谱方法解偏微分方程

1、 谱方法解偏微分方程 学生：石幸媛，数学与计算机科学学院 指导老师：陈慧琴 ，江汉大学数学与计算机科学学院 学号：200808101125 摘要 本论文分析的是偏微分方程的谱方法解。在此，我借用向新民编的谱方法的数值分析中第67页例2.1方程进行计算。根据例2.1的谱方法计算方式，给该方程具体的函数进行计算，求解其值，并绘图。最后研究比较一阶波动方程的Fourier谱方法与Fourier配点逼近有什么不同与相近之处，做出结论。关键词：Fourier配点逼近，截断函数，插值函数,Fourier谱方法 Abstract This paper analyses the partial differe

2、ntial equations of the spectral method. Here, I use the Xiang Xinmin series numerical analysis of spectral method on page sixty-seventh example 2.1equation. According to the case of 2.1spectral methods for computing method, give the specific function for calculating equation, solving its value, and

3、drawing. The final study comparing a first-order wave equation in Fourier spectral method and Fourier collocation approximation of what is the difference and similarities, make a conclusion.Key words: Fourier collocation approximation, truncated function, interpolation function, Fourier spectral met

4、hod 目录绪论4论文主题51定义引用：52论文内容：52.1：Fourier配点法5结论11致谢12参考文献 13 绪论 谱方法是70年代发展起来的一种数值求解偏微分方程的方法，它具有“无穷阶”收敛性，可采用快速算法，这以后。尤其到了80年代，Quarteroni、Canuto、Pasciak、Funaro、郭本瑜、Maday等人对谱方法从理论上作了系统研究，对各类投影算子、插值算子等导出了在各种范数意义下的误差估计，并把这些理论运用于一系列重要的线性和非线性偏微分方程上，取得了令人满意的结果，与此同时，大量的实际计算也证明了谱方法确是一种有效的数值方法。现已被广泛用于气象、物理、力学等诸多

5、领域，成为继差分法和有限元法之后又一种重要的数值方法。 目前，国内外专门介绍谱方法思想及其理论的书籍甚少。且虽然谱方法在在理论研究方面已取得了一些重要进展，但与差分法和有限元法相比还差很远。因此，在研究偏微分方程的谱方法解时可运用资源有限。在导师的指导下，我借助所学习的书籍种的知识，对偏微分方程的某个方程即摘要中提到的谱方法的数值解一书中的第第67页例2.1方程进行具体化计算分析。对结果进行画图，研究其形状特征。 论文主题1定义引用： 当用谱方法来求解偏微分方程时，经常需要用到截断函数或者插值函数的微分，以下就来讨论此问题。 设 .是的Fourier级数，因而可得 即截断和求导是可交换的，如果

6、，那么也在意义下收敛于。2论文内容： 2.1：Fourier配点法 引用例2.1 考虑方程 （2.1.1） 的Fourier配点逼近。 设为方程的近似解，那么 其中. 令，这样 ，最后 写成矩正形式即为： 我们取边界值.u(0)=u(2)=o,改变a(x),f(x)或u(x)函数，然后在计算机中运用Matlab程序 进行计算。Matlab程序设置或步骤如下：lamal=0;%可以对应修改的常数N=100;h=2*pi/(2*N);for k=-N:N-1 for j=1:2*N x=j*h; C(k+N+1,j)=1/(2*N)*exp(-i*k*x); endendk1(1)=0; for

7、k=-N+1:N-1 k1(k+N+1)=k*i; end K=diag(k1); for j=1:2*N x=j*h; a(j)=1; %可以对应修改的函数 %a(j)=x; f(j)=-sin(x);%可以对应修改的函数 %f(j)=x; end A=diag(a); F=f; I=ones(2*N,2*N); D=inv(C)*K*C; AA=D*A*D-lamal*I; for j=1:2*N-2 AA1(:,j)=AA(:,j+1); end U=inv(AA1*AA1)*AA1*F; for j=1:2*N x(j)=j*h; end UU(1)=0; UU(2*N)=0; for

8、 j=1:2*N-2 UU(j+1)=U(j); end % plot(x,UU) for j=1:2*N x(j)=j*h; y(j)=sin(x(j); %可以对应修改的函数 % y(j)=1/6*x(j)3+(-1/6*(2*pi)2)*x(j); end plot(x,UU,r,x,y,b) 设，a(x)=1,u(x)=sinx那么根据公式（2.1.1）带入得运行程序最后获得结果为下图： 如图红线为谱方法的解，蓝色为精确解。所示谱方法所求解与精确解基本吻合。设a(x)=1，,则根据公式（2. 1.1）算得,运行程序最后得到结果图为：如图所示，谱方法解与精确解基本吻合。设a(x)=x,u

9、(x)=sinx.则根据公式（2.1.1）计算运行程序得到最后结果如下图： 由图片观察红线与蓝线相差很大，此时得到结果脱离了我们的要求。当我们尝试调节时，我们就可以得到一个相对精确的值，图如下： 设a(x）=1,f(x)=x那么由给定初始值，解得,再次通过Matlab进行运行得到最后结果为下图：结果分析的误差依然很大。然后在下面操作时，无论改变为何值，都存在上图的误差。例当时，得到图形为： 2.2有限差分法：由上面我们可以得到用Fourier配点法算得的解与精确解有较大的误差。因此，我们尝试用差分法对进行继续分析.对原方程进行变形得 (2.2.1)Matlab程序编程如下：clearforma

10、t longlamal=1000; %可以修改的常量N=100;h=2*pi/(N); for i=1:N-1 x(i)=i*h; y(i)=sin(x(i); %y(i)=1/6*x(i)3+(-1/6*(2*pi)2)*x(i);%精确值 a(i)=1; %可以修改的常量 a1(i)=0; %可以修改的常量 l1(i)=a1(i)/(2*h)+a(i)/(h2);end for i=1:N-1A(i,i)=-lamal;end for i=1:N-2 A(i,i+1)= l1(i);endfor i=2:N-1A(i,i-1)= -l1(i);end for i=1:N-1 x(i)=i*

11、h; % f(i)=x(i)-lamal*(1/6*x(i)3+(-1/6*(2*pi)2)*x(i); f(i)=cos(x(i)-x(i)*sin(x(i)-lamal*sin(x(i);%可以修改的常量end UU=inv(A)*f; plot(x,UU,r,x,y,b) 根据中我们可以得到a(x)=x,u(x)=sinx,此时我们取，由公式（2.2.1）可以得到f(x)=cosx-xsinx-1000sinx,最后获得结果为下图:得到的是一个十分精确地结果。根据同样可以到一个相对精确地解，如下图： 也可以得到一个十分精确地解。 结论1、总体分析可得，Fourier配点法是具有可行性的。

12、并且可以得到比较精确地结果。如图分析结果所示当u是无穷可微且具有周期性时，则可以得到所谓的“谱精度”。但是把谱方法2、运用于偏微分方程求解时，u一般只具有有限正则性，这时上面得到的估计就不是最优，如所示。此时用差分法，精度会比谱方法高。 致谢 感谢学校，给了我舒适的学习环境和学习资源，让我学习和制作论文能顺利进行。感谢数计学院的老师们在大学四年传授给我这么多的数学知识储备，给我论文的研究奠定了一定的基础。感谢我的指导老师陈慧琴老师，数月以来，从论文方向的确定，制作步骤的进行，以及制作过程遇到的困难顺利解决，都离不开陈老师给予的耐心细致的讲解和指导，在论文制作中，不仅收获了新知识即谱方法求解偏微

13、分方程，还学会如何制作一篇合格优秀的论文作品。论文在此顺利完成，谢谢你们。 参考文献1向新民.谱方法的数值分析.北京，科学出版社，20002Wang J P.Non-periodic fourier transform and limite spectral method. 3任宗修. SRLW方程的Chebyshev拟谱方法. 工程数学学报，1995，12(2)：34-404余德浩.汤华中. 微分方程数值解法. 科学出版社5张理论.李晓梅. 谱方法数值计算研究进展. 指挥技术学院学报, 20016H.O.Kreiss&J.Oliger,(1972),Comparison of accurat

14、e methods for the integration of hyperbolic equations,Tellus,24,199215.7Y.Maday&A.Quarteroni,(1981),Legendre and Chebyshev spectral approximations of Burgersequation,Numer.Math.,37,321332 .8郭本瑜，（1985），Navier-Strokes方程的谱解法，中国科学，A辑，NO.8，353362.9郭本瑜，（1988），偏微分方程的差分方法，科学出版社。10刘播，黄明游，（1987），一些非线性发展方程的Fourier方法，高等学校计算数学学报，Vol.9,No.2,119133.11F.john,(1986),偏微分方程。朱汝金译，科学出版社。12郭本瑜，（1985），KDV-Burgers方程谱方法的误差估计，数学学报，No.1,115.13D.Funaro,(1983),Error estimates for spect