高考数学专题复习讲练测-专题六复数专题复习讲练2复数的应用

1、§2复数的应用一、复习要点 复数的三角形式、复数及其运算的几何意义是数形结合的桥梁，是应用复数知识解题的主要结合点在系统复习的基础上，本轮复习应把握以下几点： 1考试说明对复数的应用没有提出特别要求，复习时只介绍一些简单应用，切忌随意拔高 2使学生在思想上明确： （1）应用复数可以证明三角恒等式，求反三角函数的和； （2）应用复数可以证明不等式； （3）应用复数可以解决解析几何问题； （4）应用复数可以证明平面几何问题 3熟练掌握并应用复平面内的： （1）两点间的距离公式； （2）过原点的射线、直线方程； （3）线段垂直平分线的方程； （4）圆的方程； （5）椭圆的方程 4

2、本节复习的重点应放在复数运算的几何意义及复数与三角、复数与几何的简单综合问题上 二、例题讲解 例1（1）已知复数3，2，则的最大值是（） 25 222 （2）已知复数满足13且（）4，则等于_ 讲解：（1）本题的条件容易使我们联想到复数及运算的几何意义，首选数形结合的方法来解答 在复平面中，方程2的图形是以原点为圆心、半径为2的圆，而（）表示与所对应的两点P与间的距离，即线段的长，如图6-1所示显然当经过原点时，线段最长，其值为2选 图6-1本题亦可选用代数方法解答，把用三角式表示后，则关于复数模的条件最值问题便转化为三角函数的无条件最值问题运用三角恒等变形方法和弦函数的值域性质即得结论简解如

3、下： 设2（）（02），则23（21） （23）（21） 144（） 144（1） 当（）1时，等号成立 的最大值为2，选图6-2（2）显然用数形结合方法解答最为适宜方程13的图形是复平面中以实数1和3所对应的点为端点的线段的垂直平分线；而方程（）（4）的图形，是复平面中以复数所对应的点为端点，倾斜角为（4）的射线，如图6-2所示故射线与垂直平分线的交点所对应的复数即为所求，即23 例2已知复数，（），（2）（），且满足0问为何值时，（）分别取最大值、最小值（02） 讲解：本例是复数与三角关系的问题，利用虚实转化思想，由0，应用复数相等的充要条件，可转化为三角条件最值问题则有 解法1由0，得（

4、2）0，（2）0（2），（2），得（）（2432（2）132（2） 若注意到复数的性质，可以考虑利用整体思想求解，则有 解法2由0，得， 两边平方，得，（）（）1，即1注意到2·（），则（2）2（2k）（）1 （）（243）（24）若注意到复数及其运算的几何意义，则可以考虑利用数形结合的思想求解，从而有 解法32（）2（），而且注意到复平面内的余弦定理： （）（2·），（）（243）（24）上面三种不同的解法是在三种不同的基本思想启迪下得到的这正是灵活运用基本数学思想的具体体现，应予足够重视 下面完成此题的解答令（）1（32（2）1（32（2）（02）1（32·（

5、22）（12） （）1，1（12）由（12），得 1（32（2）（12）1； 由1，得1（32（2）1（12）或（32） 所以当1时，（）取最大值（12）；当（12）或（32）时，（）取最小值1 此题实际上只是以复数作为载体，求给条件的余弦函数的最值，进而又转化为求条件分式函数的最值运用了均值不等式，也可利用判别式法求上述分式函数的最值（留给读者自己完成） 例3设复平面内两点A、B对应的复数分别为、，且21，（1）0，O为原点试求面积的最大值和最小值，并且求相应的复数、 讲解：由三角形面积公式（12）··知，只要求得、及的值就行了由复数的几何意义知，；由复数乘法的几何意义可

6、求得的值于是有如下解法： 由（1）0，得（1），（54）（54）由乘法的几何意义及三角形内角的范围知 （34），（12）·（34）（12）又21，可设2，则，（12）（54）当1，即1，1时，（12）；当1，即3，33时，（92） 若明确21是以（2，0）为圆心，1为半径的圆的复数方程时，可画出图形，由图形的直观性可立即得出结果 在由（）求的最值时，可作出（）的巧妙变换，即可将求复数模的最值转化为求三角函数式的最值，然后利用三角函数的有界性求解； 若能注意到复平面内一些特殊曲线的方程，画出图形后就可简化求解过程 三、专题训练 1在复平面中设复数33对应的点是P，以原点为极点，实轴正半

7、轴为极轴，建立极坐标系那么点P的极坐标是（） （3，（34）（3，（54） （3，（54）（3，（34） 2设1，（12）（2），则、所对应的点：在单位圆上；它们是正方形的顶点；它们关于y轴对称；它们可构成正三角形以上说法中，正确的只有（）3设复数（6）（6），若，则自然数的最小值是（）3456 4已知等边三角形ABC的面积等于，若把三角形放到复平面中，使A点重合于原点，AB边落在虚轴正半轴上，则向量所对应的复数是（） 11 ±5设复数（2），当（2），（2）时，复数在复平面内对应点的轨迹的方程是_ 6设复数z在复平面内对应的点为Z，将点Z绕坐标原点按逆时针方向旋转（4），再沿实轴正方向平移1个单位，向上平移1个单位，得到点若点与点Z重合，则复数z的值等于_ 7已知辐角分别为、的复数、满足5，·14，则（）的最大值是_ 8设O为复平面的原点，A、B为单位圆上两点，A、B所对应的复数分别为、，、的辐角主值分别为、.若AOB的重心G对应的复数为（13）+（115）i，求tg（+） 9如图6-3，B是半圆O上的动点，OB=1,OA=2,ABC是等腰直角三角形，BC为斜边，建立适当的坐标系，利用复数求点B对应何