2018年高考数学二轮复习考前回扣7立体几何讲学案理

1、回扣 7 立体几何n基础回归-（i）四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.三视图1三视图的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图分别是从几何的正前方、正左方、正上方观察 几何体画出的轮廓线画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.2三视图排列规则： 俯视图放在正（主）视图的下面，长度与正（主）视图一样；侧（左）视图放 在正（主）视图的右面，高度和正（主）视图一样，宽度与俯视图一样.2.柱、锥、台、球体的表面积和体积VII侧面展开图/表面积体积直棱柱2 长方形S=2S底+S侧V=S底h圆柱长方形、】S=2nr+2nrlV= nr2l棱锥；彳由若

2、干三角形构成S=S底+S侧1V=S底h圆锥扇形2S= nr+ nrl12V=j r2h3棱台由若干个梯形构成S=S上底+S下底+S侧v=*(s+VST +S)h圆台扇环2S= nr + n(r+r)1+2nr12V=? n(r2+rr+r2)h球2S=4nr43S=3n r23.平行、垂直关系的转化示意图4用空间向量证明平行垂直a= (ai,bi,ci)，平面a,3的法向量分别为 卩=(a2,b2,C2) ,v=(as,bs,cs).则有:(1)线面平行111 a?a丄卩？ar= ?aia2+bib2+CiC2= .(2)线面垂直5I丄a?aI口?a=k口?ai=ka2,bi=kb2,ci=k

3、C2.(3)面面平行aII3? 卩v?卩=入v?a2=入a3,b2=入b3,C2=入C3.(4)面面垂直a丄B? 丄v? v= 0?a2as+b2bs+C2C3= 0.5.用向量求空间角 (i)直线li,I2的夹角B有 Cos0=|COSli,丨2|(其中li,丨2分别是直线li,丨2的方向向 量)直线l与平面a的夹角0有 sin0=|cosl,n|(其中l是直线l的方向向量，n是平面a的法向量).平面a,3的夹角0有 cos0= |cosni,n2|，贝Ual3二面角的平面角为0线面垂直的判龙线血面面垂直的判；iLj L血丽垂直线面垂直的性质|垂直面面磁亞的性施垂直(2)两个结论aIb?ab

4、，a丄a绒面平行时判定面面平行的判定一平行t线面平行的性质平行1面面平廿的性质设直线I的方向向量为血面垂点的判定血面垂耳的性嫌血面平行的判定血血平行的性槪3或n-0（其中ni,n2分别是平面a ,3的法向量）易错提醒1 混淆“点A在直线a上”与“直线a在平面a内”的数学符号关系，应表示为Aa,a?a.2在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线.在还原空间几何体实际形状时一般是以正（主）视图和俯视图为主.3易混淆几何体的表面积与侧面积的区别， 几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥

5、体体积时，易漏掉体积公式中的系数4.不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错如由a丄3,a n 3=l,ml，易误得出ml 3的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中n?a的限制条件.5注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系对照前后图形，弄清楚变与不 变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位 置与数量关系.6 几种角的范围两条异面直线所成的角0a 90；直线与平面所成的角 0a 90；二面角 0W a W180；两条相交直线所成的角（夹角）0 a W90；直线的倾斜角 0W a180；两个

6、向量的夹角 0W a W180；锐角 0a90.7.空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几 何体判断二面角的范围，忽视向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错.回归训练1 . （2017 重庆外国语学校月考）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是13.4C. 直三棱柱的体积V= 4D.直三棱柱的外接球的表面积为4 .3n答案 D解析 由三视图可知，直三棱柱ABC-A1B1C的侧面BCCB是边长为 2 的正方形，底面ABC是等腰直角三角形，ABL BC AB= BC= 2.C.nD.n答案 D解析CQOA4，其半径为 1，则体积

7、V= -X 3X n X1 =n.2.直三棱柱AB（ ABC的直观图及三视图如图所示，D为AC的中点,则下列命题是假命题4正 主） 视图俯视图帥左勰圈的是（）5连接BC交BC于点0,连接0D在厶CAB中，0, D分别是BC, AC的中点，OD/ AB,又OD?平面BDC AB?平面BDCAB/平面BDC故 A 正确；在直三棱柱ABC- ABC中，AA丄平面ABCAA丄BD又AB= BG=2,D为AC的中点，BD丄AC又AAAAC=代AA,AC?平面AACC,BD丄平面AACCBD丄AC又AB丄B C,A B丄B B,AiBi丄平面BiCCBAiBi_LBC.BC丄BiC,且AiBiABiC=B

8、,BC丄平面ABC.BG丄AiC,又Bm BC=B, BD BC?平面BDCAiC丄平面BDC故 B 正确；V=SABCX CC= 22X2X2 = 4,故 C 正确；此直三棱柱的外接球的半径为 寸 3 ,其表面积为 i 2n, D 错.故选 D.3. 已知1直线I,m和平面a,则下列结论正确的是（)A. 若1/ma ,贝9I/ aB. 若1丄a ,m?a ,贝UI丄mC. 若1丄mI丄a ,贝Um/aD. 若1 / a,m?a ,贝UI/m答案 B解析 若I/m m?a,则I/a或I?a ,故 A 错误；若I丄a ,m?a ,则I丄mB 正确； 若I丄m I丄a,则n?a或m/a,故 C 错

9、误；若I/a ,m?a ,则I/m或I,m异面，故选 B.4 .已知互相垂直的平面a,3交于直线I.若直线m n满足m/a,n丄B,则（6A. m/ I B.m/ nC. n丄ID.mln答案 C解析由题意知，aA3 =I, I?3, tn丄3, n丄丨.故选 C.5.已知m n为异面直线，ml平面a,n丄平面3直线I满足I丄m l丄n,l?a,I?3,则（）A.a / 3且 I aB.a丄3且 I 丄3C.a与3相交，且交线垂直于 ID.a与3相交，且交线平行于 I答案 D-解析 假设a/3，由ml平面a,n丄平面3,得m/n,这与已知m n为异面直线矛盾，那么a与3相交，设交线为I1,贝U

10、Ii丄m Ii丄n,在直线m上任取一点作ni平行于n,那 一C么11和I都垂直于直线m与ni所确定的平面，所以11/1.6. 如图，正方体AG的棱长为 1,过点A作平面ABD的垂线，垂足为点H,以下四个命题：点H是厶AiBD的垂心；AH垂直于平面CBD;直线 ；.AH和BB所成角为 45;AH的延长线经过点G,其中假命题的个数为I（ ） -A. 0B. 1C. 2D. 3答案 B解析 /AB= AA=AD BA=BD= AD,三棱锥A- BAD为正三棱锥，点H是厶AiBD的垂心，故正确；平面AiBD与平面BiCD平行，AHL平面ABDAH!平面CBD，故正确；-vlcA/AA/BB,/AAH就

11、是直线AH和BB所成的角，在直角三角形AHA中，7根据正方体的对称性得到AH的延长线经过C,故正确，故选 B.7.将正方体的纸盒展开如图，直线AB CD在原正方体的位置关系是（） sin168C.33A.平行 B .垂直C.相交成 60角 D.异面且成 60角答案 D解析 如图，直线AB CD异面.因为CEJI AB所以/ECD即为直线AB CD所成的角，因为CDE为等边三角形，故/ECD=60.E/I1 /1X.ZjTi&长方体的顶点都在同一球面上，其同一顶点处的三条棱长分别为3,4,5，则该球面的表面积为（A. 25nC. 75n答案 B解析 设球的半径为R,由题意可得（2F）2=

12、 32+ 42+ 52= 50,二 4 氏=50,球的表面积为S=4nR=50n.9.如图，三棱锥A-BCD勺棱长全相等，点E为AD的中点，则直线CE与BD所成角的余弦值为（）B答案 AB.50nA.A9解析 方法一取AB中点G,连接EG CG E为AD中点，EG/ BD/ GEC为CE与BD所成的角设AB=1,1 1则EG=2BD=2，CE= CG”, cosZGEC=EG+EC-GC2XEG/3, 0,0) ,A(0，- 1,0) ,B(W，0,2)，则AB=(V3,1,2)，则 4 ( .3, 0,0)为侧面ACCA的法向量,2X2，则10故 sine=矗帥lABllBO4的位置关系是_

13、答案平行,AM ANZH解析 由亍，得MNZ BDMB ND而BD?平面BDC MN平面BDC所以MN/平面BDC12.已知长方体ABCA B C D,E,F,G,点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB D平行的有 _条.答案 6解析 如图，连接EG EH FGTEH綊FG EFGF四点共面，由EG/ AB,EH/ AD,E EH= E, ABnAD=A可得平面EFGHf平面AB D平行，符合条件的共有 6 条.11.如图，在空间四边形ABCD中，点ME AB,点NAD,若AM ANMB ND则直线MN与平面BDCH分别是棱AD,BB,B C,DD的中1113点P在正方形ABC斷在平面外，P

14、AL平面ABCD PA= AB则PB与AC所成角的大小是12答案n3解析以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设正方形ABC啲边长为1，则A(0,0,0) ,F(0,0,1),B(1,0,0) ,C(1,1,0) ,PB=(1,0，- 1) ,AC= (1,1,0)，因此T TI+0X|+0X(II1cosPB AC=p12+02+(1)2.寸 12+12+022 BD/ EF菱形ABCD勺对角线互相垂直,BD丄ACEFACEF丄AO EFPO1+0 x1+ox(1)n因此PB和AC所成的角为 60,即才14.设m n是不同的直线,丫是不同的

15、平面,?3/丫；a丄3 ,m/a?右；m丄a ,m/3n,? mila.n?a其中, 正确的命题是.(填序号)答案中平行于同一平面的两平面平行是正确的； r解析面内；中由面面垂直的判定定理可知结论正确；中中m3可能平行，相交或直线在平ma可能平行或线在面内.15.如图(1),在边长为 4 的菱形ABCD, /DAB=60ACn EF=O沿已尸将厶CEF翻折到PEF连接PA PB Tk.1ABFED且PB=J0.，点E, F分别是边CD CB的中点,PD得到如图所示的五棱锥P(1)求证：BDL PA求四棱锥P- BFED勺体积.(1)证明T点E,F分别是边CD CB的中有以下B(I)13/AO?

16、平面POA PQ平面POA AOn PO= Q EF丄平面POA BD丄平面POA又PA?平面POABD丄PA解设A6 BD= H.连接BO/DAB=60,ABD为等边三角形，BD=4,BHh2,HA=2 3,HO= PO=3,在 RtBHO中,BO= BH+HO=7,在厶PBC中,BO+PO= 10=PW,POL BO POL EF, EFnBO=O EF?平面BFEDBO?平面BFEDOPL平面BFED梯形BFED勺面积S= *(EF+BD) HO= 3&,四棱锥P- BFED的体积V=3SPO=3X3 3x/ 3=3.16.如图，四棱锥S ABCD勺底面是正方形，SD丄平面ABCD SD= AD= a,点E是SD上的点，且DE=a(0v入w1).(1)求证：对任意的 入 (0,1,都有ACL BE若二面角C- AE- D的大小为 60,求入的值.(1)证明 如图，建立空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0) ,B(a,a,0) ,C(0 ,a,0), Q0,0,0), 日 0,0 ,入a).-AC=( a,a,0) ,B