高中数学重点突破专项训练——立体几何

1、高中数学重点突破专项训练一一立体几何1 .将两块三角板按图甲方式拼好，其中ZB = ZD = 90。，ZACD = 30°, ZACB = 45°, AC = 29现将三角板ACO沿AC折起，使。在平面A3c上的射影恰好在.上， 如图乙.(1)求证：AD_L平面MC；求二面角。-AC-5的大小；求异面直线AC与瓦 所成角的大小.2 .如图，在正三棱柱A8C-H5G中，各棱长都等于a,D、E分不是AG、8玛的中点，(1)求证：龙是异面直线4G与8予的公垂线段, 并求其长度；(2)求二面角石-ACC的大小；(3)求点夷到平面平面的距离.3 .如图，在棱长为a的正方体45CD-A

2、蜴G"中，E、尸分不为棱血和5。的中点，EF交.BD千H.(1)求二面角4 一日"8的正切值；(2)试在棱8内上找一点M使RM_L平面EF纥,明你的结论;(3)求点R到平面平F"的距离.4.如图，斜三棱柱ABCA】BC的底面是直角三角形，AC±CB, ZABC=45° ,AiABB1是边长为a的菱形，且垂直于底面ABC, NA：AB=60'，E、F分不是AB1、 BC的中点.(1)求证 EF平面 AiACC,；(2)求EF与侧面AiABBi所成的角;(3)求三棱锥ABCE的体积.5 .直三棱柱ABCABG中，ABC为等腰直角三角形，ZB

3、AC = 90° ,且AB= AAi，D、E、F分不为B】A、C£、BC的中点。(I)求证：DE平面ABC；(II)求证：BFJ"平面AEF；(HI)求二面角氏一AE-F的大小(用反三角函数表示)。6 .在直角梯形 ABCD 中，NA=ND=90° , AB<CD, SD_L平面 ABCD, AB=AD二a,SD=、&,在线段SA上取一点E (不含端点)使EOAC,截面CDE与SB交 于点F。(I )求证：四边形EFCD为直角梯形；(II )求二面角B-EF-C的平面角的正切值；(III)设SB的中点为M,当£2的值是多少时，能使

4、aDMC为直角三角形？请给出证明。7 .如图，正四棱柱的底面边长为3,侧棱长为4, A作，垂足为F,且AF的延长线交于E。连结，过(I)求证：平面AEC(II)求三棱锥的体积(III)求二面角的正切值。(1)求证：点用在平面板上的射影为四的中点:(2)求二面角的大小;(3)判定用。与GA是否垂直，并证明你的结论.8 .如图.斜三棱柱相小 且侧面ABBE垂直于底面ABZ.9 .如图，以正四棱锥 匕妨底面中心。为坐标原点建立空间直角坐标系&xyz, 其中圆6C, Oy/AB. £为%中点，正四棱锥底面边长为2a,高为人(1)求 cos (BE. DE)；(2)记面用力为 ，面加/

5、为，假设/败是二面角VO 的平面角，求N应D.10 .长方体力60 ABC。中，棱AB=BC=3, BB,连结8(,过6点作BQ的垂线交CG于色交B,于E(1)求证：A。_L平面仍a(2)求也与平面4的。所成角的大小;(3)求二面角6如。的大小.n.如图，在正方体力6044GA中，E、尸分不是84，的中点.(1)证明：ADV D.F ；(2)求总'与RF所成的角；(3)证明：面月及ZL面4户。户(4)设AA=2,求三棱锥产AgA的体积匕_%皿.12 .长方体ABCD-ABCD中，E为AA】上一点，平面BCE 平面BCE, AB=BC=1,AA尸 2。(1)求平面BSE与平面RBE所成二

6、面角。的大小；(文科只要求求tana )(2)求点A到平面B£E的距离。第20R蜴13 .正三棱柱ABCAIC的底边长为1,高为h(h>3),点V在侧棱BB：上移动, 到底面ABC的距离为x,且AM与侧面BCC1所成的角为a ；(I )(本咨询6分)假设a在区间，工上变化，求x的变化范畴；6 4(II)(本咨询6分)假设a为,，求而与前所成招归、B14 .如下图，如垂直于正方形月题所在平面，"=2, £是阳的中点，而与恁夹角的余弦值为立. 3(1)建立适当的空间坐标系，写出点汇的坐标;(2)在平面为内求一点尸，使瓯L平面15 .如下图，直三棱柱ABC-45G

7、中，ZACB=90°,侧面A为与侧面Ag所成ZCMC, =90° , AB = a.的二面角为60°，"为AA上的点，ZA幽G=30°(1)求6V与侧面AG所成角的正切值;(2)求顶点A到面3MG的距宫.16 .如图，斜三棱柱A8C-AqG ,侧面旗6。与 底面 ABC 垂直且 N6Ol=90° , Z 48C = 60 , 8c = 88产2,假设二面角4一8避一。为30° ,(I )证明AC,平面84GC；(II )求A4与平面84GC所成角的正切值;(III)在平面A4出出内找一点P,使三棱锥为正三棱锥，并求P 到平面

8、8名。距离17 .平行六面体ABCO-A与GR的底面为正方形，分不为上、下底面的中心，且A在底面A8CD的射影是。(I)求证：平面qOC_L平面A8CD(II)假设点及尸分不在棱上A41,8C上，且AE = 2E41,咨询点尸在何处 时，EF1AD(HI)假设4m8 = 60。，求二面角C-A4I-8的大小(用反三角函数表示)答案：1. (1)设。在AB的射影为O,那么DO_L平面ABC,J.DOLBC, XBC1BA, /. BClWiADB J.BCLAD, 乂 4)_LC£), .A£)_L平面 8DC(2)由(1) AD±BD 又 AD = 1.AB =

9、，:.BD = 二。为 AB 中点 以05为x轴，OO为z轴，过。且与8C平行的直线为），轴建系，那么4 T,0,0）超（苧 ,0,0）,。（手, 0）, 0（0,0,斗设L（X, y, z）为平面ACD的法向量，由勺.AC = 0,雇而=0 ,可得勺=（1-1-1） 易知2 =（0.。/）为平面ABC的法向量，cos<,2 >= " &因此所求二面角为“C8S#(3) cos< AC,AD >=答普=因此所求角为60。 acad 22. （1）取AC中点F,连接DF.因为D是AQ的中点，因此DF" CC、,且DF = -CCX. 乂 BBH

10、CC, £是8名的中点，因此）>跖DF= BE,因此四边形 2庞加是平行四边形，因此龙廖 DE=BF.因为8名，面被7, BFu而四C, 因此叫质 乂因为尸是月。的中点，板是正三角形，因此BFLAC,BF = a.因为8用_1毋；BB / CC,因此既LCg,因此质1面ACG4, 2乂因为A£u而Act'd，因此既LAC1，因为DE BF,因此应_L Ag ,应J_ 8鸟,因此应是异面直线4G与BB的公垂线段，且OE =虫.因为BBJ/CC,2DE】BB因此施J.CG，乂因为/E_L4C1,因此应_1面47。小.乂。石u面AEG，因此面AEg，面ACG，因此二

11、面角七一 4GC的大小为90° (3)连接CE,那么三棱锥A-CEG的底面面积为S“叼=±，高力=斗”.因此 22A-C£C =1 6/ = .在三棱锥G-AEC中，底面力以中， ,3 2 2121AE = CE = 工,那么其高为a,因此S比.=".设点G到平面的的距离为 22&由匕=匕得y=/，因此"=苧，即点g到平面处的距离为亘 23. (1)连水；B】H ,那么哥'力C,因为47_L区?，因此劭_1_跖 因为a8_1_平面 "Q?,因此片“_LM 因此N8附8为二面角与-瓦-8的平面角.在 班BR RBBH中,

12、用B = “，B”=寸.因此tan/q"8 = 而 =2、历.(2)在棱用8上取中点以连。阳,因为比1平面用因此麻_L"M .在正方形中，因为M尸分不为6C的中点，因此87_LG”.又因为2G _L平面Bee4 因此87_1。夕,因此87_LRM,因此。陷，平面瓦耳.(3)设D.M与平面EFB.交于点N,那么D、N为点D1到平 面EF8的距离.在RtZA/50中，DR = D'N D】M .因为。四=、&,DiM=-a,因此£)小=也 =±”，故点R到平面EF的距离为士。21 D,M 334.AABBi是菱形,E是AB1中点,JE是A】B

13、中点,连AxC VF是BC中点， JEF4C丁A£u 平面 AxACCi, EFa平面 A】ACC, 'EF平面 A盘CC 作FG_LAB交AB于G,连EG 丁侧面AABB】_L平面ABC且交线是AB，FGJ_平面AxABBx, A ZFEG是EF与平面A】ABB1所成的角由 AB=a, AC_LBC, ZABC=45° ,得/g=走尸8 = ± = 8G24由 AAlAB二a, NA】AB=60° ,得 EG = a /. tan ZFEG = ,/. ZFEG = 30°43(3) V.腔二Vw 由EGLAB,平面孔ABB，平面 A

14、BC,，EGJ_平面 ABCA8C = -xLx AC x BC x EG = L 3 2485.解法一： 连接A】B、A】E,并延长A走交AC的延长线于点P,连接BP。由E为C£的中点，A£iCP可证AiE=EPVD> E 是 A3、AF 的中点,A DE# BP又BP平面ABC, DE平面ABC,DE 平面ABC 4分(11) ABC为等腰直角三角形，F为BC 的中点.BC±AF, 乂 .B】BJ_平面 ABC,由三垂线定理可证bf_laf设 AB=AiA=a那么 9分(III)过F做FMJ_AE于点M,连接BMBFJ_平面AEF,BFC由三垂线定理可证

15、B3UAE ZBxMF为二面角BAEF的平面角C£_L平面ABC, AFJ_FC,由三垂线定理可证EFJ_AF 在RtZXAEF中，可求在 RtZWM 中，NBFM=90° ,二面角BAEF的大小为14分解法二：如图建立空间直角坐标系0xyz令 AB=AA】 = 4,那么 A (0, 0, 0), E (0, 4, 2), F (2, 2, 0), B (4, 0, 0), B1(4, 0, 4)2 分(I)同解法一 6分(II) 10 分(III) (有个不学生按超出课本要求的方法求解.，按此标准给分) 平面AEF的法向量为，设平面BxAE的法向量为即令x=2,那么二面角

16、B：AEF的大小为6. ( 1 )6P四，四u平面弘6 0?平面 痴面厅G面丛庐跖A CD/EF :/。= 90。,(。，4。,又SO上面 ABC。工 SDLCD .CQ_L平面 SAD, :.CD1ED乂 EF<AB<CD 二E/CQ为直角梯形(II )SAD ,AE,EF.OE，EF.ZAE。用J为二面角DEFC的平面角EDT CW XWCDE 匚口 £C2 = ED1 +CD2 iflj AC2 = AD2 +CD? .1 L AC = ECED = AD = a /. AW石为等腰三角形， . UED =. igAAED = V2(HI)当8，时，AZWC为直角三

17、角形五一t AB = a. .CD = 2aBD =、；AI? +4/=NBDC = 45° /. BC = &BC 1 BD/. SC 平面 A8CD . SO，BC,. 8C _L 平面 SBD在 AS3O中，SD = DB.M 为 SB 中点,J MO 1.平面SBC MC u平面SBC, :. MD 1MC:. SDMC为直角三角形7. (I)是正四棱柱平面ABCD连AC, 乂底面ABCD是正方形小三垂线定理知，同理，平面AEC5分(11)平面ABC的长为E点到平面ABC的距离(III)连 CF平面，又由三垂线定理知，因此，为二面角的平面角在中，在中，即二面角的正切角

18、为8. (1)如图，在平面BA内，过用作用。_1_月6于。, 侧面84 平面力固，/. 平面 45a /用84是8金与平面16。所成的角，/ /B、BA = 60° .,/四边形A8与A是菱形， AAB昂为正三角形， ，是血的中点，即用在平面板上的射影为四的中点.(2)连结 切，I 月6。为正三角形，乂 平面AB，平面ABC,平面4出A平面ABC=AB,6P_L平面在平面内，过。作庞于&连结"，那么6F/. N?为二面角的平面角.在Rt?中，CQ = 2sin6(r =、G,连结BA1于0,那么BO = 3, DE = ；BO = V，CD：.tanZCED = =

19、 2.， 所求二面角 eA81一£的大小为arctan2.DE答:B.C ± C,A,连结BG， BBCC是菱形 / 8G 1 B】C6P，平面 AB , BQ 1 AB ,：. BXC LAB,BC _L平面 ABCX,， 8c ± CXA .9.(1)依题意，Bia, a, 0),。(-a, a, 0), D La, 一a, 0),a a h(，)2 2 2是喘r,勺，鹏,IBE DE =3aciz a 3ah h3a2h2) + ( ) + 一 =F .222 22 224ll=J(- + (-)2+d)2 =Oa2+h2 .1乙乙乙乙I DE 1= JA2

20、+(y)2+(y)2 = 1V10«2+h2 . V 乙乙乙乙由向量的数量积公式，有 3a2 h2碇BE DE24-6/+力2COS(BE，DE) =_=T- =_ T= 57-r-:EE。团山苗+一，而G I*"22(2) V N5M是二面角 -£ 的平面角，I. BE±CV ,即有BE-CV=0-3乂由。(一a, a, 0), V 0, 0, h),得 CV=a, - a, h),且 8足=(一彳， 2a hBE-CV =-a2+a2 + = 0.即 h = y2a . 22现在有cos(BE, _-6«2+/z2 _-6(r +(yf2a

21、)2 _1如吟kF不育rABED=(BE, DE ) = arccos(-) =tt -arccos.10. (1)连结47交切于0,那么47J_切.又AAJ_平面 47,J AiC VBD.'： BC_L庞而4蜴J_平面80, A,C VBE.'：BD A BE= B,，AC _L平面 BED.(2)连结4。，由ABa?知。在平面A£C内，由(1)是AC_L用.乂 : 4片_1_跖 胆平面44。，即得尸为垂足.连结班；那么/9'为山与平面片片。所成的角.12由月5=6。=3,与8=4,可求是耳。=5, BF = .916279 CF = -, B,F = 9

22、 那么石尸=巴，EC=-. 55204 ED = . 4Q在 Rt瓦下中，sin ZE£>F = ,25 顾与平面48c所成的角为arcsin?. 2 5(3)连结50,由以门_平面切。且47J_勿知右0_LM. 为所求二面角斤初。的平面角.“9 仆厂3近. EC = - , OC =，42，在 RtZfOC中，tanZEOC = =.OC 43 5：.二面角后区?。的大小为arctanl.4n.如下图，建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2,那么，io, o, 0), A (2, 0, 0), F (0, 1, 0), D (0, 0, 2),4(2, 0, 2), E 2

23、, 2, 1).(1) ; AD= (-2, 0, 0),诉= + 0X (-2) =00, 1, -2),且A£>£>E = -2X0 + 0XlAD1DF .(2) AE= (0, 2, 1), 印二(0, 1, -2)设灰与丽的夹角为那么cose =0x0 +2x1 +1x(-2)V02 +22 + l2 - 7o2 + 12+(-2)2=0,=90° ,即恕与RF所成的角为直角.(3)由(1)知而_1而，由(2)知荏J.而, _L平面力初.乂。尸u面4立, J 面457?_L面(4)设月月的中点为G,连结G乙GD'/ FG A。1，尸G

24、 面 A ER .1 V = V = V2 Y F-4|£D| , G-AiEDi Y Dj-AjGE 9'：A4, = 2,= Sqabr氐 - 25日段 一 S1beg = ， 乙1133 丫的=DrAfiE =鼻 X A,。 X SGE =-x2x-l . wZJ乙12.(1) 归(：_1平面8片石，平面BB】E_L平面8c石,乂平面B£E_L平面8CE, 上21.平面8。£；,/. CElBjE, BE ± BXEZBEC确实是平面BCE与平面B：BE所成二面角的平面角a。设NAEB二夕，那么NABE二夕AAE=ABcot p =cot

25、p ,A1E=A1B1 tan p =tan p.AE+EAkAAN,/.cotp+tan p=2/.tan/7=l. BJ AE=AXE= 1在 RtZMSBE 中，BC二 1, BE二双+ _ _也 l an ct o y22. t V2 a = arctan 2(2)在三棱锥C-AEB】中，与“£ = J,C8 = 1,从而IZ 1 1 t 1y p i cd = x - x 1 =一c-A 峪 3 26在 Rt ABxCE 中，CE = yBEr+BC1 = &,EB、=我S 一显设A到平面B】EC的距离为h,那么_1瓜一屈IYa r ' , IlIl3 26

26、匕-8四=VjA通. R i i66V6 T13. (I)设BC的中点为D,连结AD、DM,在正ABC中，易知AD_LBC, 乂侧面 BC3与底面ABC互相垂直，平面BCC,即NAMD为AM与侧面BCQ所 成的角，NAMD二a,工在 RtZXADM 中，cosAMD二段，AM依题意BM即为点B到度面ABC的距离， ABM=x, 4 w G2 八” V1 + 4厂0 + 4厂.1 lAM =y/ + x .DM =cosa = f,2241+ 由 <a<三，所以cos巳644< cosa < cos, 6即避cosaV也， 22.氏 / a/1+4x2 ,2 2717 2

27、C 1+4/、, 2 < < 3,1 +厂解得3WxwVI, 2即X的变化范畴是哆闻(II)=2,即工=、物寸,即8”=四,.,前1=石， 6I.II I由于 AA/-8C = (48+8M)8C=AB8C+8M-8C cosl2(r +0 = 一一, 2且前灰 T 俞II衣Icos<俞，就，而I旅1=1,-.cos< AM,BC>=-,即而与前所成的角为arccos).66(还可按解答的图形所示作辅助线，用常规方法解决)14. (1)如题图以为、DC、分所在直线分不为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐 标系二>月(2, 0, 0)、B (2, 2, 0), C

28、 (0, 2, 0),设尸(0, 0, 2卬)=E (1,1,卬)，那么 AE = (-1, 1,加，DP = (0, 0, 2/27), cosDP,因此£点的坐标是(b b 1).码=7 为=2 = m = l, /x/1 + 1 + 77?2 92m3(2)平面加，可设厂(X, 0, z)=>£：r = (x-l, 一 1, Z-1), EF工平 面PC8 = _L甚= (x-l, -1, -1)-(2, 0, 0) = 0=>x = l.那么 EF±PC>(x-l -1, Z 1)(O, 2, -2)=O = z = O，因此点尸的坐标是

29、(L 0, 0),即点尸是力的中点.15. (1)三棱柱ABC 48cl为直棱柱，N8AC为二面角4-A4|-G的平面角， 因此N84C=60° , 乂 NAC8 = 90° .网工侧面从6.连接心那么必是如 在侧面AG上的射影.因此N3MC为AV与侧面AG所成的角.乂 NCMG =90° ,ZA.MC. =30° ,因此NAMC=60° .设3C = z,那么 4C = 土!?，MC = -m,因 11333此tan/8MC=.(2)过A作AN_L"C.垂足为N因为4NMG，因此AN 2面MBC.面MBC ± MBC,过N作NH ,垂足为H,那么M是N到面MBg 的距离,也即A到Mg 的距离.= a , A C ='，且NACN = 30° ,可得AN ='， 124且Z4MN=60° .因此MN = a. NH =MN-snyZBMC= - ax= = a .讲明：此题(2)亦可1212V1352利用匕5g 二H-AMC 来求解16. (1) 面叫(7£_1面48。，因为面明 CQc 面 88C