堂学习成为再发现再创 造的过程.第2课时导入新课思路1.（类比导入）我们在研究一个函数的性质时，如幕函数、指数函数、对 数函数的性质，往往通过它们的图象来研究.先让学生画出正弦函数、余弦函数的 图象，从学生画图象、观察图象入手，由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究.思路2.（直接导入）研究函数就是要讨论函数的一些性质，y=sinx,y=cosx 是 函数,我们当然也要探讨它们的一些性质.本节课，我们就来研究

22、正弦函数、余弦 函数最基本的几条性质.请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究 一个函数的性质的呢（定义域、值域、奇偶性、单调性、最值）？然后逐一进行探 究.推进新课新知探究提出问题回忆并画出正弦曲线和余弦曲线，观察它们的形状及在坐标系中的位置； 观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的定义域各是什么； 观察正弦曲线和余弦曲线，说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么； 由值域又能得到什么；观察正弦曲线和余弦曲线，函数值的变化有什么特点？图2活动：先让学生充分思考、讨论后再回答.对回答正确的学生，教师可鼓励他 们按自己的思路继续探究，对找不到思考方向的学生，教师可参与到他们中去，

23、并 适时的给予点拨、指导.在上一节中，要求学生不仅会画图，还要识图，这也是学生必须熟练掌握的基本功 因此，在研究正弦、余弦函数性质时，教师要引导学生充分挖掘正弦、 余弦函数曲 线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的 因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间 的关系，是研究三角函数性质的好工具.用三角函数线研究三角函数的性质，体现 了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质.对问题，学生不一定画准确，教师要求学生尽量画准确，能画出它们的变化趋 势.对问题,学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 R或(-8,+ &#

24、176;°).对问题，学生很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界 ，得出正弦函数、 余弦函数的值域都是-1,1.教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明.正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，| sinx | < 1, | cosx | 0 1,即-1 & sinx < 1,-1 < cosx < 1.也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是-1,1 .对于正弦函数y=sinx(x R),(1)当且仅当x=；+2k-k CZ时，取得最大值1. 当且仅当x=- 1+2k7t ,k CZ时，取得最小值-1.对于余弦函数y=cosx(x R),

25、 当且仅当x=2k：t ,k CZ时，取得最大值1.(2)当且仅当x=(2k+1)冗，k C Z时，取得最小值-1.对问题，教师可引导、点拨学生先截取一段来看，选哪一段呢？如图3,通过学生 充分讨论后确定，选图象上的-,曰(如图4)这段.教师还要强调为什么选 这段,而不选0,2冗的道理，其他类似.图3图4这个变化情况也可从下表中显示出来x冗20冗2冗3 n2sinx-1/0/10-1就是说,函数 y=sinx,x - 3当乂厂；，时，曲线逐渐上升，是增函数,sinx的值由-1增大到1;当xC ；，时，曲线逐渐下降，是减函数,sinx的值由1减小到-1.类似地，同样可得y=cosx,x C -兀

26、，兀的单调变化情况.教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究，如图5,为什么选-兀，兀,而不是选0,2兀.引导学生列出下表x-九冗-20冗2冗cosx-1/0/10-1结合正弦函数、余弦函数的周期性可知正弦函数在每一个闭区间-1+2k兀，+2k" (k C Z)上都是增函数，其值 从-1增大到1;在每一个闭区间l+2kTt ,31+2k兀(k C Z)上都是减函数，其 值从1减小到-1.余弦函数在每一个闭区间(2k-1)冗，2k冗(k C Z)上都是增函数,其值从-1 增加到1;在每一个闭区间2k*(2k+1)冗(k CZ)上都是减函数，其值从1减 小到-1.对问

27、题，学生能直观地得出：正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴 对称.在R上,y=sinx为奇函数,y=cosx为偶函数.教师要恰时恰点地引导，怎样用 学过的知识方法给予证明？由诱导公式:. sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx, y=sinx为奇函数，y=cosx为偶函数.至此，一部分学生已经看出来了，在正弦曲线、余弦曲线上还有其他的对称点 和对称轴，如正弦曲线还关于直线x=1对称，余弦曲线还关于点(1 ,0)对称，等等，这是由它的周期性而来的.教师可就此引导学生进一步探讨，为今后的学习打 下伏笔.讨论结果：略.定义域为R值域为-1,1,最大值都是1,最小值都是-1.单调性(

28、略).奇偶性(略).当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处.我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲 线,所以它们的定义域相同，都为R值域也相同，都是-1,1 ，最大值都是1,最 小值都是-1,只不过由于y轴放置的位置不同，使取得最大(或最小)值的时刻不 同；它们的周期相同，最小正周期都是2冗；它们的图象都是轴对称图形和中心对 称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴.但是由于y轴的位置不同，对称中心及对称轴与x轴交点 的横坐标也不同.它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区问问

29、隔 出现，也是由于y轴的位置改变，使增减区间的位置有所不同，也使奇偶性发生了 改变.应用示例思路1例1数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么.(1)y=cosx+1,x C R(2)y=-3sin2x,x CR活动：通过这道例题直接巩固所学的正弦、余弦的性质 .容易知道，这两个函 数都有最大值、最小值.课堂上可放手让学生自己去探究，教师适时的指导、点拨、 纠错，并体会对应取得最大(小)值的自变量为什么会有无穷多个.解：(1)使函数y=cosx+1,x R取得最大值的x的集合，就是使函数y=cosx,x R 取得最大值的x的集合x|

30、x=2k兀，k Z；使函数y=cosx+1,x C R取得最小值的x的集合，就是使函数y=cosx,x R取得最 小值的x的集合x|x=(2k+1)九，k C Z).函数y=cosx+1,x CR的最大值是1+1=2，最小值是-1+1=0. 令Z=2x,使函数y=-3sin乙ZC R取得最大值的Z的集合是Z| Z=- - +2k兀，k CZ，由 2x=Z=- ；+2k 九,得 x=- j+k 九.因此使函数y=-3sin2x,x R取得最大值的x的集合是x|x=-十+k九,k C Z.同理，使函数y=-3sin2x,x R取得最小值的x的集合是x|x= :+k兀，k C Z. 函数y=-3si

31、n2x,x R的最大值是3,最小值是-3.点评：以前我们求过最值，本例也是求最值，但对应的自变量x的值却不唯一, 这从正弦函数的周期性容易得到解释.求解本例的基本依据是正弦函数、余弦函 数的最大(小)值的性质，对于形如y=Asin(x+小)+B的函数，一般通过变量代换 (如设Z=co x+小化归为y=Asin Z+B的形式),然后进彳T求解.这种思想对于利用正 弦函数、余弦函数的其他性质解决问题时也适用.例2函数的单调性，比较下列各组数的大小：,23 二,17 一：(1)sin(-布)与 sin( - );(2)cos(一之)与 cos( 7 ).活动：学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的

32、图象与性质进行大小比 较，充分利用学生的知识迁移，有利于学生能力的快速提高.本例的两组都是正弦 或余弦，只需将角化为同一个单调区间内，然后根据单调性比较大小即可.课堂上 教师要让学生自己独立地去操作，教师适时地点拨、纠错，对思考方法不对的学生 给予帮助指导.解： 因为|_<_木<-看<0，正弦函数y=sinx在区间V。上是增函数，所)>sin( 18以 sin(23二、23二3二/17二、 17二 二(2)cos( )=cos =cos ,cos( -j- )=cos j- =cos 3 二因为0<7<石- <兀，且函数y=cosx,x C 0, tt

33、 是减函数,323二17二所以 cos>cos一,即 cos()<cos().点评：推进本例时应提醒学生注意，在今后遇到的三角函数值大小比较时，必 须将已知角化到同一个单调区间内，其次要注意首先大致地判断一下有没有符号 不同的情况，以便快速解题，如本例中,cos (>0,cos9<0,显然大小立判.例3函数y=sin( -x+),x -2冗，2冗的单调递增区间. 23活动：可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间.教师要引导学 生的思考方向：把1x+1看成Z,这样问题就转化为求y=sinZ的单调区间问题，而这就简单多了 .解：令Z=x+%.函数y=sin Z的单调

34、递增区间是 23-+2k 兀,+2k 兀.由+2k k & x+& -+2k 九,得一+4k 兀 & x & +4k 九，k Z.223233由xC -2几，2兀可知，-2九& +4k冗且 +4k兀w 2兀，于是< k< ,331212由于 k C Z,所以 k=0,即w x0,而一, 1 -2 兀，2 冗,因此，函数y=sin( -+-),x -2冗,2冗的单调递增区间是-更，土. 2 333点评：本例的求解是转化与化归思想的运用，即利用正弦函数的单调性，将问题转化为一个关于x的不等式问题.然后通过解不等式得到所求的单调区问，要让学生熟悉并

35、灵活运用这一数学思想方法，善于将复杂的问题简单化思路2例1求下列函数的定义域：(i)y= 1;(2)y= . cosx .1 sin x活动：学生思考操作，教师提醒学生充分利用函数图象，根据实际情况进行适 当的指导点拨，纠正出现的一些错误或书写不规范等.解：(1)由 1+sinx w0,得 sinx w-1,即 x* 3 +2k：t (k Z).原函数的定义域为x | x 3 +2k：t ,k Z.(2)由 cosx >0,得万+2卜冗 &x0 万+2 (k Z).原函数的定义域为1 号+2卜冗，|_+2k" (k CZ).点评：本例实际上是解三角不等式，可根据正弦曲线

36、、余弦曲线直接写出结果 本例分作两步，第一步转化，第二步利用三角函数曲线写出解集 例2在下列区间中，函数y=sin(x+ ：)的单调增区间是()A.一,兀 B. 0, C.-兀,0 D.JT 1T活动：函数y=sin(x+ ：)是一个复合函数，即y=sin小(x),小(x)=x+ :，欲 求丫=$所仅+ ：)的单调增区间，因小(x)=x+:在实数集上恒递增，故应求使y随小 (x)递增而递增的区间.也可从转化与化归思想的角度考虑，即把x+±看成一个4整体，其道理是一样的.JT3T解：.小(x)=x+ 1在实数集上恒递增，又y=sinx在2k tt - -,2k tt +-(k C Z)

37、上TTTTTT是递增的，故令 2k：t - <x+-<2k：t +=. 2kTt- -<x<2k：t+-.44y=sin(x+ )的递增区间是2k 兀-,2k 兀 +.取k=-1、0、1分别得坦，乙、-,三、史，, 444444对照选择肢，可知应选B.答案：B点评：像这类题型，上述解法属常规解法，而运用y=Asin(x+小)的单调增 区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，若本题运用对称轴方程求单调 区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法.当然作为选择题还可利用 特殊值、图象变换等手段更快地解出.解题规律：求复合函数单调区间的一般思路是：求定义域；(2)

38、确定复合过程，y=f(t),t=(I)(x);(3)根据函数f(t)的单调性确定小(x)的单调性;(4)写出满足小(x)的单调性的含有x的式子，并求出x的范 围;(5)得到x的范围，与其定义域求交集，即是原函数的单调区间.结论:对于复合函数的单调性，可以直接根据构成函数的单调性来判断.变式训练1.如果函数f(x)=sin(兀x+ 9 )(0< 8 <2冗)的最小正周期是T,且当x=2时取得最大值，那么()_八兀 A.T=2, 0 = B.T=1, 8 =兀C.T=2, 8 =兀D.T=1, 0 =12一2 二解：T=2,又当x=2时,sin(兀- 2+8 )=sin(2兀+ 8 )=sin 8 ,要使上式取得取大值，可取9 =.答案：A2.求函数y=-sin(2解：y=- sin( - 2x24 3巫)的单调递减区间及单调递增区问4 3)=-1sin( 2x-)23 4由 2k：t -三 0 2x- £&2k7t +工, 2342可得3k冗-<x<3k：r+(k Z),为单调减区问； 88由2kL除结入2kL竺， 2342可得3k：t+y <x<3k：t +1 (k Z),为单调增区间.所以原函数的单调减区间为3k九-曰,3