电磁场的边界条件

1、电磁场的边界条件姓名：学号：专业：班级：提交日期：桑薇薇09901140131通信工程电工 14012016.5.28成绩：电磁场的边界条件1.引言2.边界条件分类3.边界条件的作用4.结束语5.参考文献1. 引言在两种不同媒质的分界面上，场矢量E,D,B,H 各自满足的关系，称为电磁场的边界条件。在实际的电磁场问题中， 总会遇到两种不同媒质的分界面 （例如： 空气与玻璃的分界面、导体与空气的分界面等） ，边界条件在处理电磁场问题中占据十分重要的地位。2. 边界条件分类1、电场法向分量的边界条件如图 3.9 所示的两种媒质的分界面， 第一种媒质的介电常数、磁导率和电导率分别为1，1和1，第二种

2、媒质的介电常数、磁导率和电导率分别为2 ，2 和 2 。在这两种媒质分界面上取一个小的柱形闭合面，图 3.9 电场法向分量的边界条件如图 3.9 所示，其高h 为无限小量，上下底面与分界面平行，并分别在分界面两侧， 且底面积S 非常小，可以认为在 S 上的电位vvv移矢量 D 和面电荷密度S是均匀的。n1n2分别为上下底面的外法线单位矢量，在柱形闭合面上应用电场的高斯定律?v vv vSv vS SD gdSn1 gD1n2 gD2 SS故v vv vn1gD1n2 gD 2S(3.48a)vvvvv若规定 n 为从媒质指向媒质为正方向，则n1n， n2n ，式 (3.48a)可写为v vvn

3、g(D1D 2 )S(3.48b)或D1nD2nS(3.48c)式 (3.48 ) 称为电场法向分量的边界条件。vvv因为 DE ，所以式 (3.48)可以用 E 的法向分量表示vvvv1n1gE12 n2 gE2S(3.49a)或1 E1n2 E2nS(3.49b)若两种媒质均为理想介质时， 除非特意放置， 一般在分界面上不存在自由面电荷，即S0 ，所以电场法向分量的边界条件变为D1nD2n(3.50a)或1E1n2E2 n(3.50b)若媒质为理想介质，媒质为理想导体时， 导体内部电场为零，即 E20 ，D20 ，在导体表面存在自由面电荷密度，则式 (3.48) 变为vvn1 gD1 D1

4、nS(3.51a)或1E1ns(3.51b)2 、电场切向分量的边界条件在两种媒质分界面上取一小的矩形闭合回路abcd，如图 3.10 所示，该回路短边h 为无限小量，其两个长边为l ，且平行于分界面，并分别在分界面两侧。在此回路上应用法拉第电磁感应定律v vvv?EgdlB gdSlS因为vv?EgdlE1t l E2t ll和vvvB l h 0B gdSS tt故图 3.10电场切向分量的边界条件E1tE2 t(3.52a)v若 n 为从媒质指向媒质为正方向，式(3.52a) 可写为vvvn( E1E2) 0(3.52b)式 (3.52) 称为电场切向分量的边界条件。 该式表明，在分界面

5、上电场强度的切向分量总是连续的。vD1tD 2t用 D 表示式 (3.52a) 得12(3.53)若媒质为理想导体时，由于理想导体内部不存在电场，故与导体相邻的媒质中电场强度的切向分量必然为零。即E1t0(3.54)因此，理想导体表面上的电场总是垂直于导体表面， 对于时变场， 理想导体内部不存在电场， 因此理想导体的切向电场总为零， 即电场也总是垂直于理想导体表面。3、 标量电位的边界条件在两种媒质分界面上取两点，分别为A 和 B，如图3.11 所示。 A，B 分别位于分界面两侧，且无限靠近，两v点的连线 h 0 ，且 h 与分界面法线 n 平行，从标量电位的物理意义出发，得图 3.11 电位

6、边界条件B v vhhABEgdlE1nE2 nA22由于 E1n 和 E2 n 为有限值，而h0 所以由上式可知AB0 ，即AB或1S2S(3.55)式中 S 为两种媒质分界面。该式表明在两种媒质分界面处，标量电位是连续的。标量电位在分界面上的边界条件在静电场求解问题中是非常有用的。考虑到电位与电场强度的关系：vE，由电场的法向分量边界条件式(3.49b)得121 n S2n SS(3.56)式 (3.56) 称为静电场中标量电位的边界条件。若两种媒质均为理想介质时， 在分界面上无自由电荷， 标量电位的边界条件为1S2S1212n Sn S(3.57)若在理想导体表面上，标量电位的边界条件为

7、SC （常数）(3.58a)Sn S(3.58b)v式中 n 为导体表面外法线方向。4、 磁场法向分量的边界条件在两种媒质分界面处作一小柱形闭合面，如图 3.12 所示，其高度h0 ，上图 3.12磁场法向分量的边界条件下底面位于分界面两侧且与分界面平行，v底面积 S 很小， n 为从媒质指向媒质法线方向矢量，在该闭合面上应用磁场的高斯定律v vv vv v?S BgdSngB1 SngB2 S 0则vvvng( B1B2) 0(3.59a)或B1nB2n(3.59b)式 (3.59) 为磁场法向分量的边界条件。 该式表明：磁感应强度的法向分量在分界面处是连续的。vvv因为 BH ，所以式 (

8、3.59b)也可以用 H 的法向分量表示1H 1 n2 H 2n(3.60)若媒质为理想导体时，由于理想导体中的磁感应强度为零，故B1 n0(3.61)因此，理想导体表面上只有切向磁场，没有法向磁场。5 、磁场切向分量的边界条件在两种媒质分界面处作一小矩形闭合环路，如图3.13 所示。环路短边h 0 ，两长边 l 分别位于分界面两侧，且平行于分界面。 在此环路上应用?lv vI ，即安培环路定律H gdlv vH1tl H 2tl?H gdll图 3.13磁场切向分量的边界条件穿过闭合回路中的总电流为I JS lJC1hJC2hll22D1 lhD2lht2t2式中 J S 为分界面上面电流密

9、度，JC1 ，JC2 分别为两种媒质中的传导电流体密度，D1D 2h 0 ，除 JSl 外，回路t 和t 分别为两种媒质中的位移电流密度。因为中的其他电流成分均趋向零，即IJ S l ，于是H 1tH 2t JS(3.62a)式中 J S 方向与所取环路方向满足右手螺旋法则。用矢量关系，式 (3.62a) 可表示为vvvvn(H 1H 2 )JS(3.62b)v式 (3.62) 为磁场切向分量的边界条件。 式中 n 为从媒质指向媒质的法线单位矢量。v用 B 表示式 (3.62a) 得B1tB2tJS12(3.63)v若两种媒质为理想介质，分界面上面电流密度 J S 0 ，则磁场切向分量边界条件

10、为H 1tH 2t(3.64a)或B1tB2t12(3.64b)由式 (3.59b) 和式 (3.64b) 可得tantan1 12 2若媒质为高磁导率材料 ( 21) ，当2小于 90时， 1 将非常小。换句话说，在铁磁质表面上磁力线近乎垂直于界面。当2时， 10 ，即在理想铁磁质表面上只有法向磁场，没有切向磁场。H 1tH 2t0(3.65)v若媒质之一为理想导体，电流存在于理想导体表面上J S0 ，因理想导体内没有磁场，理想导体表面切向磁场为H tJ S(3.66a)或vvvnHJ S(3.66b)若媒质的电导率有限，即媒质中有电流通过， 其电流只是以体电流分布的v形式存在，在分界面上没

11、有面电流分布，即 J S 0 ，则分界面上磁场切向分量是连续的，即 H 1t H 2 t 。6 、矢量磁位的边界条件v根据矢量磁位 A 所满足的旋度和散度表示式，及磁场的基本方程， 可推导出vvA 的法向分量和切向分量在两种媒质分界面处是连续的，所以 A 矢量在分界面处也应是连续的，即vvA1 SA2 S(3.67)由式 (3.63)可得1v1v(A1)t(A2 )t J S(3.68)127、标量磁位的边界条件在无源区域，即无电流区域，安培环路定律的积分和微分形式为vv0?H gdl(3.69)lv(3.70)H0根据矢量运算，由式 (3.70) 可引入一标量函数m ，令vHm(3.71)该

12、标量函数m 称为标量磁位，其单位是安培(A)。式 (3.71) 中的负号是为了与静v电场中 E相对应而引入的。 引入标量磁位的概念完全是为了在某些情况下使磁场的计算简化，并无实际的物理意义。类似于电位差的计算， a 点和 b 点的磁位差为bvvmabmambH gdla(3.72)根据标量磁位定义和磁场的边界条件可得m1 Sm 2 S(3.73a)1m12m2n Sn S(3.73b)式 (3.73) 为标量磁位的边界条件。8 、电流密度的边界条件在两种导电媒质分界面处作一小柱形闭合面。如图 3.14 所示，其高度h0 ，v上下底面位于分界面两侧，且与分界面平行，底面面积 S 很小。 n 为从

13、媒质指向媒质法线方向矢量。根据电流连续性方程v vV dVSJC gdSV(3.74)t?在图 3.14 所示的闭合曲面上，v vJ1nS J 2nS?Jc gdS(3.75)S图 3.14电流密度的边界条件V dVV dVQ(3.76)Vtt Vt式中 Q 为闭合曲面包围的总电荷, 当 h0 时，有QSS(3.77)将式 (3.77)代入式 (3.76) 得VV dVSStt(3.78)将式 (3.75)和式 (3.78)代入式 (3.74)中得J1nJ 2nSt(3.79a)或vvvSng( J1J 2 )t(3.79b)vv根据导电媒质中的物态方程JCE ，又已知在分界面处电场切向分量连

14、续，即 E1tE2 t ，所以电流密度的切向分量满足J1tJ2 t12(3.80a)或vvvJ1J2 0n12(3.80b)式 (3.79) 和式 (3.80) 为电流密度满足的边界条件，对静态场和时变场均适用。标量形式D1nD 2nsE1tE2tB1nB2nH 1tH 2tJ sJ1nJ 2nstJ1tJ2t12矢量形式vvvng( D1D2 )Svvvn(E1E2)0vvvng(B1B2 )0vvvvn( H 1H 2 )JSvvvSng( J1J 2 )tvvvJ1J2) 0n(12A1A21S2S121 n S2n SS3. 边界条件的作用一般电磁场的求解都需要解偏微分方程的， 确定边

15、界条件就是对于求得偏微分方程的解起到重要作用。4. 结束语电磁场的边界条件可以由麦克斯韦方程组的积分形式推出， 它实际上是积分形式的极限结果。这些边界条件是n· (D1-D2)=s； (1)n× (E1-E2)=0 ； (2)n· (B1-B2)=0 ； (3)n× (H1-H2)=J)s 。 (4)式中 n 为两媒质分界面法线方向的单位矢量，场矢量E、D、B、H 的下标 1 或 2 分别表示在媒质 1 或 2 内紧靠分界面的场矢量 , s为分界面上的自由电荷面密度,Js 为分界面上的传导电流面密度。式 (1) 表示在分界面两侧电位移矢量D 的法向分量的差等于分界面上的自由电荷面密度。当分界面上无自由电荷时，两侧电位移矢量的法向分量相等, 即其法向分量是连续的。式 (2) 表示在分界面两侧电场强度E 的切向分量是连续的。式(3) 表示在分界面两侧磁通密度 B 的法向分量是连续的。式 (4) 表示在分界面两侧磁场强度H 的切向分量的差等于分界面上的表面传导电流面密度。当分界面