高中特殊函数(取整与超越函数、绝对值与对勾、双刀函数、蛙跳函数)

1、专题1 对勾函数、双刀函数题型1对勾函数(因其图象类似于耐克标志，所以也称耐克函数。)双刀函数对勾函数：一般式：y = ax + -(xO)(a% b>0)Q性质： x定义域：xe R,xW。奇偶性：奇函数；单调区间：单调递增区间,、因+sj ,单调递减区间：双刀函数：一般式：y = ax + -(xO)(a % 异号),性质： x定义域：xeR,xW。;奇偶性：奇函数；单调区间：当>0、<0时，在(s,O)(O, + s)单调递增；当<0、:>0时，在(s,O)(O,+8)单调递减；1 .函数y = 的图象大致是 ()【解析】等价于分段函数：)，= <&q

2、uot;r,选。 jU>l)2 .已知函数/(x)=llgxl,若4 H 且/(") = /()，则4+的取值范围是【解析】v f(a) = f(b) ,舍去)或,必=1 , .,.4 + b = 4 + 1 >24.函数/(x)= 的最大值为x + 【解析】/(X)= ,分母最小值为2，则最大值为:6+不一5、厂-4x + 55.已知x 2 ,则 /(x)=22x-4【解析】/(x) = -(x-2 + ),由对勾曲线或基本不等式可求得最小值是12x-249 .(2019年新高考江苏卷)在平面直角坐标系xQv中，P是曲线y = x +(x>0)上的一个动点，则点P

3、到直 x线X+产0的距离的最小值是 o4方法一：设P X,X + X，则2x + - x>4°方法二：y =1 二=一1 ,得切点卜反3夜)，贝!14面=4 厂10 .(2020年新课标全国卷U10)设函数/(工)=/一，则“X)()X人是奇函数，且在(0,+8)单调递增8.是奇函数，且在(0,+8)单调递减C是偶函数，且在(0,+8)单调递增D是偶函数，且在(0,+8)单调递减【解析】选A专题2 取整函数与小数函数、绝对值函数、狄克莱克函数、符号函弟题型1取整函数与小数函数。L取整函数：），=a,表示不超过x的最大整数。性质：定义域：xeR ；值域：yeZ;图象：台阶型线段；

4、图象与直线y = x-l交点个数H = X-1方程根的个数，或gw =卜-X +1的零点个数）应用：纳税.电话资费.出租车费用等。2.小数函数：y = x,表示x的小数部分。-2 -1性质：定义域:xw R ;值域：0,1）；周期性：T = 1。x,x,x三者之间的关系：X = x + xcA.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C既是等差数列又是等比数列。.既不是等差数列也不是等比数列1 .设xeR,记不超过x的最大整数为卜,令* =工一可，（本题考查了黄金分割点。）2 .某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6 时再增选一名代表

5、，那么各班可推选代表人数），与该班人数X之间的函数关系用取整函数y = x（卜表示不大于x的最大整数）可以表示为（）【解析】余数为7、8、9的再增选一名代表，选及3 .设卜表示不大于x的最大整数，则对任意实数x,y,有（ ）A. -v = -aB.（2x = 2xC. x +小田+卜D.x-y<M-y【解析】-0.5 = -1 , -0.5 = 0，选项A 错误；2x0.5= 1 , 2（0.5 = 0，选项8错误；1.5 + 1.6 = 3 ,1.5+1.6=2 ,选项 C错误；选。4.设卜表示不大于x的最大整数，则对任意实数x,y,有（ ）=1 , ； = 0，选项5错误，选以C.

6、2a = 2aD. a+ x + = 2a2【解析】同上题，选项4C错误，-+- 2 25.x为实数，同表示不超过x的最大整数，则函数/（x） = x-x在R上为（A.奇函数C增函数。.周期函数(0<x<2)(0<x<2)【解析】/（X）是小数函数. /（x）是周期函数，选。题型2绝对值函数：fM =小-b + c开口、顶点、对称轴类比函数y = a（x f+C。L若函数/（幻=卜一4 + 2在0,2）上为增函数，则实数°、8的取值范围是【解析】由y = a（x-炉+2，得2 .函数/（工）=不卜+4+是奇函数的充要条件是【解析】由/（。）=。得 =0 , k

7、 +4为偶函数，得。=03 ,图中的图象所表示的函数的解析式为（）3A. y = I x -1123 3B. y = -lx-ll ,2 23C. y =Ix-112(0<x<2)【解析】先求出05对应线段的解析式为y ="，再求出1,2对应线段的解析式），= 3-/，合并为答3案8；或代入x = l可排除从。，折线的斜率的绝对值为二，选82技巧：可类似于y = «（a-1）2+1的图象题型3狄克莱克函数：。)=为有理数)0(尤为无理数)°性质：值域：0,1； 周期性：周期函数，但没有最小正周期； 非单调函数;偶函数。爆歌则下列结论错误的是)A.。(幻

8、的值域为0,1B. O(x)是偶函数C.。(幻不是周期函数D.。(幻不是单调函数【解析】由狄克莱克函数性质可知选C1, x > 0,题型4符号函数： sgn x = j 0, a- = 0,-1, x<0.性质：定义域：X e R ；值域:-1,0,1)；周期性：非周期函数；非单调函数；奇函数。1, x > 0,1 .已知符号函数sgnx0, x = 0, .f(x)是R上的增函数，g(x) = /(x) f3)Q>l),贝ij ()- 1, x<0.A. sgng(x)J = sgnxB. sgn5(x)J = -sgnxC. sgn(g(A)J = sgn/(

9、x)D. sgn(x)J =-sgnl/(x)【解析】当x0时，gM<0 ；工=0时，g(x) = 0 ； x<0时，g(x)>0，选8技巧：抽象函数特殊化：设/(x) = xm = 2 ,则g(x) = -x z而sgnx为奇函数，.二sgng(x) = -sgnx1 (x > 0)2 .设/(、) = <。(x = 0)，g(x) = ,l(x为有理数)0(x为无理数)A. 1B.QD. 7t-1 (x < 0)【解析】f(g) = (0)=0，选8题型1抽象函数解抽象函数问题通常采用赋值法、结构变换法。几类常考初等函数对应抽象函数的表示：指数函数：x+

10、y) = x)/(y);对数函数:/(xy) = /(x) + /(y);一次函数：/3+y) = /(x) + /(y) +以当b为0时为正比例函数)，且/(x) = Ax ;席函数：f(xy) = f(x)f(y)o秒杀：如在小题中出现抽象函数问题，应先找到对应的具体函数，抽象函数具体化，使问题简单化。1 .(2017年新课标全国卷15)函数/(x)在(f ,+s)单调递减，且为奇函数，若/(1) = 1,则满足一14/1一2)<1的工的取值范围是( )A. -2,2B. -1,1C. 0,4D. 1,3【解析】2)</(1),得3之工之1 ,选。；技巧：取特殊函数/'

11、(x) = -X。2 .设函数/(x)(xeR)为奇函数，/(1) = 1, /(工 + 2) = /*) + /(2),则/(5)等于()2A.QB. 1C. -D.52【解析】/(5) =/(3)+ /(2) = 2/(2)+ /(1)，令工=-1 得，/=1。秒杀技巧：取特殊函数/")=履，代入/，得，即"5) = 2，选C。 2223 .若定义在R上的函数/3)满足：对任意内eR有/(a,+x2) = /(5) + /(x2) + l,则下列说法一定正确的是()儿/(X)为奇函数 B./(x)为偶函数C. /(x) + l为奇函数D /*) + 1为偶函数【解析】由

12、解析式可知/是一次函数，可设/(刈=h+ ,代入得/*)=匕-1 ,选C。4 .下列函数中，不洒足/(2x)=2x)的是(A. /(x) = N /(x)=x-N C. f(x) = x + D. /(x)=-x【解析】代入知选G5 .函数/(x) = "(a>OMWl)对于任意的实数x、)，都有()A. /(母)= /*)/(')B. /(x>O = /W + /(y)C. f(x+y) = f(x)-f(y)D, f(x + y) = f(x) + f(y)【解析】选G6 .下列函数中，满足“/(x+)，)= /(x)/()，)”的单调递增函数是()A. /(

13、x) = / B, f(x) = x3 C. f(x)=D. f(x) = y【解析】可知高M数函数的抽象表示，且为增函数,选Do7 .设奇函数/(x)在(O,+s)上为增函数，且/(1) = 0,不等式,一/(一工)vo的解集为()XA. (T,O)U(L + s)B. (-oo,-l)U(0,l)C. f-l)U(l，+ 8)D. (-l,0)U(04)【解析】利用奇函数关于原点对称，/(1) = 0,/(-1) = 0 ,大致画出函数的图象，选。8.(2020年新高考山东卷8)若定义在R上的奇函数/在(-oo,0)单调递减，且/=0,则满足43一1)之0的大的取值范围是()A. 1JU3

14、,2)B. -3,-lU0,l C. -l,0Ul,+) D. -l,0Ul,3【解析】利用奇函数关于原点对称,/=/(-2) = 0 ,大致画出函数的图象，选以分段函数。题型2分段函数求函数值按自变量所在区间代入到对应的解析式中l + log>(2-x),x< 1,1.(2015 年新课标全国卷 115)设函数/(x) = 1 °一，则/(-2) + /(log2 12)=()2 , x N1,A.35 6C.9D. 12【解析】/(一2) = 3 , /(log212) = 2,2-,=6，所以选C。Igxx>02.设/(x) =八，若/(/(1) = 1，则。

15、=x+ 3rdt x<0Jo【解析】v/(l) = O , /(0) = J：3/Z=1，.二4 = 1。3设则川)。【解析】/(/(- 2)= /(10-2 )= 1g IO-2 = -2.l(x为有理数)0(%为无理数),则/(gW)的值为1 (x > 0)4 .设x)=o (x = 0) , g(x) = <-1 (x < 0) .A. 1B. 0C. - 1D. 7t【解析】/(g(乃)=/(。)=。，选&2x3,x< 05 .已知函数/(x) = |笈一 tan a0 <x< 2【解析】/。任! = /(-1) = -2。146 .设

16、/(x) = ,I x 11 2x K 1ixi>i u+r【解析】B.13133占)="，3)1-x27.设函数/(» = <)， r + x 2,15A.16口 27B. 169，则/小 27【解析】选力。I 8 .设/(x) =2" '：<2,则/(2)的值为(log3(x2-l),x>2A.QB. 1C.2D.3【解析】选Clog3 x,x > 0 2x<0，则/ / - /A. 41B.-4G-41D.-4【解析】选B。10.设函数f(x) = ,，则/(/I)” yx,X>0 出,x<。【解析】4

17、题型3已知函数值求自变量代入每一段求自变量，然后验证求出的自变量是否在对应的区间内，不在应舍去-x,x 401 .设函数/(x) = < J ,若/(a) = 4,则实数。二()xx>0A.-4或-2 氏-4或2C -2或4D -2或2【解析】由第一段得 =T (符合),第二段得4 = 2 (符合)或4 = -2倍去)，选G2T,xe(p,l12 .设函数/(x) = (' ,、，则满足/(x) = 的x值为>log81 x,xe(l,+oc)4【解析】第一段得X = 2 (舍去)，第二段得X = 3 (符合)。yX < 13 .已知函数/'(X)= 一

18、 ，若/(x) = 2，则汇=o-X, X > 1,【解析】第一段得、=132(符合)，第二殳得工=一2(舍去)。4.(2015年新课标全国卷I)已知函数'. 一 ，且/()= -3,贝iJ/(6 0=()-log2(x + l),x>lA. 一一B.C. 一一D. 一一4444【解析】代入得。=7 ,，选A。4A 1R 正、贬n , V2A. 1B. - C 1, D, 1, 222【解析】选G6.设小）=惶:晨 > 若）=+ 1）,则/用=（）A.2B.4C.6D.8【解析】可知。与a +1不在同一段，所以a £（0,1） , “ +1 e），所以有&a

19、mp; = 2。，得。；或。=0 （舍去），:/（£| = /（4）= 6 ,选C。题型4分段函数解不等式cos/rx,x£。，一1.（2014年辽宁）己知/*）为偶函数，当X20时J（x） = j2x-l,xe （一,* 2集为（）124 7311 21347A.匚刍U止,4B. -2G A,-（J-14 33 44 34 33 43 4【解析】由分段函数解不等式求出/（A） < ；的解集为卜U ：,-秒杀方法：/（X）是偶函数，关于），轴对称，/（x-l）关于直线x = l对称41，则不等式/（X 1）4 5的解Q）231 I 3。匕-卅浦 向右平移一个单位即可，

20、选人，所以的解集亦关于1、直线工=1对称，而只有从选项关于直线x = l对称对称，选A。分段解，最后取并集(x + l)x< 12,设函数/(x)=,则使得/(x)Nl的自变量x的取值范围为 ()4 一 «-1, x > 1A. (-oo,-2UOJO B. (-co,-2U0j C. (一,D. -2,OU1JOA .x>【解析】.j i，选A。(%+ir>i 4-Vx-i>i2-x-l,x<03 .设函数/(x) =£,若/(x0)>L则4的取值范围是()x2,x>0A.(1,1)B.( - l,+oo)C. (20, 2

21、)(J(0+oo)D. (s l)U(l,+°0)【解析】选Do4 .设,，则f(x)>2的解集为 ()Jog3(T)，xN2A. (l,2)U(3,+oo) B. (M,) C. (1,2)U(V10,+od) D. (1,2)【解析】选C.5 .设函数/(为=卜一一4" + 6,'"°,则不等式/*)>/的解集是 ()x + 6,x <0人(3,1)U(3,”) A (_3/)U(2,") C (_1,1)U(3,r) D. (-oo,-3)U(L3)【解析】选A。屏<1,6 .(2014年新课标全国卷I)设

22、函数/(x) =I，则使得2成立的x的取值范围是x,x> 1,【解析】第一段恒成立,第二段xe限8,即工e(-s,8。2"” x< 17 .(2011年辽宁卷)设函数/(X)二1'一 ，则满足/(幻42的x的取值范围是()l-log2 X.X > 1A.B. 0,2C. 1,+qo)D. 0,+qo)【解析】第一段：2l-r<2>l>x>0，第：l - log2X42 = xNl ,取并例以log.x,(x>0)8 .设函数/(x)= o5(7)“<0),若/()>/(4),则实数4的取值范围是()A. (-1,O)

23、U(OJ) B. (-oo,-1)U(1,+od) C. (TO)U(l，+s) D. (-oo,-l)U(OJ)【解析】/(X)为奇函数,/(«) >/(-«) = -/(«) ,，第一段解得：,第二段解得：0>。>一1 ,选。X + 1 X < 019.(2017年全国卷III15)设函数/")= ；'二，则满足+的x的取值范围是21 x>0t2»【解析】.f(x) =x + ,x<02x>0',由图象变换可画出)，=小一;|与)，=1-仆)的图象如下:由图可知，满足了32x + -

24、,x<0法二：/(x) + /(x-1) = <22A + x + ,0 < X < ,可解彳导。22T i2x + 2 2.x>-2法三：画出/(X)的图象，可知当两个自变量X、X-：都在第二段时恒成立，当工在每二段，X-；在第 一段时亦恒成立，即只需两自变量均在第一段时恒成立即可，即/(工) + /(x!) = X + 1 + X 1 + 1 > 1 ,即 221x> - -o410.(2018年全国卷112)设函数/(x) = J "4°,则满足/* + l)v/(2x)的x的取值范围是()l,x>0A. (-00,-1

25、8.(0,+ s)C. (-1,0) D (-8,0)【解析】由/3)的图象可得：2xv0vx+l或2XVX+1W0 ,选。11.（2018年新局考浙江卷）己知;leR,函数/（x） = ,当/1 = 2时，不等式/（x）vO的厂4x + 3,x v 几解集是，若函数/3）恰有2个零点，则2的取值范围是 o【解析】（1,4）;从图象可知（U（4, + s）。题型5分段函数奇偶性、最值、值域、周期性、单调性等性质先分解后综合，即每一段分解研究，再把几段综合看作一个函数处理X，+ 1 r > 01 .已知函数/'") = '，则下列结论正确的是()COSX.X<

26、;0A. f(x)是偶函数B.是增函数C./是周期函数D /的值域为-1,+s)【解析】每一段/(t) = /(x),但综合为一个函数为非奇非偶函数，所以选项A错误；第一段为增函数,第二段既有增区间，又有减区间，所以8选项错误；第一段不是周期函数，第二段是周期函数，但综合一 个函数不是周期函数,所以选项。错误；第一段的值域是(1，+ 8),第二段的域是-,综合为一个函数 其值域是-1,),所以选项D正确。2x + -.x> 12 .已知函数f(x) =x ，则/(/(3) =. /(X)的最小值是。lg(x2+l),x<l【解析】/(/(-3) = /(1) = 2 ,第一段由对勾

27、函数得最小值为2血-1 ,第二段的最小值为0 ,综合为一个函数其最小值为0。专题3超越函数及超越函数图象由初等函数构造的超越函数题型1由初等函数构造的超越函数解不等式是指不能转化为初等不等式去解的不等式,最佳解法是画出图象比较图象的高低1.(2013年新课标全国卷Ill)已知函数/")= 一1+2.74°,若|/(刈Nor ,则。的取值范围是 In(x+l),x>0( )A. (-s,0B. (-oo,lC. -2,1D. -2,0【解析】画出y = |/(x)|与y =办(过原点且斜率为“的直线)的图象，观察斜率”的范围，使y = |/(初的 图象恒在y =办的上方

28、，选以2.(2012年新课标全国卷)当时，4X < logfl ,则的取值范围是(/diI 2 JC. (1,72)(62)0<a<【解析】画出指数函数y = 4'与对数函数y = log。x的图象，满足J114log1 7>4J21 ,解得I。2，选庆223.(2013年新课标全国卷II)若存在正数x使2«-)<1成立，则的取值范围是()A. (-oo,+<o)8. (2,+s)C. (0,+©o)D. (- 1,-hc)【解析】法一：原不等式等价于：x-<(；)',-是直线的截距，从图象可知选以为增函数，当X&g

29、t;。时，。>一1。(丫法二：分离变量法：只需 > X- 5,而y /Lmin4 .使log2(-x) < X + 1成立的X的取值范围是【解析】画出函数y = log2(-x)与函数y = x + l的图象，可知xe(-l,o)。5 .如图，函数/(幻的图象为折线ACS,则不等式/(x)Nbg2(x+D的解集是()A. x|-1 <x<o B. x|-1 <x<o C. x|-l <x< 1 D. .v|-1 <x< 2)【解析】画出)，=皿4+1)的图象，与线段3C的交点为(1,1),从图象知选C6.(2020年新高考：!匕

30、京卷6)已知函数/(x) = 2”x l,则不等式/(x)>。的解集是()A. (-1J)b (yo, - I)U(L*o)C. (0J) D (-0)51,2)【解析】f(x) = T-x- t /(力>。学介于2、>x + l ,在同一直角坐标系中作出)，=2V和y = a + 1的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1)，(1,2)，不等式2>x + l的解为x<0或x>l ,选。7.（2009年辽宁卷）若为满足2x + 2' = 5,当满足2x + 2 log 2 * -1） = 5,玉+二（）57A. B. 3C. D. 4225533解

31、析法一：2* I =5 _内/082（/ _ 1） = j _ X2，二 2" 1 =53-l）Og2（X2 _ 1） = 5 _（工2 7），又函37数y = 2'与y log 2 x互为反函数x .二玉1 +-1 =弓，即玉+超=5，选G> 22法二：画出.v = - x与），= 2i,>，= bg2（x l）的图象，从交点对称性可得到。题型2由初等函数构造的超越函数图象确定首先利用函数的奇偶性排除答案,然后再利用剩余选项的不同点代入特值（或极限）来确定1.（2013年新课标全国卷I）函数f（x） = （1 - cos x） sin x在-1,的图象大致为（）

32、【解析】/（x）为奇函数，排除8,当工£（。,琼/。）>0，排除A,当x = 3时，幻=1 ,选C 22.（2012年新课标全国卷10）已知函数f（x）= ），则y = /（x）的图象大致为（ln（x + l）-xA.-<0，选§ln- + -2 2【解析】.XW0 ,排除，当工=1,八1） = ；47<0，当工=一!，/（2） = 1112 122:去二:由，领:卜工<工0%>0彳导工21110+1） , y = x与y = ln（x + l）切于坐标原点，恒有/（x） v0 3.（2015年新课标全国卷ILLO）如图，长方形ABC。的边A4

33、=2, BC=1,。是A3的中点，点P沿着边8C,CO与D4运动，4BOP = x,将动点尸到A8两点距离之和表示为X的函数/*）,则/（幻的图象大致为（【解析】从运动的角度可得图象的对称性，选B【解析】/(X)为偶函数，/=8-/>0，排除A,当x>0时，/(x) = 4x-.>0J(；)>0 ,乙可知/(A)在X > 0上的极值点X。< J ,选功6.（2017年新课标全国卷HI）函数v = 1 + x + l的部分图象大致为（）尸【解析】y = x+-是奇函数，原函数关于点（0,1）对称，当x 一+0时，），f+s,选以 尸ABC【解析】/（X）为奇函

34、数，排除A , /（1）0，排除。，当X-”时,丁2，选瓦（亦可求导）8.（2018年新课标全国卷III7）函数y =-父+/ +2的图象大致为（）【解析】设，=/,）, = 一+/ +2，开口向下的双二次函数，选。sin r 4- r9.（2019年新课标全国卷15）函数«t）=在一兀，兀的图象大致为（）cos X + 厂【解析】奇函数，/ 。，排除B、C, /（-乃）0 ,排除A,选以0 310.（2019年新课标全国卷IH7）函数y =在-6,6的图象大致为（）2 I 22x43【解析】/（X）是奇函数，排除。，又7（4）= 元亍11.函数y = f+”:的图象大致为 （）eK

35、 7-1 c-、 / -AB【解析】函数为奇函数，且XW0 ,当X趋近于零时，01 X除"./" = ；裳"7 .排除.皿.n曰十.CD函数值趋向于无穷，选力。12屈数丁 = xcos x+sinx的图象大致为（)【解析】由奇函数排除5, 汗）<0排除A ,当x取很小正数时，排除。)。，最大值为1排除B,选以13屈数y = sin/的图象是14.（2018年新高考浙江卷）函数y = 2|v|sin 2x的图象可能是）【解析】/（X）为奇函数排除A、B ,当xe（0,为时，sin2x可正可负，选。15.（2020模拟题精选）若函数y = /（x）的大致图像如图所示，则/（x）的解析式可以是（）xxex + exex ex“(x)=K =寸 ce - ")=丁【解析】：当X - 0时，/（x）f±s ,排除A（A中的/3） -0 ）；当X<0时，/（x）V。，而选项8中，x<0时，/(x)=>0，选项。中/(x) =>0 ,排除8,。，C正确。16.(2020模