高等数学期中考试带答案

1、高数考试一.填空(共15分)11 . y JX3 的7E义域是 ；lg(1 x)X e x 02 .已知f(x)在x 0连续，则aa x, x 0;xln 1 x3 .lim x 0 1 cosx4 .设 f(x) x(x 1)(x 2) HI (x n),则 f(0)=5 .曲线y (x 1)ex的拐点坐标为 2答案：一 .1. -3,0) U (0,1); 2. a 1； 3.2; 4.( 1)nn!； 5. 1,e二.选择(共15分)1,X 1(1)设 f(x),则 lim f (x)(D)0,x 1 x 0A.不存在B.C.0D.1b)的所有拐(2)设函数y f (x)在a,b上连续，

2、其导函数的图形如下图所示，则曲线 y f (x)(a x点为( A ).选择题(2)图A.(x1, f(x1),( x2, f(x2),( x3, f(x3)B.(xi, f(x1),(x2, f (x2),( x4, f (x4)C.(x1，f (x1),(x2, f d)D.(X3, f (X3),(X4, f(X4)(3) f(X0 0)与f（X0 0）都存在是函数f （X）在点X X0处有极限的一个（AA.必要条件B.充分条件C充要条件D.无关条件时,A.无穷小量.1曰 nsin 一 是 nB.无穷大量个（D）C.无界变量D.有界变量limX 0ln sin 5x (C).5A.一2l

3、n sin 2x2B.5C.1D.计算和解答（共70分）1.求下列极限：（10分）,22 cot xa.lim 1 3tan x ;X 0b.lxm0X(eX 1)解:a.lim 1 3tan,22 cot xXlim3tan2 x133tan 2 x2.y原式=limX 0XXe 1 xelim -x 0 2eXeX Xxelimx 02 x 2x 3 arccos解:1 (X33)2x 3 .(5 分)3.求由下列参数方程所确定函数的二阶导数d2y： (10分) dx2x a(t sint),(a为常数);y a(1 cost),dy解:d2y dx2dy dt asint sintdx

4、dx a(1 cost) 1 costdtd sin t d sin t 1() ()-dx 1 cost dt 1 cost dxdt_ cost(1-cos t)-sin t sin t 1=72-777(1-cost)a(1 cost)1= 72 .a(1 cost)4.求由方程y 1 xey确定的二阶导。(10分)解.两边对x求导，得y ey xeyy_eeyy(2 y) ey( y) e2y(3 y)yy232 y(2 y)2(2 y)35.证明：不等式ln 1 x x x 0 ； (10分) 1 x证明：设f x In 1 x ,显然，f x在0,x上满足拉格朗日中值定理的条件，由

5、拉格 朗日中值定理得知，0, x ,有f x f 0 =f x 0。因为f 00, f x 11 x故上式即为ln 1 x ，由0x得1 11 x, 所以 x x, 1 x 1 即一x ln 1 x x, x 0.(也可以用单调性) 1 x6.在边长为a的一块正方形铁皮的四个角上各截出一个小正方形，将四边上折焊成一个无盖方盒，问截去的小正方形边长为多大时，方盒的容积最大？ (10分) 解：设小正方形边长为 x时方盒的容积最大. V (a 2x)2 x 4x3 4ax2 a2x 12x2 8ax a2aa令V 0得驻点x (不合题意，舍去),x -.26即小正方形边长为a时方盒容积最大.67 .求f(x) j的单调区间，凹凸区间，极值，拐点，渐近线(15分) 1 x解：函数的定义域为(8, +8)，且为奇函数,/22/2、，1 x 2x 1 xy2-2-22(1 x )(1 x )2x(x2 3)y 2 a 2 3(1 x )令y 0 ,可得x 1,令 y 0 ,得 x=0,J3,列表讨论如下：x0(0, 1)1(1,正(J3, +8)V,+0一一一,