高中数学中“临界问题”的处理策略和应用

1、高中数学高中数学中“临界问题”的处理策略和应用 由一个学生提问引发的思考【摘要】：高中数学的很多领域，比如函数、解析几何、立体几何等等都会出现一些临界问题的情况，而如何有效的处理临界问题是解决一些题目的关键，本文从一个学生提问说起，提出了临界问题的概念 ，高中数学中“临界问题”处理的两种方法以及临界问题的两个应用.【关键词】： 高中数学 临界问题 策略学生小Y拿着一本讲义来问问题：化简，.她自己做出来的答案是.一开始我判断她的答案是正确的，谁知她马上拿出讲义的参考答案，告诉了我她的疑惑：原来，答案上提供的参考答案是.她问是不是答案错了，因为如果那么一定不会大于等于零了.我认真的思考了一下，终于

2、弄清了这道题关键的问题在于的时情况的讨论，其实，是一个临界的情况，它是把y0和y0区分开来的一个临界点，而临界点问题的确也是较为棘手的问题，在帮助小Y同学弄清了这道化简题之后，我把它给备课组的其他老师做，结果五位老师里有两老师做错了，包括一位老教师和一位年轻的老师.在备课组激烈的讨论之后，我觉得临界问题的处理是高中数学中好多领域都要遇见的问题，而如何引导学生用正确合理的方法处理这类问题显然值得老师们思考和研究.1 概念的界定临界问题其实是一个物理学里的概念，物理学里所谓的临界状态是指当物体从一种运动状态（或物理现象）转变为另一种运动状态（或物理现象）的转折状态，它既有前一种运动状态（或物理现象

3、）的特点，又具有后一种运动状态（或物理现象）的特点，起着承前启后的转折作用.而本文所阐述的“临界问题”是指在高中数学的函数、解析几何、立体几何等领域中出现的由量变到质变的过程，从一种现象或状态到另一种现象或状态转变时的数学体现.比如：函数的最值，倾斜角为90度的直线的斜率，线性规划中的最优解等等具体的问题,基本不等式中取到等号时情况等等.2 临界问题与不等式的关系在高中数学中不等式具有重要的地位，不等式应用广泛、知识综合、能力复合，高考考查时更多的是与函数、方程、数列、三角函数、解析几何、立体几何及实际应用问题相互交叉和综合，很多时候都是将不等式及其性质的运用渗透到这些问题的求解过程中进行考查

4、. 而这些知识相互交叉和综合的问题中往往分布着很多种临界情况，弄清了这些临界情况，也就基本解决了不等式的问题，反过来临界问题也往往通过不等式这个有效工具来解决和体现.所以可以这样说有临界情况的地方就有不等式，有不等式的地方就有临界问题，两者相辅相成，不可以分离.3临界问题的处理的两种方法 如何有针对性的处理临界问题直接影响着整个问题的解决，临界问题其实是整个问题解决中的关键和如破口，是“牛鼻子”，接下来本文通过几个高中数学的具体问题阐述了临界问题处理的几种方法.3.1“特别的爱给特别的你”，临界情况单独讨论.虽然，临界情况和其它非临界情况相比，在数量上（具体表现为相关的集合的元素个数）相差甚远

5、，但它作为量变引起质变的关键点，在事物发展的过程中承前启后，它是区别两类问题的分水岭，有时甚至不属于前后任何一类，所以如果忽略了它的存在会导致严重的错误，因此，我们要给特别的“临界问题”特别的“爱”，特别的关注，所以单独研究，单独处理临界情况显得特别重要.例1求函数的定义域（作业本，必修4，人教版，浙江省教育厅教研室编写，第6页，第8题）分析：，即，如果直接解这个不等式组，很多学生都会解错，会漏掉x的终边落在x轴的正半轴的情况分析，而sinx=0和tanx=0其实是等价的两个条件，故本题如果把sinx=0这种临界情况单独拿出来讨论会很大程度上增大正确解答此题的概率.解不等式组，讨论：（1）如果

6、sinx=0,则tanx=0,即；（2）如果，则原不等式组可以化简为，sinx0,角x的终边位于第一、三象限，故x的终边位于第三象限，所以；综上所述：的定义域为本题是人教版作业本的一道题，学生作业交上以后，两个班都只有三位同学做对了答案，因为学生们都没有单独考虑sinx=0这种临界情况.笔者在A班,B班都里讲解了该题，但是由于某种原因没有在A班板演临界情况单独处理的方法，结果在第二天的作业里，出现了一道相类似的题目，而这道题学生答题情况的差别相当大.已知，求使等式成立的角x的集合（作业本，必修4，人教版，浙江省教育厅教研室编写，第8页，第8题）.以下是部分没有用临界情况单独处理法的学生典型的错

7、误做法：=，且所以等式成立的角x的集合为而用了临界情况单独讨论法的学生的解答如下：讨论：（1）当等式显然成立； (2)当时 =，且由（1），(2)得等式成立的角x的集合：以上两题班，班在两次作业的正确人数如下：第一次作业第二次作业班班由这张统计表可一看出，在第一次作业的讲解中板演过临界情况单独讨论法的班在第二次作业中答对题的认数明显多余没有没有讲解过该法的班，从中我们可以看出临界问题单独讨论的必要性和重要性.以上两题如果不单独讨论临界情况就很容易导致错误的解答，但是思维严谨的学生还是能够凭借超常的能力给出正确的解答.但是有些问题如果不单独讨论临界情况就没有人能做对了.例2.解关于x的不等式（作

8、业本，必修5，人教版，浙江省教育厅教研室编写，39页，第9题）讨论：，对应二次函数图象开口向下，故原不等式的解集为；，故原不等式的解集为；故原不等式的解集为；故原不等式的解集为；故原不等式的解集为；以上的讨论中，（）和（）的讨论都可以理解为临界情况，但是（）和（）是两类不同的临界情况，（）如果不单独讨论，也可以归入第（）类或者第（）类，但是第（）类临界情况的单独讨论是无法避免的，如果不讨论a=0,则原不等式的解集就漏掉了一类情况，直接导致解题的错误.因此解决有些问题的时候，单独讨论临界情况甚至是唯一的选择.3.2“数缺形时少直观”,临界情况数形结合数形结合就是把问题的数量关系和空间形式结合起来

9、考察，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论，借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化,给人以直觉的启示.更重要的是在解析几何的很多问题中一些临界情况的问题往往容易忽略，比如倾斜角为度的直线的斜率问题等等，而用数形结合的思想，利用图象来解决一些解析几何问题能起到事半公倍的效果.例3曲线y=1+2,2)与直线y=k(x2)+4有且只有一个公共点时，实数k的取值范围是 将曲线的方程化简得：,因为y =1+2,2)所以，故曲线是一个半圆，如图：y=k(x2)+4是过定点P（2,4）的一系列动直线.讨论：（1）圆的切线PT是一种临界情况，此时直线与半

10、圆相切，刚好是一个公共点；（2）直线AP是一种临界情况，此时直线与半圆刚好是有两个公共点，直线绕定点P再往顺时针旋转则有两个公共点，往逆时针旋转则有一个公共点；（3）直线PB上是另一种临界情况，此时直线与圆有且只有一个公共点，而且直线的斜率不存在，可以理解成直线的斜率趋向无穷大，如果直线再向逆时针方向旋转在没有公共点. 易求直线PT的斜率为 ，直线AP的斜率为 . 综上所述：本题如果利用图像，把问题转化为几个直线与半圆的公共点的问题，则可以很直观的在图像上观察出PT,PA和PB这三种临界情况，而弄得清楚这三种临界情况的学生都能很准确的解决这道题.因此在解析几何中，临界情况数形结合的处理方法能够

11、让学生很快很直观的抓住事情的本质，轻松的解决问题. 临界情况数形结合的处理方法在选择题的求解过程中的作用更大. 例4. 如图，已知是椭圆的两个焦点，满足=0的点M总在椭圆内部，在椭圆离心率的取值范围是（ ）（作业本，选修1-1，人教版，浙江省教育厅教研室编写，第21页，第3题）A.(0，1) B.(0， 本题是一道选择题，但是依然有好多学生对这道题的解答没有想法，即，点在椭圆内部的临界情况是在椭圆上，而在椭圆上运动时的最大值是在点的位置，故是的一个临界情况，所以当的 值为直角时是本题的一个临界情况，而且这个临界情况是刚好不满足题目条件要求的情况，此时，角为度，所以是等腰直角三角形，此时，b=c

12、,所以离心率=，故选项中是取不到的，排除选项D,而且由于是一种临界情况,所以排除选项A,B，很快得到正确的选项C.4 “临界问题”的两个应用4.1挖掘隐藏临界条件，解决“拦路难题”高中学生在解一些较难的数学习题时,往往会因条件不足而一筹莫展.其实,只要通过认真审题,透过现象看本质，深入推敲和努力挖掘就不难发现,在题目的字里行间隐含着他们所觅寻的临界条件，一旦挖掘出这些临界条件会,那么这些“拦路虎”就不像原来那样可拍，学生就会茅塞顿开,领略到山穷水复疑无路,柳暗花明又一村的惊喜和成就感.如图，正方体边长为，是棱的中点，是侧面上的动点，且/平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是 ( ) A. B

13、. C. D. 讨论：本题的关键是找出满足条件的点，学生们能很快的找出中点是满足条件的一点，因为此时，所以. 可以很快求出，此时与平面所成角的正切为；这种情况是解决本题问题的一个显性的临界情况，能够得出这个值，排除了这个选项，但是大多数学生都不能不能继续往下做了.其实，解决本题只要挖掘出另一个隐藏的临界情况问题就迎刃而解了，取的中点，连结，就能发现，四点共面，所以平面实为平面.现在要找/平面，要在平面找直线与平行即可，学生们很快的发现若作出的中点H，连结,所以H点是找出的另一个满足条件要求的F,但是满怀的喜悦，享受的成就感的学生马上就发现此时与平面的正切依然是2.根据满足题目条件要求的H点的和

14、P点求出的正切值都是2，所以一部分学生觉得选项A是正确的.但是细心的学生挖掘出这个条件以后，很快得找出了一个很有用的结论；满足条件的所有的点F都在线段PH上，即满足条件的点F的轨迹是是线段PH,所以解决本题关键的一个临界情况又出现了：线段的中点O，又因为垂直平面，所以在平面射影是，与平面所称的角是角，在直角三角形中，于是得到正确选项. 本题有一定的难度，看似只有一个临界点，而这一个临界情况不能彻底帮助学生找到正确的答案，只有认真仔细地挖掘出另一个临界点，进而找出整条线段，再找出关键的临界点后，才能彻底解决问题，因此，如何透过现象看本质，挖掘出隐含的临界条件才是解决问题的关键.4.2 吃透临界情

15、况，理解概念本质透过现象看本质，挖掘隐藏临界条件不仅能解决某些难题，而且能够帮助学生更深刻的理解一些概念，下面以圆锥曲线为例说明这个问题.众所周知，椭圆，抛物线和双曲线可以统一地定义为到定点的距离与到定直线的距离之比是常数的动点轨迹.而且抛物线是联系椭圆和双曲线的临界状态，圆则可以理解为另一种临界状态.北京职工医学院的田蓉老师曾在从统一方程看椭圆、抛物线和双曲线之间的联系一文中以定点到定直线作的垂线段的中点为坐标原点，以垂线段所在的直线为轴建系研究圆锥曲线之间的联系.得到曲线的统一方程：讨论：（1）当时，方程式可以化为，它表示的曲线是一个顶点在原点，另一个顶点为的椭圆；（2）当时，方程是.它表

16、示的曲线是顶点在原点开口向右的抛物线；（3）当时，方程式可以化为，它表示的曲线是一个顶点在原点，另一个顶点为，以轴为实轴的双曲线.按照统一定义，.但是对于方程，方程也有意义，相应的曲线恰好是圆，此时可以理解为焦点重合而准线在无穷远处，所以圆可以理解为椭圆的一种临界情况（或者说极限情况）.固定定点到定直线的距离（d），e从0逐渐增大时曲线形状变化如下表：从谷老师给出的这张表(表二)中我们充分的看到了曲线的变化情况，而且关于临界情况的挖掘能让学生更深刻的体会圆锥曲线的概念和联系：结论1.圆是椭圆的一种临界情况；结论2.随着e从0到以及到，有各种不同形状的椭圆和双曲线，而抛物线只有一种形状，即抛物线只有一种形状，并且它是由椭圆过渡到双曲线的一种中间临界状态，这种临界状态是把椭圆和双曲线这两种形状完全不同的曲线分隔开来的“分水岭”；如下图，抛物线可以理解成为另一个焦点和顶点都在无穷远处的椭圆，此时长轴长也为无穷远.而双曲线也可以这样理解：“双曲线的左下半支和右上半支是一支，它在无穷远处被断开，而左上半支和右下半支也是一支，它在无穷远处被断开，如果想象在渐进线方向上有无穷远处的点，便可