高等数学下知识点总结

1、第八章空间解析几何与向量代数二次曲面1)椭圆锥面:2 y b22)椭球面:3)4)5)6)二）2、3、4、三）高等数学（下）知识点主要公式总结x2单叶双曲面:椭圆抛物面:椭圆柱面:抛物柱面:a2平面及其方程点法式方程:法向量：n一般式方程:截距式方程:两平面的夹角:旋转椭球面:2 y -2 a亡b22 y b22 y b2ayA(x x°)z2c2双叶双曲面:2 y b2x2双曲抛物面（马鞍面）：双曲柱面:B(yy0) C(z(A,B,C),过点(X0,y0,z。)AxByCzA1A2z。）a22 y b2(A1, B1C),B1B2C1C2点P0(x0, y0, z0)到平面空间直

2、线及其方程A1 x B1 y一般式方程：A2x B2y(ABG),1/AB1A2B2C1C2AxByCz0的距离:C1zD1C?zD22、对称式（点向式）方程:x h y Vo z Z0m n p方向向量：s （m,n, p）,过点（x0, y0, z0）3、两直线的夹角：s1 （m1,n1, p1）, S2 （mb，n2，p2），L1 L2nm2 n1n2 p1P2 0 ； L1/L2mim2nipip24、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,L/ Am Bn Cp 0； L第九章多元函数微分法及其应用ABCm n p连续： lim f （x, y）（x,y） （Xo，y。）f

3、（xo,yo）2、 偏导数:fx（xo,y。）lim f（xox，yo） f（xo，yo）x ox3、方向导数：f （xo, yoy）fy（xo，y。）lymoyf （xo, yo）- -coscos 其中， 为l的方向角。l xy4、 梯度：z f（x，y）,则 gradf （x。，yo） fx（x0，yo）ify（xo，y0）j5、全微分：设 z f（x，y）,则 dz dx dyx y（一） 性质i、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：2、 微分法函数连续i）复合函数求导：链式法则若 z f(u,v),u u(x, y),v v(x,y),则zzuzvz一 , xu

4、xvxy(二)应用fx 0求函数z f(x, y)的极值xi)解方程组求出所有驻点，对于每一个驻点 (x0, y0),令fy 0A fxx(%,y。)，Bfxy(x0,y。)C f yy (x0，y0 ),x曲线 ：y z切线方程为：法平面方程为:z zFz(x0, y0,z°)22右AC B 0 , A 0,函数有极小值，右AC B 0 , A 0,函数有极大值；2 右AC B 0 ,函数没有极值；若AC B2 0,不定。2、 几何应用1) 曲线的切线与法平面x(t)y(t)，则 上一点M (x0, y0, z0)(对应参数为t0)处的z(t)x x°y v。 z zx(

5、t。)y(t°)z(t°)x(t0)(x x°) y(t°)(y y°) z(t°)(z z0)02) 曲面的切平面与法线曲面 ：F (x, y, z) 0 ,则 上一点M (x0,y0,z0)处的切平面方程为：x x°y y0法线方程为：-;三二;Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z°)第十章重积分(一) 二重积分：几何意义：曲顶柱体的体积1、 定义： f (x, y)dD2、 计算：1)直角坐标nlim f( k, k) k0 k 1(x, y)1(x)y 2(x)x bf(x,y)dxdyDbdxa2

6、(x)(x) f(x,y)dy1 (x)(x, y)1(y)c2(y) d2)极坐标1(2()二)定义:f (x,y,z)dvlim0k 1f(x, y)dxdyf (x, y)dxdyf( k, k, k)dcdy2、1)计算：直角坐标f (x,y,z)dvDdxdz2(x,y)Sf(x,y,z)dz2)3)(三)f(x,y,z)dv柱面坐标cossin球面坐标应用2(y)1 (y)f (x,y)d xf ( cos , sin ) dbdzaf (x, y,z)dxdyDZf(x,y,z)d vf ( cos ,sin ,z)dz曲面 S: z f (x, y) , (x, y)的面积:第

7、十一章曲线积分与曲面积分一)对弧长的曲线积分定义:Lf(x，y)dslim0i 1f( i, i)2、计算:f (x, y)在曲线弧L上有定义且连续,xL的参数方程为y(t), ( (t),)，其中(t), (t)在,(二)上具有一阶连续导数，且对坐标的曲线积分2(t)定义：设l为xoy面内从A到B的一条有向光滑弧，函数P(x,y)，Q(x,y)在L上有界，定义L P(x, y)dx lim。P( k,k) xk，LQ(x, y)dy向量形式：LF dr LP(x,y)dx Q(x, y)dy2、 计算：设P(x, y), Q(x, y)在有向光滑弧 L上有定义且连续，L的参数方程为x (t)

8、,(t:)，其中(t), (t)在y (t),则3、两类曲线积分之间的关系：上具有一阶连续导数，且 2(t )2(t) 0，X设平面有向曲线弧为L :y(t)(t)L上点(x, y)处的切向量的方向角为:cos(t)2(厂2(t)cos(t)22(t)(t)则L(三)Pdx Qdy(PcosLQcos )ds.格林公式格林公式:设区域 D是由分段光滑正向曲线 L围成，函数P(x, y),Q(x,y)在D上具有连续一阶偏导数，则有P一dxdy y Pdx QdyL2、G为一个单连通区域，函数P(x, y),Q(x, y)在G上具有连续一阶偏导数,Q P则 曲线积分Pdx Qdy在G 内与路径无关

9、x yl(四)对面积的曲面积分1、 定义：设 为光滑曲面，函数 f (x, y, z)是定义在上的一个有界函数，n定义 f(x,y,z)dS lim f( i, i, i) Si 0 i 12、 计算：“ 一单二投三代入”:z z(x, y) , (x, y) Dxy,则(五) 对坐标的曲面积分1、 定义：设 为有向光滑曲面，函数P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y,z)是定义在 上的有界函数，定义nR(x,y,z)dxdy lim R( i, i, i)( 同理， 0 i 1P(x,y,z)dydz limoP( i , i , i)( Si)yz ； Q(x,y,z)

10、dzdx lim0 R( i , i , i)( S"u i 1u i 12、 性质：1) 12,则计算：一一“ 一投二代三定号”:z z(x,y), (x,y) Dxy, z z(x, y)在Dxy上具有一阶连续偏导数，R(x,y,z)在 上连续，则R(x, y,z)dxdy Rx, y, z(x, y)dxdy,为上侧取“ + ”, 为下侧取“-”.Dx y3、 两类曲面积分之间的关系：其中，为有向曲面 在点(x, y, z)处的法向量的方向角。(六)高斯公式1、 高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成，的方向取外侧，函数P, Q, R在 上有连续的一阶偏导数，则有或2、

11、通量:PQR dxdydz ： Pcos Qcos Rcos dS xyz通量与散度向量场A (P,Q,R)通过曲面 指定侧的通量为：Pdydz Qdzdx Rdxdy散度:divAk1(七)斯托克斯公式的边界 是分段光滑曲线,的侧与 的正向符合右手法则，1、 斯托克斯公式：设光滑曲面P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)在包含 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数，则有为便于记忆，斯托克斯公式还可写作：2、 环流量与旋度环流量：向量场A (P,Q,R)沿着有向闭曲线 的环流量为& Pdx Qd y Rd z旋度：rot AR _Q _P , y z zR

12、 _Q _P ,x x y第十二章无穷级数(一) 常数项级数1、 定义：1)无穷级数：un u1 u2 u3n 1unn部分和：Snuk u1 u2 u3正项级数： u , un 0n nn 1交错级数： （1）nun, un 02)级数收敛：若lim Sn nn 1S存在，则称级数un收敛，否则称级数un发散n 1n 13)条件收敛： 小收敛，而 囚|发散; n 1n 1绝对收敛：|un|收敛。n 12、 性质：1) 改变有限项不影响级数的收敛性；2) 级数 an,bn收敛，则(an bn)收敛;n 1 n 1n 13) 级数 an收敛，则任意加括号后仍然收敛;n 14)必要条件：级数 un

13、收敛n 13、审敛法正项级数： u , un 0 n nn 11) 定义：lim Sn S存在；nlim un 0.(注意：不是充分条件！) n2) Un收敛Sn有界;n 13) 比较审敛法：un, vn为正项级数，且un vn (n 1,2,3,)n 1n 1若 vn收敛，则 Un收敛；若un发散，则 vn发散.n 1n 1n 1n 1收敛,4) 比较法的推论：un ,vn为正项级数，若存在正整数 m ,当n m时，Un kVn ,而 vnn 1 n 1n 1则 un收敛；若存在正整数 m ,当n m时，Un kVn,而Vn发散，则Un发散.5)比较法的极限形式：Un ,vn为正项级数，若l

14、im 曲 l (0n 1 n 1nvnvn收敛，则nun收1敛；若lim % 0 或 lim %vnn vn，而 vn发散，则un发散.6)比值法：nun为正项级数，设nim1un 1l ,则当l 1时，级数发散；当l 1时,7)根值法:散;8)Un收敛；则当11时，级数unn 1级数 U可能收敛也可能发散. nn 1Un11时，级数n极限审敛法:使得 lim np unn交错级数:莱布尼茨审敛法:收敛。任意项级数:U绝对收敛,Unn 1为正项级数，设lim n un n l ,则当l 1时，级数nun收敛；贝1J当l1时，级数Un发1Un可能收敛也可能发散.1Unn 1l (0交错级数:则U

15、nn 1常见典型级数：几何级数:二)函数项级数定义：函数项级数2、嘉级数：anxnn 03、收敛半径的求法:4、泰勒级数展开步骤：(直接展开法)为正项级数，若lim n unn0 或 lim nnUn，则级数U发散；若存在nn 1收敛。1)naq0),则级数U n收敛. n 1Un ' Un0满足:UnUn (n1,2,3,)，且 limnUn 0，则级数nn(1) Un1收敛,发散,Un(X”收敛域，limnan 1an收敛半径,则收敛半径-级数:收敛,发散,和函数;0,1) 求出f (x), n1,2,3,2) 求出f (n)(xo), n0,1,2,3) 写中f(n)(X0),、

16、n3) 与出 (X X0)n 0 n!f(n 1)()4) 验证 lim Rn(x)lim(x x0)。足日成乂。nn (n 1)!间接展开法：(利用已知函数的展开式)"1 1) e -x , x (,)；n 0n!2)sin x ( 1)n 11x2n 1, x ( n 0(2n 1)!n 11 2n3) COSx ( 1) x , x (n 0(2n)!)；)；4)3xn, x ( 1, 1)；1xn 05)( 1)", x ( 1, 1)1 xn 06)ln(1 x) ( 1) xn 1, x ( 1, 1 n 0 n 17)( 1)nx2n, x ( 1, 1)1 x n 0m 彳 m(m 1) (m n 1)8) (1 x) 1n 1n!x ( 1, 1)5、傅里叶级数1) 定义:正交系：1,sin x, cosx, sin 2x, cos2x,sin nx,cosnx函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间,上积分为零。a傅里叶级数：f(x) (an cosnx bn sin nx)2 n 11 一、，c 、an f (x)cosnxdx (n 0, 1, 2