【步步高】2014届高三数学大一轮复习 专题四 数列的综合应用教案 理 新人教A版

1、专题四数列的综合应用1等比数列与等差数列比较表不同点相同点等差数列(1)强调从第二项起每一项与前一项的差；(2)a1和d可以为零；(3)等差中项唯一(1)都强调从第二项起每一项与前一项的关系；等比数列(1)强调从第二项起每一项与前一项的比；(2)a1与q均不为零；(3)等比中项有两个值(2)结果都必须是同一个常数；(3)数列都可由a1，d或a1，q确定2. 数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、分期付款、合理定价等3 解答数列应用题的基本步骤(1)审题仔细阅读材料，

2、认真理解题意(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征(3)求解求出该问题的数学解(4)还原将所求结果还原到原实际问题中4 数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an1的递推关系，还是Sn与Sn1之间的递推关系1 在等比数列an中，an>0，a2a42a3a5a4a625

3、，则a3a5的值为_答案5解析设首项为a1，公比为q，则a1>0，q>0，a2a42a3a5a4a6aq42aq6aq8aq4(1q2)225.a1q2(1q2)5，a3a5a1q2a1q4a1q2(1q2)5.2 已知等差数列的公差d<0，前n项和记为Sn，满足S20>0，S21<0，则当n_时，Sn达到最大值答案10解析S2010(a1a20)10(a10a11)>0，S2121a11<0，a10>0，a11<0，n10时，Sn最大3 设等差数列an的各项均为整数，其公差d0，a56，若a3，a5，am (m>5)是公比为q (q

4、>0)的等比数列，则m的值为_答案11解析由题意，得a362d，因为q，所以3d；因为q大于零，所以3d是大于零的整数，q.由题意知，数列an各项均为整数，故d，q均应为整数当3d>3,3dZ时，q不为整数，故3d只能取1,3.当3d3时，d0，不满足条件；故3d1，此时d2，q3，满足条件所以q3，d2，因此6×3am6(m5)×2，所以m11.4 设数列an是公差大于0的等差数列，a3，a5分别是方程x214x450的两个实根则数列an的通项公式是an_；若bn，则数列bn的前n项和Tn_.答案2n12解析因为方程x214x450的两个根分别为5、9，所以由

5、题意可知a35，a59，所以d2，所以ana3(n3)d2n1.bnn·，Tn1×2×3×(n1)×n·Tn1×2×(n1)×n·得，Tnn·1，所以Tn2.5 等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f(0)等于()A26 B29 C212 D215答案C解析f(x)x·(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)··(xa8)·x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)

6、3;x，所以f(0)(0a1)(0a2)(0a8)0a1a2a8.因为数列an为等比数列，所以a2a7a3a6a4a5a1a88，所以f(0)84212.题型一等差数列与等比数列的综合应用例1在等差数列an中，a1030，a2050.(1)求数列an的通项an；(2)令bn2an10，证明：数列bn为等比数列审题视角第(1)问列首项a1与公差d的方程组求an；第(2)问利用定义证明(1)解由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程组解得an12(n1)·22n10.(2)证明由(1)，得bn2an1022n101022n4n，4，bn是首项是4，公比q4的等比数列探究提高对

7、等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系往往用到转化与化归的思想方法 数列an的前n项和记为Sn，a11，an12Sn1 (n1)(1)求an的通项公式；(2)等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且T315，又a1b1，a2b2，a3b3成等比数列，求Tn.解(1)由an12Sn1，可得an2Sn11 (n2)，两式相减得an1an2an，则an13an (n2)又a22S113，a23a1.故an是首项为1，公比为3的等比数列，an3n1.(2)设bn的公差为d，由T315，b1b2b315，可得b25，故可设b15d，b

8、35d，又a11，a23，a39，由题意可得(5d1)(5d9)(53)2，解得d12，d210.等差数列bn的各项为正，d>0，d2，b13，Tn3n×2n22n.题型二数列与函数的综合应用例2已知函数f(x)log2xlogx2(0<x<1)，数列an满足f(2an)2n (nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)判断数列an的单调性思维启迪：(1)将an看成一个未知数，解方程即可求出an；(2)通过比较an和an1的大小来判断数列an的单调性解(1)由已知得log22an2n，an2n，即a2nan10.ann±.0<x<1，0<

9、2an<1，an<0.ann.(2)方法一an1an(n1)(n)1>10，an1>an，an是递增数列方法二<1，又an<0，an1>an，an是递增数列探究提高本题融数列、方程、函数单调性等知识为一体，结构巧妙、形式新颖，着重考查逻辑分析能力 等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b>0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由题意，Snbnr，当n2时，Sn1bn1r.所以anSnSn1bn1(b1)由于b>0且b1

10、，所以n2时，an是以b为公比的等比数列又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)由(1)知，nN*，an(b1)bn12n1，所以bn.Tn，Tn，两式相减得Tn，故Tn，nN*.题型三数列与不等式的综合应用例3(2012·广东)设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，nN*，且a1，a25，a3成等差数列(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有<.思维启迪：根据前几项关系易求a1，可以构造数列求an，进而利用放缩法证明不等式(1)解a1，a25，a3成等差数列，2(a25)a1a3.又2Snan12n11，2S1

11、a2221,2S2a3231，2a1a23,2(a1a2)a37.由得a11.(2)解2Snan12n11，当n2时，2Sn1an2n1.得2anan1an2n12n，an13an2n.两边同除以2n1得·，1.又由(1)知1，数列是以为首项，为公比的等比数列，1·n1n，an3n2n，即数列an的通项公式为an3n2n.(3)证明an3n2n(12)n2nC·1n·20C·1n1·21C·1n2·22C·10·2n2n12n2(n2n)2n2n>12n2(n2n)12n2>2n2&

12、gt;2n(n1)，<·，<111<，即<. 已知数列an满足a1，an1an2an1an，Sn表示数列an前n项和求证：Sn<1.证明由a10易知，对于任意的n，an0，原式化为1，12.令bn1，b12，bn12bn，数列bn是首项为2，公比为2的等比数列，即bn12n，所以an，故Sna1a2an<1<1.题型四数列的实际应用例4某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米那么，到哪一年

13、底：(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2008年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(参考数据：1.0841.36,1.0851.47,1.0861.59)思维启迪：关键信息：每年新建住房面积平均比上一年增长8%，说明新建住房面积构成等比数列模型；中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，说明中低价房的面积构成等差数列模型解(1)设中低价房面积形成数列an，由题意可知an是等差数列，其中a1250，d50，则Sn250n×5025n2225n，令25n2225n4 750，即n29n1900，而n

14、是正整数，n10.到2017年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米(2)设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn是等比数列，其中b1400，q1.08，则bn400×(1.08)n1.由题意可知an>0.85bn，有250(n1)×50>400×(1.08)n1×0.85.当n5时，a5<0.85b5，当n6时，a6>0.85b6，满足上述不等式的最小正整数n为6.到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.探究提高解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，

15、通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题，这恰好是数学实际应用的具体体现 今年“十一”期间，北京十家重点公园将举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是 ()A21147 B21257C21368 D21480答案B解析由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构造以1为首项，1为公差

16、的等差数列，记第n个30分钟内进入公园的人数为an，第n个30分钟内出来的人数为bn，则an4×2n1，bnn，则上午11时30分公园内的人数为S221257.用构造数列的思想解题典例：(12分)已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1，an2Sn·Sn1 (n2)(1)求数列an的通项公式an；(2)求证：SSS.审题视角(1)从求证内容来看，首先要求出Sn.(2)从Sn与Sn1的递推关系来看，可考虑构造新数列.(3)可考虑用放缩法证明规范解答(1)解an2Sn·Sn1 (n2)，SnSn12Sn·Sn1.两边同除以Sn·Sn1，得2 (n2

17、)，2分数列是以2为首项，以d2为公差的等差数列，3分(n1)·d22(n1)2n，Sn.5分将Sn代入an2Sn·Sn1，得an6分(2)证明S< (n2)，S，当n2时，SSS<；10分当n1时，S.综上，SSS.12分温馨提醒(1)在数列的解题过程中，常常要构造新数列，使新数列成为等差或等比数列构造新数列可以使题目变得简单，而构造新数列要抓住题目信息，不能乱变形(2)本题首先要构造新数列，其次应用放缩法，并且发现只有应用放缩法才能用裂项相消法求和，从而把问题解决事实上：<，也可以看成一个新构造：bn.(3)易错分析：构造不出新数列，从而使思维受阻不会

18、作不等式的放缩.方法与技巧1用好等差数列和等比数列的性质可以降低运算量，减少差错2理解等差数列、等比数列定义、基本量的含义和应用，体会两者解题中的区别3注意数列与函数、方程、三角、不等式等知识的融合，了解其中蕴含的数学思想4在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，都可以利用数列来解决，因此要会在实际问题中抽象出数学模型，并用它解决实际问题失误与防范1等比数列的前n项和公式要分两种情况：公比等于1和公比不等于1.最容易忽视公比等于1的情况，要注意这方面的练习2数列的实际应用问题，要学会建模，对应哪一类数列，进而求解A组专项基础训练(时间：35分钟，满分

19、：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1 (2011·安徽)若数列an的通项公式是an(1)n·(3n2)，则a1a2a10等于()A15 B12 C12 D15答案A解析an(1)n(3n2)，a1a2a10147102528(14)(710)(2528)3×515.2 设等差数列an的前n项和为Sn，若a111，a4a66，则当Sn取最小值时，n等于 ()A6 B7 C8 D9答案A解析设等差数列的公差为d，则由a4a66得2a56，a53.又a111，3114d，d2，Sn11n×2n212n(n6)236，故当n6时Sn取最小值3 已知函数

20、f(x)若数列an满足anf(n) (nN*)，且an是递增数列，则实数a的取值范围是 ()A. B.C(2,3) D(1,3)答案C解析数列an满足anf(n) (nN*)，则函数f(n)为增函数，注意a86>(3a)×73.所以解得2<a<3.4 (2012·湖北)定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln |x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()A B C D答

21、案C解析利用特殊化思想，选an2n判定不妨令an2n.因为f(x)x2，所以f(an)4n.显然f(2n)是首项为4，公比为4的等比数列因为f(x)2x，所以f(a1)f(2)22，f(a2)f(4)24，f(a3)f(8)28，所以416，所以f(an)不是等比数列因为f(x)，所以f(an)()n.显然f(an)是首项为，公比为的等比数列因为f(x)ln |x|，所以f(an)ln 2nnln 2.显然f(an)是首项为ln 2，公差为ln 2的等差数列故应选C.二、填空题(每小题5分，共15分)5 (2011·江苏)设1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数

22、列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_答案解析由题意知a3q，a5q2，a7q3且q1，a4a21，a6a22且a21，那么有q22且q33.故q，即q的最小值为.6 已知数列an满足a11，a22，an2，则该数列前26项的和为_答案10解析由于a11，a22，an2，所以a31，a4，a51，a62，所以an是周期为4的数列，故S266×1210.7对正整数n，若曲线yxn (1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和为_答案2n12解析yxn(1x)xnxn1，ynxn1(n1)xn，当x2时，切线的斜率k(n2)2n1，在x2处的切线方

23、程为y2n(n2)2n1(x2)，令x0可得y(n1)2n，即an(n1)2n，2n，即数列为等比数列，其前n项和Sn2n12.三、解答题(共22分)8 (10分)(2011·大纲全国)设数列an满足a10且1.(1)求an的通项公式；(2)设bn，记Snk，证明：Sn<1.(1)解由题设1，即是公差为1的等差数列，又1，故n.所以an1.(2)证明由(1)得bn，Snk1<1.9 (12分)已知单调递增的等比数列an满足a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)若bnanlogan，Snb1b2bn，求使Snn·2n1&

24、gt;50成立的最小正整数n的值解(1)设此等比数列为a1，a1q，a1q2，a1q3，其中a10，q0.由题意知：a1qa1q2a1q328，a1qa1q32(a1q22)×7得6a1q315a1q26a1q0，即2q25q20，解得q2或q.等比数列an单调递增，a12，q2，an2n.(2)由(1)得bnn·2n，Snb1b2bn(1×22×22n·2n)设Tn1×22×22n·2n，则2Tn1×222×23n·2n1.由，得Tn1×21×221·2

25、nn·2n12n12n·2n1(1n)·2n12，Tn(n1)·2n12.Sn(n1)·2n12.要使Snn·2n1>50成立，即(n1)·2n12n·2n1>50，即2n>26.2416<26,2532>26，且y2x是单调递增函数，满足条件的n的最小值为5.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1 已知数列an的通项公式为anlog2 (nN*)，设其前n项和为Sn，则使Sn<5成立的自然数n ()A有最小值63 B有最大值63C有

26、最小值31 D有最大值31答案A解析anlog2log2(n1)log2(n2)，Sna1a2anlog22log23log23log24log2(n1)log2(n2)1log2(n2)，由Sn<5，得log2(n2)>6，即n2>64，n>62，n有最小值63.2 已知数列an满足3an1an4 (nN*)且a19，其前n项和为Sn，则满足不等式|Snn6|<的最小正整数n是 ()A5 B6 C7 D8答案C解析由3an1an4得，an11(an1) (运用构造数列法)，an1是以a118为首项，为公比的等比数列，an18·n1，an8×n

27、11.Sn8n8×n6n×6n，|Snn6|n×6<，即3n>750.将n5,6,7分别代入验证符合题意的最小正整数n7.3 设函数f(x)xmax的导函数f(x)2x1，则数列 (nN*)的前n项和是()A. B. C. D.答案A解析由f(x)mxm1a2x1得m2，a1.f(x)x2x，则.Sn11.二、填空题(每小题5分，共15分)4 已知数列an满足a133，an1an2n，则的最小值为_答案解析an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12(n1)(n2)13333n2n，所以n1.设f(x)x1，则f(x)1.令f(x)>0，得x>或x<.所以f(x)在(，)上是增函数，在(0，)上是减函数因为nN*，所以当n5或n6时，f(n)取最小值因为f(5)，f(6)，>，所以的最小值为.5 在等比数列an中，Sn为其前n项和，已知a52S43，a62S53，则此数列