2018版高中数学第三章不等式3.3一元二次不等式及其解法(二)学案新人教B版必修5

1、3.3一元二次不等式及其解法(二)【学习目标】1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的 解法.EF问题导学知识点一分式不等式的解法x 3x 3思考20 与(x 3)(x+ 2)0 等价吗？将x20 变形为(x 3)(X+ 2)0，有什么好处?梳理 一般的分式不等式的同解变形法则:0?W0?知识点二一元二次不等式恒成立问题思考x 10 在区间2,3上恒成立的几何意义是什么？区间 2,3与不等式x 10 的解集 有什么关系？梳理 一般地，“不等式f(x)0 在区间a,b上恒成立”

2、的几何意义是函数y=f(x)在区间a,b上的图象全部在x轴_ 方.区间a,b是不等式f(x)0 的解集的 _ .恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：若f(x)有最大值，则kf(x)恒成立？k_;若f(x)有最小值，则kf(x)恒成立？kw_.类型一分式不等式的解法(1)xag x g x题型探究2例 1 解下列不等式:X 3x+ 2 0(W0)，再化成整式不等式来解如果能判断出分母的正负，直接去分母也可. 跟踪训练 1 解下列不等式.类型二不等式恒成立问题_ 2例 2 设函数f(x) =mxmx-1.(1)若对于一切实数x,f(x)0 恒成立，求m的取值范围；引申探究把例 2(2)改为

3、：对于任意 m 1,3 ,f(x)v m5 恒成立，求实数x的取值范围.对于x 1,3 ,f(x)0(1.x+ 33量的不等式求解.跟踪训练 2 当x （1,2）时，不等式x2+m灶 40 恒成立，则m的取值范围是 _ .类型三一元二次不等式的应用例 3 某种汽车在水泥路面上的刹车距离（刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距1 12离）sm 和汽车车速xkm/h 有如下关系：s=x+x.在一次交通事故中，测得这种车的20 180刹车距离大于 39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？（精确到 1 km/h , _ 28 521168.882）反思与感悟一元二次不等式应用题常以二次函

4、数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”. 跟踪训练 3在一个限速 40 km/h 的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同 时刹车，但还是相碰了事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m 乙车的刹车距离略超过 10 m 又知甲、乙两种车型的刹车距离Sm 与车速xkm/h 之间分别有如下关系：S甲=0.1x2 _ 2+ 0.01x,S乙=0.05x+ 0.005x.问超速行驶谁应负主要责任.4当堂训练1 .若关于x的方程x2+ (a2 1)x+a 2 = 0 的一根比 1 小且另一根比 1 大，贝 Ua的取值

5、范围是()A.(1,1)B. (s,1)U(1,+)C. (2,1)D. (s,2)U(1,+s)2 .若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y= 3 000 + 20 x0.1X2(0X0 恒成立时，k的取值范围为 _4 .解下列不等式：厂规律与方法-1 .解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解.当不等式含有等号时，分母不为零.2 .对于有的恒成立问题， 分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)af

6、(x)恒成立？af(x)max； (2)af(x)恒成立？a15合案精析问题导学知识点一思考等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式.梳理f(x) g(x)0f(x)g(x)0 在区间2,3上恒成立的几何意义是函数y=x 1 在区间2,3上的图象恒在x轴上方.区间2,3内的元素一定是不等式x 10 的解，反之不一定成立， 故区间2,3是不 等式x10 的解集的子集.梳理 上 子集f(x)maxf(x)min题型探究类型一x 3例 1 解 一 20? (x 3)(x+ 2)0? 2x3,x2原不等式的解集为x| 2xX4N4 ,即 r A03 解得x4,原不等式的解集为3、

7、ixx4二r 2xI 3x+i孔, 跟踪训练 1 解(1)原不等式可化为x+ 12x3x+ 12x310,2 xx+3x+ 30, 或2 x3,解得 1x 2,原不等式的解集为x 3x,即2+31，；（2x+ 1） （x+ 3）0 ,1解得3x 勺原不等式的解集为x-3X_1.类型二例 2 解要使mxmx-10 恒成立,若m=0，显然10,满足题意；若m#0,8则杵02=m+ 4n0 4m 0.方法一要使f(x) nnr5在x 1,3上恒成立.就要使2I2 3丿4 5x 1,3上恒成立.2又mxx+1) 6o,6mx2x+ 14n0 时，g(x)在1,3上是增函数,g(x)max=g(3) =

8、 7n 60,6 0n7 ； 当 m= 0 时，60 恒成立;当m0 时，g(x)在1,3上是减函数，g(x)max=g(1) =m-60,得n6,.m0. 综上所述，m的取值范围是R,号.方法二 当x 1,3时，f(x) m+ 5 恒成立,2即当x 1,3时，mxx+ 1) 6，2m(xx+1)6v0.设g(m) =mx2x+ 1) 6.则g(m是关于m的一次函数且斜率2123xx+1 =(x 2)+ 4 0.二g(m)在1,3上为增函数，要使g(m) 0 在1,3上恒成立，只需g(m)max=g(3) o,2 2即 3(xx+ 1) 6 0,xx 139.5180移项整理，得x2+ 9x 7 1100.2显然 0,x+ 9x 7 110 = 0 有两个实数根,即X1 88.94 ,X279.94.根据二次函数y=x2+ 9x 7 110 的图象，得不等式的解集为x|x79.94.令g(x)=3+严6,67,方程xx 1 = 0 的两根为X1=1+ 52X2= x2 x 10,所以这辆汽车刹车前的车速至少为80 km/h.跟踪训练 3 解由题意列出不等式S甲=0.1x甲+ 0.01x2 甲 12,S乙=0.05x乙+ 0.005x2 乙 10.分别求解，得x甲30,x乙40.由于x0,从而得x甲30 km/h ,x乙40 km/